Усі уроки

Курс

Математика 9 класу: Алгебра 1

Розв’язуй рівняння й нерівності, будуй графіки лінійних і показникових функцій, розкладай многочлени на множники й розв’язуй квадратні рівняння.

Проходь уроки по порядку: від виразів до самостійного розв’язування задач. Наприкінці ти вмієш розв’язувати лінійні рівняння, перетворювати формули й розв’язувати складені нерівності та нерівності з модулем. Ти вмієш користуватися позначенням функції, записувати лінійні рівняння в кількох видах і моделювати арифметичними прогресіями. Ти вмієш розв’язувати системи рівнянь і нерівностей і будувати графіки кускових функцій. Ти вмієш користуватися раціональними показниками, моделювати показникове зростання і спадання й порівнювати лінійні та показникові моделі. Ти вмієш додавати, множити й розкладати многочлени на множники, будувати графіки квадратичних функцій і розв’язувати квадратні рівняння розкладанням на множники, виділенням повного квадрата і формулою коренів. Ти вмієш описувати дані за допомогою стандартного відхилення, таблиць спряженості й залишків.

Як користуватися цими уроками

  • Почни з уроку, де написано Зроби це. Іди далі, коли сам робиш рядок під назвою.
  • Спочатку грай: Ігри. Потім зроби: Перевірка. 8 із 10 правильно для заліку. Аркуші на папері. Відповіді внизу.
  • Кожен урок спирається на попередній. Якщо урок важкий, повернись на один назад.
  • Записуй кожен крок. Перевір розв’язок: підстав його в початкове рівняння. Графічний калькулятор або безкоштовний застосунок допомагає побачити функції. Спочатку намалюй графік від руки.

У кожному уроці є ігри, перевірка та аркуші.

0 із 41

Вирази і рівняння

  1. 1Вирази і властивостіСпрощуй вирази за допомогою властивостей дійсних чисел.
    • Користуйся переставною, сполучною і розподільною властивостями.
    • Називай доданки, множники і коефіцієнти виразу.
    • Пояснюй частини виразу в задачі, наприклад P(1 + r)^n.
  2. 2Розв’язування лінійних рівняньРозв’язуй багатокрокові лінійні рівняння і обґрунтовуй кожен крок.
    • Розв’язуй рівняння з дробами і змінними в обох частинах.
    • Пояснюй кожен крок властивістю.
    • Розпізнавай рівняння без розв’язків і рівняння, правильні для всіх дійсних чисел.
  3. 3Літерні рівняння і формулиПеретворюй формулу, щоб виразити іншу змінну.
    • Вирази h з A = 1/2 bh.
    • Вирази t з d = rt.
    • Вирази y з 2x + 3y = 6.
  4. 4Одиниці і моделіКористуйся одиницями, щоб скласти і перевірити модель.
    • Переводь одиниці за допомогою аналізу розмірностей.
    • Обирай розумну точність.
    • Складай рівняння для реальної ситуації.

Нерівності

  1. 5Розв’язування лінійних нерівностейРозв’язуй і будуй графіки багатокрокових лінійних нерівностей.
    • Змінюй знак, коли множиш або ділиш на від’ємне число.
    • Будуй розв’язок на числовій прямій.
    • Записуй розв’язок в інтервальному записі.
  2. 6Складені нерівностіРозв’язуй і будуй графіки складених нерівностей «і» та «або».
    • Розв’яжи −3 < 2x + 1 ≤ 7.
    • Розв’яжи x < −2 або x > 5.
    • Побудуй графік перетину або об’єднання.
  3. 7Рівняння і нерівності з модулемРозв’язуй рівняння і нерівності з модулем.
    • Розв’яжи |x − 3| = 5 як два рівняння.
    • Розв’яжи |x + 1| < 4 як нерівність «і».
    • Знай, коли розв’язків немає.

Лінійні функції

  1. 8Позначення функції, область визначення і область значеньКористуйся позначенням функції f(x) і знаходь область визначення та область значень функції.
    • Обчисли f(3) і розв’яжи f(x) = 7.
    • Знайди область визначення і область значень за графіком.
    • Обери розумну область визначення для реальної ситуації.
  2. 9Швидкість зміниЗнаходи і пояснюй середню швидкість зміни на проміжку.
    • Знайди швидкість зміни за таблицею, графіком або рівнянням.
    • Знай, що в лінійної функції швидкість зміни стала.
    • Поясни одиниці швидкості, наприклад гривень за годину.
  3. 10Види лінійних рівняньЗаписуй лінійні рівняння у вигляді з кутовим коефіцієнтом, через точку і нахил та в стандартному вигляді.
    • Запиши y − y₁ = m(x − x₁) за точкою і кутовим коефіцієнтом.
    • Переходь з одного виду в інший.
    • Знайди перетини з осями зі стандартного виду.
  4. 11Паралельні і перпендикулярні пряміЗаписуй рівняння паралельних і перпендикулярних прямих.
    • Знай, що в паралельних прямих кутові коефіцієнти рівні.
    • Знай, що кутові коефіцієнти перпендикулярних прямих у добутку дають −1.
    • Запиши пряму через точку, паралельну або перпендикулярну до іншої.
  5. 12Арифметичні прогресіїЗаписуй арифметичні прогресії як лінійні функції.
    • Знайди різницю прогресії.
    • Запиши явну формулу aₙ = a₁ + (n − 1)d.
    • Запиши рекурентну формулу.

Системи рівнянь і нерівностей

  1. 13Розв’язування систем рівняньРозв’язуй систему лінійних рівнянь графічно, підстановкою або додаванням.
    • Обери найзручніший спосіб.
    • Поясни, чому метод додавання працює.
    • Розпізнавай системи без розв’язків і з нескінченно багатьма розв’язками.
  2. 14Системи лінійних нерівностейБудуй графік системи лінійних нерівностей і знаходь область розв’язків.
    • Побудуй графік y ≤ 2x + 1 суцільною лінією і штрихуванням.
    • Знайди, де зафарбовані області перетинаються.
    • Перевір точку підстановкою.
  3. 15Моделі з системамиСкладай і розв’язуй системи для задач із життя.
    • Розв’язуй задачі на суміші і порівняння вартості.
    • Користуйся обмеженнями, щоб знайти можливі розв’язки.
    • Поясни розв’язок в умові задачі.

Модуль і кускові функції

  1. 16Функції з модулемБудуй графіки функцій з модулем і їхніх перетворень.
    • Побудуй графік y = |x| у формі літери V.
    • Побудуй графік y = a|x − h| + k.
    • Знайди вершину і бік, у який графік відкритий.
  2. 17Кускові і крокові функціїБудуй графіки і обчислюй значення кускових і крокових функцій.
    • Обчисли значення кускової функції для заданого аргументу.
    • Побудуй графік кожного шматка на своїй області.
    • Змоделюй плату за паркування кроковою функцією.

Степені та показникові функції

  1. 18Властивості степенів і раціональні показникиСпрощуй вирази з цілими і раціональними показниками.
    • Користуйся всіма правилами степенів разом.
    • Запиши x^(1/2) як √x і 8^(2/3) як 4.
    • Перепиши корені з раціональними показниками.
  2. 19Показникове зростання і спаданняЗаписуй і будуй графіки функцій показникового зростання і спадання.
    • Запиши y = a(1 + r)^t для зростання.
    • Запиши y = a(1 − r)^t для спадання.
    • Розв’язуй задачі на складні відсотки і чисельність населення.
  3. 20Геометричні прогресіїЗаписуй геометричні прогресії як показникові функції.
    • Знайди знаменник прогресії.
    • Запиши aₙ = a₁ × r^(n − 1).
    • Запиши рекурентну формулу.
  4. 21Лінійні і показникові моделіВирішуй, лінійна ситуація чи показникова, і порівнюй їхнє зростання.
    • Перевір рівні різниці або рівні відношення.
    • Знай, що показникове зростання з часом обганяє лінійне.
    • Склади модель за таблицею.

Многочлени і розкладання на множники

  1. 22Додавання і віднімання многочленівДодавай і віднімай многочлени.
    • Назви степінь і старший коефіцієнт.
    • Запиши многочлен у стандартному вигляді.
    • Додай і відніми, об’єднуючи подібні доданки.
  2. 23Множення многочленівМнож многочлени.
    • Помнож одночлен на многочлен.
    • Помнож два двочлени за допомогою моделі площі.
    • Помнож двочлен на тричлен.
  3. 24Формули скороченого множенняКористуйся формулами квадрата двочлена і різниці квадратів.
    • Користуйся (a + b)² = a² + 2ab + b².
    • Користуйся (a + b)(a − b) = a² − b².
    • Множ швидко за цими формулами.
  4. 25Найбільший спільний дільник і групуванняВинось найбільший спільний дільник і розкладай на множники групуванням.
    • Розклади 6x³ + 9x² як 3x²(2x + 3).
    • Розклади чотири доданки групуванням.
    • Перевір множенням.
  5. 26Розкладання тричленівРозкладай на множники тричлени виду ax² + bx + c.
    • Розклади x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
    • Розклади, коли a ≠ 1.
    • Розпізнавай тричлен, який не розкладається.
  6. 27Розкладання особливих випадківРозкладай особливі випадки: повні квадрати тричленів і різниці квадратів.
    • Розклади x² − 49.
    • Розклади 4x² + 12x + 9.
    • Розклади повністю за кілька кроків.

Квадратичні функції і рівняння

  1. 28Графіки квадратичних функційБудуй графік квадратичної функції і знаходь її головні елементи.
    • Знайди вершину, вісь симетрії і перетини з осями.
    • Користуйся x = −b/(2a), щоб знайти вершину.
    • Знай, коли парабола відкрита вгору або вниз.
  2. 29Вершинна форма і перетворенняБудуй графік вершинної форми y = a(x − h)² + k і описуй перетворення.
    • Прочитай вершину (h, k).
    • Опиши розтяги, стиски, відбиття і зсуви.
    • Запиши квадратичну функцію за її графіком.
  3. 30Розв’язування квадратних рівнянь розкладаннямРозв’язуй квадратне рівняння розкладанням на множники.
    • Користуйся властивістю нульового добутку.
    • Спочатку прирівняй рівняння до 0.
    • Зв’яжи розв’язки з перетинами осі x.
  4. 31Розв’язування квадратних рівнянь добуванням кореняРозв’язуй квадратні рівняння добуванням квадратного кореня.
    • Розв’яжи x² = 25 і отримай x = ±5.
    • Розв’яжи (x − 3)² = 16.
    • Спрости квадратні корені у відповідях.
  5. 32Виділення повного квадратаВиділяй повний квадрат, щоб розв’язати квадратне рівняння і знайти вершину.
    • Додай (b/2)² до обох частин.
    • Розв’яжи x² + 6x − 7 = 0.
    • Перепиши стандартний вид у вершинну форму.
  6. 33Формула коренівРозв’язуй будь-яке квадратне рівняння формулою коренів.
    • Користуйся x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
    • За дискримінантом порахуй число дійсних розв’язків.
    • Обери найкращий спосіб для даного рівняння.
  7. 34Квадратичні моделіКористуйся квадратичними функціями, щоб моделювати політ тіла і площу.
    • Знайди найбільшу висоту кинутого м’яча.
    • Знайди, коли він упаде на землю.
    • Знайди розміри, які дають найбільшу площу.
  8. 35Лінійно-квадратичні системиРозв’язуй систему з прямої і параболи.
    • Розв’яжи підстановкою.
    • Знай, що розв’язків може бути 0, 1 або 2.
    • Перевір за графіком.

Статистика

  1. 36Розподіли даних і стандартне відхиленняПорівнюй набори даних за формою, центром і розкидом.
    • Знайди середнє і стандартне відхилення.
    • Для асиметричних даних обирай медіану і міжквартильний розмах.
    • Поясни вплив викидів.
  2. 37Таблиці спряженості і відносна частотаЗнаходи спільні, маргінальні й умовні відносні частоти.
    • Склади таблицю спряженості частот.
    • Знайди відносні частоти за рядками і стовпцями.
    • Опиши можливі зв’язки.
  3. 38Кореляція і залишкиДобери пряму до даних, знайди кореляцію і читай залишки.
    • Знайди пряму найкращого наближення за допомогою техніки.
    • Поясни коефіцієнт кореляції r.
    • За графіком залишків оціни добір і знай, що кореляція не означає причинність.

Повторення, змішана практика та випробування

  1. 39Повторення: лінійні і показниковіРозв’язуй змішані задачі з рівняннями, нерівностями, системами і показниковими моделями.
    • Розв’язуй рівняння і нерівності.
    • Записуй і будуй графіки лінійних функцій і систем.
    • Складай показникові моделі.
  2. 40Повторення: многочлени і квадратніРозв’язуй змішані задачі з многочленами, квадратними рівняннями і даними.
    • Множ і розкладай многочлени на множники.
    • Розв’язуй квадратні рівняння найкращим способом.
    • Описуй дані і будуй моделі.
  3. 41Випробування з алгебри 1Розв’язуй змішані питання з головних розділів.
    • Розв’язуй задачі з кожного розділу без підказок.
    • Обирай доречну модель для ситуації.
    • Знайди теми, де потрібно більше практики.