प्रतिस्थापन, विलोपन और शाब्दिक समस्याओं द्वारा दो समीकरणों के रैखिक निकायों को हल करें। तीन स्तरों में 45 समस्याएं: बीजगणित I (सरल प्रतिस्थापन और निकाय पहचान), बीजगणित II (बहु-चरणीय विलोपन, बहु-चरणीय प्रतिस्थापन, और वास्तविक दुनिया की शाब्दिक समस्याएं), और उन्नत (प्राचलिक निकाय, भिन्नात्मक गुणांक, तीन-चर विस्तार, और SAT-शैली अनुप्रयोग)।
विधि कार्ड की समीक्षा करें
लॉबी में प्रतिस्थापन और विलोपन के मूल तर्क के साथ दो विधि कार्ड दिखाए गए हैं। प्रतिस्थापन: एक समीकरण को एक चर के लिए हल करें, फिर उस व्यंजक को दूसरे में प्लग करें। विलोपन: समीकरणों को गुणा करें ताकि चर के गुणांक मेल खाएं, फिर इसे रद्द करने के लिए जोड़ें या घटाएं।
कठिनाई चुनें
बीजगणित I सरल प्रतिस्थापन के साथ रहता है जहाँ एक समीकरण पहले से ही y = … या x = … के रूप में है। बीजगणित II को सही विधि चुनने और कभी-कभी पहले एक समीकरण को गुणा करने की आवश्यकता होती है। उन्नत प्राचलिक ('k ज्ञात करें') समस्याएं, भिन्नात्मक समीकरण, और SAT पर आम बहु-चरणीय शाब्दिक समस्याएं जोड़ता है।
सही विधि चुनें
समस्या पढ़ें और सुराग देखें: यदि एक समीकरण पहले से ही एक चर के लिए हल किया गया है, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें। यदि समीकरणों में एक चर पर मिलान या विपरीत गुणांक हैं (जैसे +3y और −3y), तो जोड़ने के द्वारा विलोपन का उपयोग करें। यदि आपको मिलान गुणांक बनाने की आवश्यकता है, तो पहले एक समीकरण को गुणा करें। श्रेणी बैज (प्रतिस्थापन, विलोपन, पहचान, अनुप्रयोग) आपको बताता है कि कौन सा कौशल परीक्षण किया जा रहा है।
जांचें और सीखें
उत्तर देने के बाद, आप सही थे या नहीं, इसके बावजूद चरण-दर-चरण रणनीति दिखाई देती है। पहचान प्रश्नों के लिए, संकेत ज्यामितीय अर्थ बताता है (समानांतर रेखाएं, समान रेखा, या प्रतिच्छेदन रेखाएं)। शाब्दिक समस्याओं के लिए, यह दिखाता है कि परिदृश्य से समीकरण कैसे सेट करें।
3 स्तरों में 45 समस्याएं
बीजगणित I में सरल प्रतिस्थापन शामिल है — एक समीकरण पहले से ही एक चर के लिए हल किया गया है — और निकाय पहचान (एक हल, कोई हल नहीं, अनंत रूप से कई)। बीजगणित II में बहु-चरणीय प्रतिस्थापन, विलोपन (जोड़/घटाव) विधि गुणक चरणों के साथ, और वास्तविक परिदृश्यों को निकायों में अनुवादित करने वाली शाब्दिक समस्याएं जोड़ी जाती हैं। उन्नत में प्राचलिक निकाय (k का वह मान ज्ञात करें जो एक विशेष मामला बनाता है), भिन्नात्मक गुणांक, तीन-संख्या योग पहेलियाँ, और दूरी-गति-समय और निवेश समस्याओं जैसे क्लासिक SAT अनुप्रयोग शामिल हैं।
4 समस्या प्रकार — रंग-कोडित
प्रतिस्थापन (बैंगनी) में वे निकाय प्रस्तुत किए जाते हैं जिन्हें एक व्यंजक को दूसरे में प्लग करके सबसे अच्छी तरह हल किया जाता है। विलोपन (गहरा बैंगनी) में ऐसी समस्याएं होती हैं जहाँ समीकरणों को जोड़ने या घटाने से एक चर सीधे रद्द हो जाता है। पहचान (नीला) निकाय की प्रकृति के बारे में पूछता है — कितने हल मौजूद हैं या कौन सा पैरामीटर मान एक विशेष मामला बनाता है। अनुप्रयोग (नीला) बीजगणित को टिकट मूल्य निर्धारण, नाव की गति, या खाता ब्याज जैसे वास्तविक दुनिया के संदर्भ में लपेटता है।
निर्देशांक ग्रिड लॉबी विज़ुअल
लॉबी में दो प्रतिच्छेदन रेखाओं और एक लेबल वाले हल बिंदु के साथ एक लाइव मिनी निर्देशांक तल दिखाया गया है, जो बिल्कुल दर्शाता है कि 'निकाय को हल करना' ज्यामितीय रूप से क्या मतलब है। दो विधि कार्ड (प्रतिस्थापन और विलोपन) बताते हैं कि शुरू करने से पहले प्रत्येक दृष्टिकोण का उपयोग कब करें।
चरण-दर-चरण रणनीति संकेत
प्रत्येक संकेत का उपयोग की जा रही विधि का नाम बताता है और प्रमुख बीजगणितीय चरणों के माध्यम से चलता है — पहले किस समीकरण में हेरफेर करना है, कौन सा चर अलग करना है, और कौन सा अंकगणितीय संचालन इसे समाप्त करता है। संकेत मेटाकॉग्निटिव समस्या-समाधान की आदतों को सुदृढ़ करने के लिए 'रणनीति:' नोट्स के रूप में दिखाई देते हैं।
तीन विधियाँ: (1) प्रतिस्थापन — एक चर को अलग करें और प्रतिस्थापित करें; (2) विलोपन — एक चर को रद्द करने के लिए समीकरणों को जोड़ें या घटाएं, कभी-कभी गुणांकों का मिलान करने के लिए गुणा करने के बाद; (3) पहचान — हल किए बिना ढलानों और y-अवरोधों (या उनके अनुपात रूपों) की तुलना करके समाधान की संख्या निर्धारित करें।
प्रतिस्थापन का उपयोग तब करें जब एक समीकरण पहले से ही एक चर के लिए हल किया गया हो (जैसे, y = 2x + 3) या जब चर को अलग करना त्वरित हो (गुणांक 1 या −1)। विलोपन का उपयोग तब करें जब समीकरणों में एक चर पर मिलान या विपरीत गुणांक हों, या जब एक समीकरण को एक छोटे पूर्णांक से गुणा करने से मिलान हो जाए। दोनों विधियाँ हमेशा एक ही उत्तर देती हैं — यह दक्षता का मामला है।
कोई हल नहीं का मतलब है कि रेखाएँ समानांतर हैं — समान ढलान, अलग y-अवरोध। वे कभी नहीं मिलतीं। अनंत रूप से कई हल का मतलब है कि रेखाएँ समान हैं — एक रेखा पर प्रत्येक बिंदु दूसरे पर भी है। दोनों मामलों का पता बिना हल किए लगाया जा सकता है: यदि x-गुणांकों का अनुपात y-गुणांकों के अनुपात के बराबर है लेकिन स्थिरांकों का नहीं, तो निकाय का कोई हल नहीं होता है; यदि तीनों अनुपात बराबर हैं, तो इसमें अनंत रूप से कई हल होते हैं।
सही उत्तरों से 10 अंक (बीजगणित I), 15 अंक (बीजगणित II), या 20 अंक (उन्नत) मिलते हैं। लगातार सही उत्तर पहले के बाद प्रति उत्तर 5-अंकों की स्ट्रीक बोनस जोड़ते हैं। एक गलत उत्तर स्ट्रीक को शून्य पर रीसेट कर देता है।
उन्नत समस्याओं में शामिल हैं: प्राचलिक प्रश्न (k के किस मान के लिए इस निकाय का कोई हल नहीं है / अनंत रूप से कई हल हैं), जिसके लिए यह समझने की आवश्यकता होती है कि गुणांकों के अनुपात कब बराबर होते हैं; भिन्नात्मक-गुणांक निकाय; तीन-चर विस्तार की समस्याएं जहां आप तीन जोड़ीदार योगों से x + y + z प्राप्त करते हैं; और क्लासिक SAT शाब्दिक समस्याएं (नाव + धारा, निवेश ब्याज विभाजन, एक-दूसरे के पास आती ट्रेनें)।
हाँ। समीकरण निकाय हर SAT गणित अनुभाग पर दिखाई देते हैं। सामान्य SAT प्रश्न प्रकारों में शामिल हैं: समाधानों की संख्या ज्ञात करना, एक निकाय के भीतर एक चर को दूसरे के संदर्भ में हल करना, शाब्दिक समस्याएं जिन्हें दो समीकरण स्थापित करने की आवश्यकता होती है, और प्राचलिक प्रश्न जो एक विशेष मामला उत्पन्न करने वाले गुणांक के मान के लिए पूछते हैं। उन्नत स्तर इन सभी को कवर करता है।