Системи рівнянь — Тест з математики для старшокласників
Розв'язуйте лінійні системи двох рівнянь методом підстановки, додавання/віднімання та за допомогою текстових задач. 45 завдань у трьох рівнях складності: Алгебра I (проста підстановка та ідентифікація системи), Алгебра II (багатоетапна підстановка, багатоетапне додавання/віднімання та текстові задачі з реального життя) та Розширений (параметричні системи, дробові коефіцієнти, розширення до трьох змінних та завдання у стилі SAT).
Як грати в Системи рівнянь
- 1
Ознайомтеся з картками методів
У лобі показано дві картки методів з основною логікою Підстановки та Додавання/Віднімання. Підстановка: розв'яжіть одне рівняння відносно змінної, потім підставте цей вираз в інше. Додавання/Віднімання: помножте рівняння так, щоб коефіцієнти змінної збіглися, потім додайте або відніміть, щоб її скасувати.
- 2
Виберіть рівень складності
Алгебра I залишається з простою підстановкою, де одне рівняння вже має вигляд y = … або x = …. Алгебра II вимагає вибору правильного методу та іноді спочатку множення рівняння. Розширений рівень додає параметричні завдання («знайти k»), дробові рівняння та багатоетапні текстові задачі, поширені на SAT.
- 3
Оберіть правильний метод
Прочитайте завдання та шукайте підказки: якщо одне рівняння вже розв'язане відносно змінної, використовуйте Підстановку. Якщо рівняння мають однакові або протилежні коефіцієнти для однієї змінної (наприклад, +3y і −3y), використовуйте Додавання/Віднімання шляхом додавання. Якщо вам потрібно створити однакові коефіцієнти, спочатку помножте одне рівняння. Значок категорії (ПІДСТАНОВКА, ДОДАВАННЯ/ВІДНІМАННЯ, ІДЕНТИФІКАЦІЯ, ЗАСТОСУВАННЯ) підкаже, який навик тестується.
- 4
Перевірте та навчіться
Після відповіді з'явиться покрокова стратегія, незалежно від того, чи була ваша відповідь правильною. Для завдань на ідентифікацію підказка пояснює геометричний зміст (паралельні прямі, одна пряма або пересічні прямі). Для текстових задач показано, як скласти рівняння зі сценарію.
Ключові особливості
45 завдань у 3 рівнях складності
Алгебра I охоплює просту підстановку — одне рівняння вже розв'язано відносно змінної — та ідентифікацію системи (один розв'язок, немає розв'язку, нескінченно багато розв'язків). Алгебра II додає багатоетапну підстановку, метод додавання/віднімання (додавання/віднімання) з кроками множення та текстові задачі, що перекладають реальні сценарії в системи рівнянь. Розширений рівень включає параметричні системи (знайти значення k, яке створює особливий випадок), дробові коефіцієнти, головоломки з сумою трьох чисел та класичні застосування SAT, такі як задачі на відстань-швидкість-час та інвестиційні задачі.
4 типи завдань — кодовані кольором
ПІДСТАНОВКА (фіолетовий) представляє системи, які найкраще розв'язувати, підставляючи один вираз в інший. ДОДАВАННЯ/ВІДНІМАННЯ (пурпуровий) містить завдання, де додавання або віднімання рівнянь безпосередньо скасовує змінну. ІДЕНТИФІКАЦІЯ (індиго) стосується природи системи — скільки розв'язків існує або яке значення параметра створює особливий випадок. ЗАСТОСУВАННЯ (синій) вплітає алгебру в контекст реального світу, як-от ціноутворення на квитки, швидкість човна або відсотки за рахунком.
Візуалізація лобі на координатній площині
У лобі розташована інтерактивна міні-координатна площина з двома пересічними прямими та позначеною точкою перетину, що ілюструє, що саме означає «розв'язати систему» з геометричної точки зору. Дві картки методів (Підстановка та Додавання/Віднімання) пояснюють, коли використовувати кожен підхід перед початком.
Покрокові підказки щодо стратегії
Кожна підказка називає метод, що використовується, і проходить через ключові алгебраїчні кроки — яке рівняння маніпулювати спочатку, яку змінну виділити та яку арифметичну операцію використати для її скасування. Підказки з'являються як нотатки «Стратегія:», щоб закріпити метакогнітивні навички розв'язання проблем.
Часто задавані питання
Які методи охоплюються?
Три методи: (1) Підстановка — виділіть одну змінну і підставте; (2) Додавання/Віднімання — додайте або відніміть рівняння, щоб скасувати змінну, іноді після множення для узгодження коефіцієнтів; (3) Ідентифікація — визначте кількість розв'язків, порівнюючи нахили та точки перетину з віссю y (або їхні співвідношення) без розв'язання.
Звідки я знаю, коли використовувати підстановку, а коли — додавання/віднімання?
Використовуйте підстановку, коли одне рівняння вже розв'язане відносно змінної (наприклад, y = 2x + 3) або коли виділити змінну легко (коефіцієнт 1 або −1). Використовуйте додавання/віднімання, коли рівняння мають однакові або протилежні коефіцієнти для однієї змінної, або коли множення одного рівняння на невелике ціле число створює збіг. Обидва методи завжди дають однакову відповідь — це питання ефективності.
Що означає «немає розв'язків» проти «нескінченно багато розв'язків»?
Немає розв'язків означає, що прямі паралельні — однаковий нахил, різні точки перетину з віссю y. Вони ніколи не перетинаються. Нескінченно багато розв'язків означає, що прямі ідентичні — кожна точка на одній прямій також знаходиться на іншій. Обидва випадки можна виявити без розв'язання: якщо співвідношення коефіцієнтів x дорівнює співвідношенню коефіцієнтів y, але не вільним членам, система не має розв'язків; якщо всі три співвідношення рівні, вона має нескінченно багато розв'язків.
Як працює підрахунок балів?
За правильні відповіді нараховується 10 балів (Алгебра I), 15 балів (Алгебра II) або 20 балів (Розширений). Послідовні правильні відповіді додають бонус за серію з 5 балів за кожну відповідь після першої. Неправильна відповідь скидає серію до нуля.
Що робить завдання Розширеного рівня / SAT складнішими?
Завдання Розширеного рівня включають: параметричні завдання (при якому значенні k ця система не має розв'язків / має нескінченно багато розв'язків), які вимагають розуміння, коли співвідношення коефіцієнтів рівні; системи з дробовими коефіцієнтами; завдання розширення до трьох змінних, де ви виводите x + y + z з трьох попарних сум; та класичні текстові задачі SAT (човен + течія, розподіл інвестиційного відсотка, потяги, що наближаються один до одного).
Чи корисна ця гра для підготовки до SAT?
Так. Системи рівнянь з'являються в кожній секції математики SAT. Поширені типи завдань SAT включають: визначення кількості розв'язків, розв'язання однієї змінної через іншу в межах системи, текстові задачі, що вимагають складання двох рівнянь, та параметричні завдання, що запитують значення коефіцієнта, який призводить до особливого випадку. Розширений рівень охоплює все це.