Усі уроки

Курс

Математика 11 класу: Алгебра 2

Працюй з комплексними числами, з многочленами, з раціональними, радикальними, показниковими, логарифмічними і тригонометричними функціями. Ухвалюй рішення за допомогою ймовірності та статистики.

Іди уроками по порядку: від базових функцій і перетворень до самостійного розв'язування задач. Наприкінці ти вмієш перетворювати функції, будувати композицію і знаходити обернену функцію. Ти розв'язуєш квадратні рівняння з комплексними розв'язками. Ти будуєш графік многочлена, ділиш многочлени і знаходиш усі нулі. Ти спрощуєш раціональні вирази і радикальні вирази, будуєш їхні графіки і розв'язуєш їхні рівняння. Ти користуєшся логарифмами, щоб розв'язувати показникові рівняння, і будуєш показникові та логарифмічні моделі. Ти знаходиш суми арифметичного ряду і геометричного ряду. Ти користуєшся одиничним колом, будуєш графіки синуса і косинуса і моделюєш періодичну поведінку. Ти знаходиш умовну ймовірність, користуєшся нормальним розподілом і судиш про висновки з опитувань і експериментів.

Як користуватися цими уроками

  • Почни з уроку, де стоїть Зроби це. Рядок під назвою зроби сам, тоді йди далі.
  • Спочатку Ігри. Потім Перевірка. 8 із 10 правильно для заліку. Аркуші на папері. Відповіді внизу.
  • Кожен урок спирається на попередній. Якщо урок важкий, повернись на один назад.
  • Для кожної нової сім'ї функцій спочатку вивчи базовий графік, потім перетворення. Накидай від руки, потім перевір у програмі для графіків. Кожен розв'язок підстав у початкове рівняння: деякі кроки додають сторонні розв'язки.

У кожному уроці є ігри, перевірка та аркуші.

0 із 40

Функції та перетворення

  1. 1Базові функції та перетворенняПобудуй графік y = a·f(b(x − h)) + k за базовою функцією.
    • Впізнай базові графіки: лінійний, квадратичний, модуль і кубічний.
    • Опиши зсуви, розтягнення і відбиття.
    • Відрізняй парні і непарні функції.
  2. 2Операції з функціями та композиціяРоби операції з функціями і композицію: додавання, віднімання, множення і ділення.
    • Знайди (f + g)(x) і (fg)(x).
    • Знайди f(g(x)) і g(f(x)).
    • Знайди область визначення складеної функції.
  3. 3Обернені функціїЗнайди обернену функцію і побудуй її графік.
    • Поміняй x і y місцями і вирази y.
    • Знай: обернена функція — це відбиття відносно y = x.
    • Перевір обернені функції композицією і звузь область визначення.

Квадратні рівняння і комплексні числа

  1. 4Комплексні числаДодавай, віднімай, множ і діли комплексні числа.
    • Користуйся i² = −1.
    • Пиши відповіді у вигляді a + bi.
    • Діли за допомогою комплексно-спряженого.
  2. 5Квадратні рівняння з комплексними розв'язкамиРозв'яжи будь-яке квадратне рівняння, зокрема з комплексними розв'язками.
    • Якщо дискримінант від'ємний, користуйся формулою коренів.
    • Знай: комплексні розв'язки йдуть спряженими парами.
    • Зв'яжи відсутність перетинів з віссю x із комплексними розв'язками.
  3. 6Квадратні нерівності та системиРозв'язуй квадратні нерівності і нелінійні системи.
    • Розв'яжи x² − x − 6 > 0 за допомогою таблиці знаків.
    • Побудуй графік квадратної нерівності.
    • Розв'яжи систему з прямої і кола.

Функції-многочлени

  1. 7Графіки многочленівНакидай многочлен за степенем, поведінкою на кінцях і нулями.
    • Знайди поведінку на кінцях за старшим членом.
    • Знай, як кратність змінює графік у нулі.
    • Знайди точки повороту і відносні екстремуми.
  2. 8Ділення многочленівДіли многочлени кутом і синтетичним діленням.
    • Діли многочлен кутом.
    • Для x − c користуйся синтетичним діленням.
    • Запиши результат з остачею.
  3. 9Теорема про остачу і теорема про множникКористуйся теоремою про остачу і теоремою про множник, щоб знайти множники.
    • Знай: p(a) — це остача при діленні на x − a.
    • Знай: якщо p(a) = 0, то x − a — множник.
    • Розклади кубічний многочлен за одним відомим нулем.
  4. 10Знайди всі нуліЗнайди всі дійсні і комплексні нулі многочлена.
    • За теоремою про раціональні корені випиши кандидатів.
    • Знай основну теорему алгебри.
    • Запиши многочлен за його нулями.
  5. 11Тотожності многочленівДоводь і застосовуй тотожності многочленів.
    • Розклади суму і різницю кубів.
    • Доведи тотожність розкриттям дужок.
    • Отримай піфагорові трійки з тотожності.
  6. 12Біном НьютонаРозкрий (a + b)ⁿ за допомогою трикутника Паскаля і бінома Ньютона.
    • Побудуй трикутник Паскаля.
    • Візьми коефіцієнти з комбінацій.
    • Знайди один член розкладу.

Раціональні функції

  1. 13Спрощення раціональних виразівСпрости раціональний вираз і вкажи обмеження.
    • Розклади чисельник і знаменник на множники.
    • Скороти спільні множники.
    • Випиши значення, які не можна підставляти.
  2. 14Множення і ділення раціональних виразівМнож і діли раціональні вирази.
    • Перед множенням розклади на множники.
    • Ділення заміни множенням на обернений дріб.
    • Спрости складений дріб.
  3. 15Додавання і віднімання раціональних виразівДодавай і віднімай раціональні вирази з різними знаменниками.
    • Знайди найменший спільний знаменник.
    • Перепиши кожен дріб і додай.
    • Спрости результат.
  4. 16Графіки раціональних функційПобудуй графік раціональної функції з асимптотами і виколотими точками.
    • Знайди вертикальні асимптоти і виколоті точки.
    • Знайди горизонтальні асимптоти за степенями.
    • Побудуй графік y = a/(x − h) + k.
  5. 17Розв'язування раціональних рівняньРозв'язуй раціональні рівняння і перевіряй сторонні розв'язки.
    • Помнож на найменший спільний знаменник.
    • Відкинь розв'язки, при яких знаменник дорівнює 0.
    • Розв'яжи задачі на роботу і на середню вартість.

Радикальні функції

  1. 18Радикальні виразиСпрощуй радикальні вирази і об'єднуй корені n-го степеня.
    • Спрости ∛54 і √(50x³).
    • Додавай, віднімай і множ радикали.
    • Прибери корінь зі знаменника.
  2. 19Графіки квадратного і кубічного кореняБудуй графіки квадратного і кубічного кореня та їхні перетворення.
    • Побудуй графіки y = √x і y = ∛x.
    • Знайди область визначення і область значень.
    • Зв'яжи їх як обернені функції до x² і x³.
  3. 20Розв'язування радикальних рівняньРозв'язуй радикальні рівняння і перевіряй сторонні розв'язки.
    • Спочатку залиш радикал сам.
    • Піднеси обидві частини до степеня.
    • Перевір кожен розв'язок у початковому рівнянні.

Показникові та логарифмічні функції

  1. 21Показникові функції і число eБудуй графік показникової функції і користуйся числом e.
    • Побудуй графік y = abˣ і знайди асимптоту.
    • Для неперервного зростання користуйся A = Pe^(rt).
    • Порівняй періоди нарахування відсотків.
  2. 22ЛогарифмиПереходь між показниковою і логарифмічною формою і будуй графік логарифма.
    • Знай: log_b x = y означає bʸ = x.
    • Обчислюй десяткові і натуральні логарифми.
    • Побудуй графік y = log_b x як обернену функцію до bˣ.
  3. 23Властивості логарифмівРозкладай логарифми і збирай логарифми назад.
    • Користуйся правилами добутку, частки і степеня.
    • Розкладай вирази і збирай їх.
    • Користуйся формулою заміни основи.
  4. 24Розв'язування показникових і логарифмічних рівняньРозв'язуй показникові і логарифмічні рівняння.
    • Візьми логарифм обох частин, щоб розв'язати 3ˣ = 20.
    • Щоб розв'язати логарифмічне рівняння, перейди до показникової форми.
    • Відкинь розв'язки поза областю визначення.
  5. 25Показникові та логарифмічні моделіБудуй і застосовуй показникові та логарифмічні моделі.
    • Знайди час подвоєння і період піврозпаду.
    • Користуйся шкалами pH і децибел.
    • Підбери показникову модель до даних.

Послідовності та ряди

  1. 26Сигма-записЗаписуй і обчислюй суми в сигма-записі.
    • Прочитай індекс, межі і правило.
    • Розкрий коротку суму і додай.
    • Запиши суму в сигма-записі.
  2. 27Арифметичний рядЗнайди суму арифметичного ряду.
    • Користуйся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
    • Знайди кількість членів.
    • Розв'яжи задачі про місця в залі і про заощадження.
  3. 28Геометричний рядЗнайди суму скінченного і нескінченного геометричного ряду.
    • Користуйся Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r).
    • Знай: нескінченний ряд збігається, коли |r| < 1.
    • Знайди платежі за кредит і іпотеку.

Тригонометричні функції

  1. 29Одиничне колоЗнайди синус і косинус будь-якого кута за одиничним колом.
    • Малюй кути в стандартному положенні в градусах і радіанах.
    • Знайди точні значення для особливих кутів.
    • Користуйся опорними кутами і знаками за чвертями.
  2. 30Графіки синуса і косинусаБудуй графіки синуса і косинуса з амплітудою, періодом і зсувами.
    • Знайди амплітуду і період.
    • Побудуй зсув фази і вертикальний зсув.
    • Побудуй графік y = tan x.
  3. 31Модель періодичної поведінкиЗапиши тригонометричну функцію як модель періодичної поведінки.
    • Змоделюй припливи і оглядове колесо.
    • Знайди середню лінію і амплітуду за даними.
    • Користуйся моделлю, щоб передбачити.
  4. 32Піфагорова тотожністьДоведи і застосовуй піфагорову тотожність sin²θ + cos²θ = 1.
    • Доведи тотожність за допомогою одиничного кола.
    • Знайди cos θ за sin θ і чвертю.
    • Спрости тригонометричні вирази.

Ймовірність і статистика

  1. 33Перестановки і комбінаціїЛічи перестановки і комбінації.
    • Користуйся правилом добутку.
    • Знай, коли порядок важливий.
    • За допомогою nPr і nCr знайди ймовірності.
  2. 34Умовна ймовірність і незалежністьЗнайди умовну ймовірність і перевір незалежність.
    • Користуйся P(A | B) = P(A і B) / P(B).
    • Користуйся правилом додавання.
    • Знай: A і B незалежні, коли P(A і B) = P(A)P(B).
  3. 35Нормальний розподілОцінюй відсотки за допомогою нормального розподілу.
    • Користуйся правилом 68-95-99.7.
    • Знайди z-оцінку і поясни її.
    • Знай, коли нормальна модель підходить.
  4. 36Опитування, експерименти і дослідженняВідрізняй опитування, експерименти і спостережні дослідження.
    • Знай, як випадковий вибір зменшує зміщення.
    • Знай: лише експерименти показують причину і наслідок.
    • Поміть зміщення в питанні опитування.
  5. 37Межа похибки і статистичний висновокКористуйся симуляцією і межею похибки, щоб судити про статистичний висновок.
    • Оціни частку в сукупності за вибіркою.
    • Поясни межу похибки.
    • За допомогою симуляції виріши, чи значуща різниця.

Повторення, змішана практика і виклики

  1. 38Повторення сімей функційРозв'язуй змішані задачі про многочлени, раціональні, радикальні і показникові функції.
    • Зістав графік із сім'єю функцій.
    • Розв'яжи рівняння кожного виду.
    • Перевір сторонні розв'язки.
  2. 39Повторення: ряди, тригонометрія і статистикаРозв'язуй змішані задачі про ряди, тригонометрію і статистику.
    • Знайди суми арифметичного і геометричного ряду.
    • Будуй графіки і моделі з тригонометричними функціями.
    • Знайди ймовірності і поясни статистику.
  3. 40Виклик з алгебри 2Виконай змішані питання виклику з головних розділів алгебри 2.
    • Розв'язуй задачі з кожного розділу без підказок.
    • Вибери відповідну функцію для моделі ситуації.
    • Знайди теми, де треба ще потренуватися.