Усі уроки

Курс

Математика 12 класу: початки аналізу

Аналізуй функції, опануй тригонометрію, працюй з векторами, полярними координатами, конічними перерізами й матрицями і вперше подивись на границі.

Проходь уроки по порядку: від аналізу функцій до самостійного розв’язування задач. Наприкінці ти вмієш аналізувати й поєднувати функції, розв’язувати нерівності з многочленами та раціональні нерівності й будувати моделі показниковими, логарифмічними та логістичними функціями. Ти вмієш будувати графіки всіх шести тригонометричних функцій і обернених тригонометричних функцій, перевіряти тригонометричні тотожності й розв’язувати тригонометричні рівняння. Ти вмієш розв’язувати будь-який трикутник і використовувати вектори для сил і руху. Ти вмієш будувати графіки в полярних координатах, записувати комплексні числа в полярній формі й застосовувати теорему Муавра. Ти вмієш будувати графіки параметричних рівнянь і конічних перерізів і розв’язувати системи за допомогою матриць. Ти вмієш доводити твердження індукцією й знаходити границі — першу ідею математичного аналізу.

Як користуватися цими уроками

  • Почни з уроку, де написано Зроби це. Іди далі, коли сам робиш рядок під назвою.
  • Спочатку грай: Ігри. Потім зроби: Перевірка. 8 із 10 правильно для заліку. Аркуші на папері. Відповіді внизу.
  • Кожен урок спирається на попередній. Якщо урок важкий, повернись на один назад.
  • Цей курс готує тебе до математичного аналізу. Вивчи одиничне коло напам’ять. Записуй тотожності, коли їх учиш. Кожен графік спочатку намалюй від руки, потім перевір у програмі для графіків.

У кожному уроці є ігри, перевірка та аркуші.

0 із 42

Функції ще раз

  1. 1Аналіз поведінки функціїОпиши поведінку функції: де вона зростає, спадає і досягає екстремумів.
    • Знайди проміжки зростання і спадання.
    • Знайди відносні й абсолютні екстремуми.
    • Знайди середню швидкість зміни на проміжку.
  2. 2Поєднання і розклад функційПоєднуй старі функції в нові і розкладай функцію в композицію.
    • Склади композицію функцій і знайди область визначення.
    • Запиши h(x) = √(x² + 1) як f(g(x)).
    • Побудуй модель ситуації композицією функцій.
  3. 3Обернені функції й обмеження областіОбмеж область, щоб функція мала обернену.
    • Використай тест горизонтальної прямої.
    • Обмеж область x² і знайди обернену функцію.
    • Читай значення оберненої функції з таблиці або графіка.

Многочлени і раціональні функції

  1. 4Поведінка многочленів і нерівностіРозв’язуй нерівності з многочленами за нулями і таблицею знаків.
    • Знайди всі нулі та їхні кратності.
    • Розв’яжи p(x) ≥ 0 за таблицею знаків.
    • Моделюй об’єм і прибуток многочленами.
  2. 5Раціональні функції і похилі асимптотиБудуй графіки раціональних функцій, зокрема з похилими асимптотами.
    • Знайди вертикальні, горизонтальні й похилі асимптоти.
    • Знайди виколоті точки і перетини з осями.
    • Опиши поведінку на кінцях.
  3. 6Раціональні нерівностіРозв’язуй раціональні нерівності.
    • Знайди нулі і точки, де функція не визначена.
    • Використай таблицю знаків.
    • Запиши розв’язок проміжками.

Показникові, логарифмічні та логістичні моделі

  1. 7Показникові та логарифмічні функціїБудуй графіки, розв’язуй рівняння і моделюй показниковими та логарифмічними функціями.
    • Побудуй графіки перетворень показникових і логарифмічних функцій.
    • Розв’язуй рівняння з логарифмами.
    • Моделюй зростання зі складними відсотками і неперервне зростання.
  2. 8Логістичне зростанняМоделюй логістичною функцією зростання, яке виходить на рівень.
    • Прочитай ємність середовища.
    • Знайди точку найшвидшого зростання.
    • Порівняй логістичне і показникове зростання.
  3. 9Напівлогарифмічні графіки і випрямлення данихВипрямляй показникові дані логарифмами на напівлогарифмічному графіку.
    • Відклади log y проти x.
    • Знай, що показникові дані виглядають як пряма на напівлогарифмічному графіку.
    • Знайди показникову модель за цією прямою.

Тригонометричні функції

  1. 10Радіани й одиничне колоЗа одиничним колом знайди всі шість тригонометричних значень будь-якого кута в радіанах.
    • Переводь градуси в радіани і назад.
    • Знайди точні значення в особливих кутах.
    • Знайди довжину дуги і кутову швидкість.
  2. 11Графіки всіх шести тригонометричних функційБудуй графіки всіх шести тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенса і обернених до них за множенням.
    • Побудуй графіки тангенса і котангенса з асимптотами.
    • Побудуй секанс і косеканс за косинусом і синусом.
    • Знайди період, амплітуду і зсуви.
  3. 12Обернені тригонометричні функціїОбчислюй обернені тригонометричні функції і будуй графіки арксинуса, арккосинуса й арктангенса.
    • Знай обмежену область кожної функції.
    • Знайди точні значення, наприклад arcsin(1/2).
    • Обчисли композиції, наприклад cos(arctan x).
  4. 13Синусоїдні моделіБудуй синусоїдні моделі за даними і передбачай за ними.
    • Моделюй тривалість світлового дня і звукові хвилі.
    • Знайди частоту хвилі.
    • За моделлю знайди моменти часу.

Тригонометричні тотожності та рівняння

  1. 14Основні тотожностіВикористовуй основні тотожності: обернених величин, частки, Піфагора та парності-непарності.
    • Використай усі три тотожності Піфагора.
    • Використай тотожності парності-непарності і кофункцій.
    • Спрощуй тригонометричні вирази.
  2. 15Перевірка тотожностейПеревіряй тригонометричну тотожність крок за кроком.
    • Працюй лише з одним боком.
    • Перепиши через синус і косинус.
    • Розклади на множники і додай дроби.
  3. 16Формули суми і різниціВикористовуй формули суми і різниці для синуса, косинуса і тангенса.
    • Знайди точне значення sin 75°.
    • Доведи формули.
    • Спрощуй вирази за їхньою допомогою.
  4. 17Формули подвійного і половинного кутаВикористовуй формули подвійного кута і половинного кута.
    • Використай sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
    • Використай усі три види cos 2θ.
    • Знайди точні значення половинного кута.
  5. 18Розв’язування тригонометричних рівняньРозв’язуй тригонометричні рівняння на проміжку і в загальному вигляді.
    • Знайди всі розв’язки на [0, 2π).
    • Запиши загальний розв’язок.
    • Розв’язуй розкладом на множники і за допомогою тотожностей.

Трикутники і вектори

  1. 19Теорема синусів і неоднозначний випадокРозв’язуй трикутники за теоремою синусів, зокрема в неоднозначному випадку SSA.
    • Використай теорему синусів.
    • Виріши, чи дає SSA 0, 1 чи 2 трикутники.
    • Розв’язуй задачі на навігацію.
  2. 20Теорема косинусів і формула ГеронаРозв’язуй трикутники за теоремою косинусів і знаходь площу за формулою Герона.
    • Використай теорему косинусів для SAS і SSS.
    • Використай формулу Герона.
    • Вибери потрібну теорему для трикутника.
  3. 21ВекториОписуй вектори довжиною і напрямом та у вигляді компонент.
    • Запиши вектор у вигляді компонент.
    • Знайди довжину і кут напряму.
    • Знайди одиничний вектор.
  4. 22Дії з векторами і скалярний добутокДодавай вектори, множ на число і знаходь скалярний добуток.
    • Додавай вектори за компонентами і за малюнком.
    • Знайди скалярний добуток і кут між векторами.
    • Знайди проєкцію одного вектора на інший.
  5. 23Застосування векторівЗастосовуй вектори, щоб розв’язувати задачі про силу, швидкість і роботу.
    • Знайди рівнодійну силу.
    • Знайди шляхову швидкість літака за вітру.
    • Знайди роботу через скалярний добуток.

Полярні координати і комплексні числа

  1. 24Полярні координатиПозначай точки в полярних координатах і переводь їх у прямокутні й назад.
    • Познач точку (r, θ).
    • Переводь точки з полярних координат у прямокутні й назад.
    • Переводь рівняння з однієї форми в іншу.
  2. 25Полярні графікиБудуй полярні графіки: кола, троянди, равлики і кардіоїди.
    • Побудуй r = a cos θ і r = a sin θ.
    • Побудуй троянди r = a cos(nθ).
    • Використай симетрію, щоб будувати швидше.
  3. 26Комплексні числа в полярній форміЗаписуй комплексні числа в полярній формі і множ їх.
    • Познач комплексні числа і знайди їхній модуль.
    • Запиши z = r(cos θ + i sin θ).
    • Множ і діли в полярній формі.
  4. 27Теорема МуавраЗа теоремою Муавра знаходь степені і корені комплексних чисел.
    • Використай теорему Муавра для степенів.
    • Знайди корені n-го степеня комплексного числа.
    • Познач корені з одиниці.

Параметричні рівняння і конічні перерізи

  1. 28Параметричні рівнянняБудуй графіки параметричних рівнянь і моделюй ними рух.
    • Побудуй криву за x(t) і y(t).
    • Виключи параметр.
    • Моделюй політ кинутого тіла.
  2. 29ПараболиБудуй параболи за фокусом і директрисою.
    • Використай означення через фокус і директрису.
    • Запиши рівняння за фокусом і вершиною.
    • Знай, чому супутникові тарілки параболічні.
  3. 30ЕліпсиБудуй еліпси і знаходь їхні фокуси.
    • Використай (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1.
    • Знайди фокуси за c² = a² − b².
    • Моделюй орбіти планет.
  4. 31ГіперболиБудуй гіперболи з асимптотами і фокусами.
    • Використай (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
    • Знайди асимптоти і фокуси.
    • Визнач вид конічного перерізу за загальним рівнянням.

Матриці і системи

  1. 32Дії з матрицямиДодавай матриці, множ на число і перемножуй матриці.
    • Знай розміри, потрібні для множення.
    • Перемнож дві матриці.
    • Знай, що множення матриць не комутативне.
  2. 33Визначники й обернені матриціЗнайди визначник матриці й обернену матрицю.
    • Знайди визначник 2×2 і 3×3.
    • Знайди обернену матрицю 2×2.
    • Знай, що в матриці з визначником 0 немає оберненої.
  3. 34Розв’язування систем за допомогою матрицьРозв’язуй системи рівнянь за допомогою матриць.
    • Запиши систему як AX = B.
    • Розв’яжи за допомогою оберненої матриці.
    • Зроби зведення рядків розширеної матриці.
  4. 35Матриці як перетворенняПеретворюй фігури матрицями: повертай, відбивай і масштабуй.
    • Запиши матрицю повороту.
    • Складай перетворення множенням.
    • Знай, що визначник дає коефіцієнт зміни площі.

Індукція і границі

  1. 36Математична індукціяДоводь твердження для кожного цілого невід’ємного числа математичною індукцією.
    • Доведи базу.
    • Доведи крок індукції.
    • Доведи формулу суми.
  2. 37Вступ до границьЗнайди границі за графіками, таблицями й за допомогою алгебри.
    • Читай односторонні границі з графіка.
    • Знайди границі підстановкою і розкладом на множники.
    • Знай, коли границі немає.
  3. 38Границі на нескінченності й неперервністьЗнайди границі на нескінченності і визнач, де функція неперервна.
    • Зв’яжи границі на нескінченності з горизонтальними асимптотами.
    • Знайди границю нескінченної послідовності.
    • Назви усувний розрив, стрибок і нескінченний розрив.
  4. 39Швидкість зміни і дотичніЗнайди миттєву швидкість зміни за допомогою границі.
    • Знайди нахил січної.
    • Границею знайди нахил дотичної.
    • Зв’яжи це з миттєвою швидкістю.

Повторення, змішана практика та випробування

  1. 40Повторення функцій і тригонометріїРозв’язуй змішані задачі на функції, тотожності й тригонометричні рівняння.
    • Проаналізуй будь-яку сім’ю функцій.
    • Доводь тотожності й розв’язуй тригонометричні рівняння.
    • Розв’язуй трикутники.
  2. 41Повторення: вектори, полярні координати, конічні перерізи і границіРозв’язуй змішані задачі на вектори, полярну форму, конічні перерізи, матриці й границі.
    • Використовуй вектори і полярні координати.
    • Будуй конічні перерізи і розв’язуй системи матрицями.
    • Знайди границі.
  3. 42Випробування: початки аналізуРозв’яжи змішані питання з головних розділів початків аналізу.
    • Розв’язуй задачі з кожного розділу без підказок.
    • Поясни кожен крок.
    • Знайди теми, де треба ще потренуватися.