إتقان الجيب وجيب التمام والظل — النسب المثلثية الأساسية الثلاث. 45 مسألة عبر ثلاثة مستويات: الهندسة (تعريفات SOHCAHTOA، مثلثات 3-4-5، زوايا خاصة 30/45/60)، ما قبل التفاضل والتكامل (الدوال المقلوبة csc/sec/cot، تحويل الراديان، متطابقات الزاوية المتممة)، والمتقدم (نسب مثلثية عكسية، قيم الربع الثاني، متطابقات فيثاغورس، تطبيقات مثلثية واقعية).
ادرس مرجع المثلث
يوضح البهو مثلثًا قائمًا مسمى وثلاث بطاقات SOH-CAH-TOA. احفظ أي ضلع هو 'مقابل' (مقابل للزاوية θ)، وأي ضلع هو 'مجاور' (بجانب θ)، وأي ضلع هو 'الوتر' (أطول ضلع، مقابل للزاوية القائمة). هذا الفهم المكاني هو أساس كل شيء آخر.
اختر مستوى صعوبة
تركز الهندسة على التعريفات الست والقيم الدقيقة عند 30°، 45°، 60°، 90°. ما قبل التفاضل والتكامل يضيف الدوال المقلوبة، والراديان، والمتطابقات. المتقدم يقدم الدوال المثلثية العكسية، والزوايا التي تزيد عن 90°، ومسائل التطبيق — وكلها تظهر في أقسام الرياضيات لـ SAT و ACT.
حدد النسبة
لمسائل التقييم: حدد النسبة التي تنطبق (sin، cos، أو tan)، ثم عوض بالأضلاع أو استخدم قيمة زاوية خاصة محفوظة. لمسائل التحديد: استرجع التعريف أو المتطابقة مباشرة. لمسائل معكوس: اسأل 'ما هي الزاوية التي تنتج هذه النسبة؟'. لمسائل التطبيق: سمِّ أضلاع المثلث بالنسبة للزاوية المعطاة، ثم اختر sin، cos، أو tan.
استخدم التلميحات بذكاء
يحدد كل تلميح الصيغة أو المتطابقة الرئيسية ويشرح الحساب الدقيق خطوة بخطوة. تلميح مسائل التقييم يوضح أي مثلث وأطوال أضلاع يجب استخدامها. تلميحات معكوس تسمي المثلث الخاص. تلميحات المتطابقات توضح الاشتقاق الجبري خطوة بخطوة.
45 مسألة عبر 3 مستويات
تدريبات الهندسة لتعريفات SOHCAHTOA، والمثلث القائم 3-4-5، والقيم الدقيقة للزوايا الخاصة 30°، 45°، و 60°. يقدم ما قبل التفاضل والتكامل الدوال المقلوبة الثلاث (csc، sec، cot)، تحويل الدرجات إلى راديان، متطابقة الزاوية المتممة sin θ = cos(90°−θ)، وتقييم الدوال المثلثية عند 0° و 90°. يشمل المستوى المتقدم الدوال المثلثية العكسية (sin⁻¹، cos⁻¹، tan⁻¹)، قيم الربع الثاني (sin 120°، cos 135°)، المتطابقات الأساسية sin²θ + cos²θ = 1 و tan²θ + 1 = sec²θ، ومسائل واقعية تتعلق بالسلالم والمثلثات القائمة.
بهو المثلث القائم المسمى
شاشة البداية تعرض مثلث قائم SVG مخصص مع تسمية الأضلاع 'مقابل' و 'مجاور' و 'وتر' بجانب الزاوية θ. ثلاث بطاقات ملونة SOH / CAH / TOA تعرف كل نسبة بشكل رمزي، مما يمنحك المرجع الكامل قبل البدء.
4 أنواع مسائل — ملونة
التقييم (سماوي) يطلب القيمة الدقيقة للتعبير المثلثي. التحديد (أزرق سماوي) يختبر معرفتك بالتعريفات، الدوال المقلوبة، التحويلات، والمتطابقات. معكوس (سماوي فاتح) يعطيك نسبة ويطلب الزاوية. تطبيق (كحلي) يقدم سيناريو واقعي أو هندسي يتطلب حساب مثلثات لإيجاد ضلع أو زاوية مفقودة.
سمة سماء داكنة مرصعة بالنجوم
تستخدم اللعبة خلفية كحلية عميقة مع لمسات باللون السماوي والأزرق السماوي — مما يستدعي الأصول الفلكية لحساب المثلثات. تضيء مربعات الإجابة عند تمرير المؤشر فوقها، وتنبض الإجابات الصحيحة باللون الأخضر على الخلفية الداكنة.
إنها عبارة عن كلمة تذكيرية للنسب المثلثية الرئيسية الثلاث: SOH = Sin هو المقابل على الوتر، CAH = Cos هو المجاور على الوتر، TOA = Tan هو المقابل على المجاور. الضلع 'المقابل' يكون مقابلًا للزاوية θ، والضلع 'المجاور' يكون بجانبها، والضلع 'الوتر' هو دائمًا أطول ضلع (مقابل للزاوية 90°).
sin 30° = 1/2، cos 30° = √3/2، tan 30° = 1/√3. sin 45° = cos 45° = √2/2، tan 45° = 1. sin 60° = √3/2، cos 60° = 1/2، tan 60° = √3. أيضًا: sin 0° = 0، cos 0° = 1، sin 90° = 1، cos 90° = 0، tan 90° = غير معرف. هذه تأتي من المثلثات القائمة الخاصة 30-60-90 و 45-45-90.
إنها الدوال المقلوبة الثلاث: csc θ = 1/sin θ (قاطع التمام)، sec θ = 1/cos θ (قاطع)، cot θ = 1/tan θ = cos θ/sin θ (ظل التمام). وهي أقل شيوعًا في الدورات الدراسية المبكرة ولكنها تظهر في ما قبل التفاضل والتكامل، والتفاضل والتكامل المتقدم (AP Calculus)، واختبار SAT.
متطابقات فيثاغورس الثلاث هي: (1) sin²θ + cos²θ = 1 (أساسية — تأتي مباشرة من نظرية فيثاغورس على دائرة الوحدة)، (2) tan²θ + 1 = sec²θ (مشتقة بقسمة المتطابقة 1 على cos²θ)، (3) 1 + cot²θ = csc²θ (مشتقة بقسمة المتطابقة 1 على sin²θ). المتطابقة الأولى هي الأهم للحفظ.
استخدم الزاوية المرجعية وقواعد إشارات الربع. في الربع الثاني (90° إلى 180°): sin موجب، cos و tan سالب. sin 120° = sin(180°−120°) = sin 60° = √3/2. cos 135° = −cos(180°−135°) = −cos 45° = −√2/2. أداة مساعدة مفيدة هي ASTC (All Students Take Calculus): كل شيء موجب في الربع الأول، Sin موجب في الربع الثاني، Tan موجب في الربع الثالث، Cos موجب في الربع الرابع.
الإجابات الصحيحة تكسب 10 نقاط (الهندسة)، 15 نقطة (ما قبل التفاضل والتكامل)، أو 20 نقطة (المتقدم). الإجابات الصحيحة المتتالية تضيف مكافأة سلسلة 5 نقاط لكل إجابة بعد الأولى. الإجابة الخاطئة تعيد السلسلة إلى الصفر.
إذا / إذن — اختبار المنطق الشرطي
أتقن منطق الشروط (P → Q). 45 مشكلة عبر ثلاثة مستويات: يغطي المستوى الأساسي جدول الحقيقة لـ P→Q (الحقيقة الفارغة، الحالة الكاذبة الوحيدة)، الاستدلال الشرطي (Modus Ponens)، الاستدلال المنافي (Modus Tollens)، وسبب عدم صحة إثبات التالي وإنكار المقدم. يضيف المستوى المتوسط الاستلزام المعاكس، والمعكوس، والنقيض، والشرط الثنائي (P↔Q)، والمكافئ المتضمن (¬P∨Q)، والقياس الشرطي الافتراضي. يغطي المستوى المتقدم الشروط المتسلسلة، ونفي الشروط (¬(P→Q) = P∧¬Q)، والحقائق الثابتة (tautologies)، وتحليل القيم المعقدة، والحالات الاستثنائية.