Усі уроки

Курс

Математика 10 класу: геометрія

Пиши доведення, використовуй перетворення, доводь конгруентність і подібність трикутників, розв’язуй прямокутні трикутники за допомогою тригонометрії та вивчай кола й тіла.

Проходь уроки по порядку: від точок і прямих до самостійного розв’язування задач. Наприкінці ти вмієш використовувати логіку й побудови, доводити теореми про прямі й кути та описувати конгруентність через жорсткі рухи. Ти вмієш доводити конгруентність трикутників, використовувати властивості трикутників і чотирикутників і доводити подібність трикутників за допомогою гомотетій. Ти вмієш розв’язувати прямокутні трикутники за допомогою теореми Піфагора й тригонометрії та використовувати теорему синусів і теорему косинусів. Ти вмієш знаходити довжини дуг, площі секторів і вписані кути та записувати рівняння кола. Ти вмієш писати координатні доведення і знаходити об’єми призм, циліндрів, пірамід, конусів і куль.

Як користуватися цими уроками

  • Почни з уроку, де написано Зроби це. Іди далі, коли сам робиш рядок під назвою.
  • Спочатку грай: Ігри. Потім зроби: Перевірка. 8 із 10 правильно для заліку. Аркуші на папері. Відповіді внизу.
  • Кожен урок спирається на попередній. Якщо урок важкий, повернися на один назад.
  • Для кожної задачі намалюй і підпиши рисунок. Тримай поруч циркуль, лінійку й транспортир. У доведенні дай причину для кожного твердження.

У кожному уроці є ігри, перевірка та аркуші.

0 із 43

Основи, побудови і логіка

  1. 1Точки, прямі і площиниНазивай і описуй точки, прямі, промені, відрізки і площини.
    • Використовуй правильні позначення прямих, променів і відрізків.
    • Знай неозначувані поняття геометрії.
    • Опиши, як перетинаються прямі і площини.
  2. 2Відстань, середина і міра кутаЗнаходи довжини, середини і міри кутів.
    • Використовуй формулу відстані на координатній площині.
    • Використовуй формулу середини.
    • Використовуй постулати додавання відрізків і кутів.
  3. 3ПобудовиБудуй копії, бісектриси і перпендикуляри циркулем і лінійкою.
    • Скопіюй відрізок і кут.
    • Поділи навпіл відрізок і кут.
    • Побудуй перпендикуляр і паралельну пряму.
  4. 4Логіка й умовні висловленняПиши умовні висловлення, обернені та контрприклади.
    • Запиши обернене, протилежне і контрапозитивне висловлення.
    • Знайди контрприклад до хибного твердження.
    • Відрізни індуктивне міркування від дедуктивного.

Прямі, кути і доведення

  1. 5Паралельні прямі і січнаВикористовуй пари кутів, які дають паралельні прямі і січна.
    • Назви відповідні, внутрішні різносторонні й односторонні кути.
    • Знайди невідомі кути.
    • Доведи, що прямі паралельні, за парами кутів.
  2. 6Пиши доведенняПиши двостовпчикові доведення і доведення абзацом.
    • Бери означення, постулати і теореми як причини.
    • Використовуй властивості алгебри в доведеннях.
    • Напиши доведення у двох стовпчиках і абзацом.
  3. 7Доведи теореми про прямі й кутиДоводь теореми про вертикальні кути і серединні перпендикуляри.
    • Доведи, що вертикальні кути конгруентні.
    • Доведи, що точки серединного перпендикуляра рівновіддалені від кінців відрізка.
    • Доведи теорему про внутрішні різносторонні кути.

Перетворення і конгруентність

  1. 8Жорсткі рухиОписуй паралельні перенесення, відображення і повороти як функції.
    • Запиши правила, наприклад (x, y) → (−y, x).
    • Опиши послідовність перетворень.
    • Знай, що жорсткі рухи зберігають довжини і кути.
  2. 9Конгруентність через жорсткі рухиПокажи, що фігури конгруентні, послідовністю жорстких рухів.
    • Означ конгруентність через жорсткі рухи.
    • Знайди послідовність, яка переводить одну фігуру в іншу.
    • Назви відповідні частини.
  3. 10СиметріяЗнаходи осьову і поворотну симетрію фігур.
    • Знайди осі симетрії многокутника.
    • Знайди кут поворотної симетрії.
    • Опиши перетворення, які переводять фігуру саму в себе.

Трикутники

  1. 11Конгруентність трикутниківДоводь конгруентність трикутників за допомогою SSS, SAS, ASA, AAS і HL.
    • Вибери потрібну ознаку конгруентності.
    • Поясни, чому SSA не працює.
    • Використовуй CPCTC у доведеннях.
  2. 12Теореми про кути трикутникаДоводь і використовуй теорему про суму кутів трикутника і теорему про зовнішній кут.
    • Доведи, що кути трикутника в сумі дають 180°.
    • Використовуй теорему про зовнішній кут.
    • Знайди невідомі кути за допомогою алгебри.
  3. 13Рівнобедрені і рівносторонні трикутникиВикористовуй теорему про кути при основі та обернену до неї.
    • Знай, що кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.
    • За оберненою теоремою знайди рівні сторони.
    • Знай, що рівносторонній трикутник рівнокутний.
  4. 14Бісектриси, медіани і висотиЗнаходи центр описаного кола, центр вписаного кола, центроїд і ортоцентр.
    • Побудуй кожен центр трикутника.
    • Знай, що центроїд ділить медіану у відношенні 2 до 1.
    • Використовуй теорему про середню лінію.
  5. 15Нерівності трикутникаВиріши, чи дають три довжини трикутник, і впорядкуй його сторони й кути.
    • Використовуй теорему про нерівність трикутника.
    • Знай, що навпроти найбільшого кута лежить найбільша сторона.
    • Знайди, в яких межах може бути довжина третьої сторони.

Многокутники і чотирикутники

  1. 16Суми кутів многокутникаЗнаходи суми внутрішніх і зовнішніх кутів многокутників.
    • Для суми внутрішніх кутів використовуй (n − 2) × 180°.
    • Знай, що зовнішні кути в сумі дають 360°.
    • Знайди кожен кут правильного многокутника.
  2. 17Властивості паралелограмівДоводь і використовуй властивості паралелограмів.
    • Доведи, що протилежні сторони і кути конгруентні.
    • Доведи, що діагоналі ділять одна одну навпіл.
    • Покажи, що чотирикутник є паралелограмом.
  3. 18Прямокутники, ромби і квадратиВикористовуй властивості особливих паралелограмів.
    • Знай, що діагоналі прямокутника конгруентні.
    • Знай, що діагоналі ромба перпендикулярні.
    • Класифікуй чотирикутник за його властивостями.
  4. 19Трапеції і дельтоїдиВикористовуй властивості трапецій і дельтоїдів.
    • Використовуй теорему про середню лінію трапеції.
    • Знай властивості рівнобедреної трапеції.
    • Знай, що діагоналі дельтоїда перпендикулярні.

Подібність

  1. 20ГомотетіїБудуй гомотетії фігур і опиши, що робить коефіцієнт k.
    • Побудуй гомотетію з центра з коефіцієнтом k.
    • Знай, що гомотетія переводить пряму в паралельну пряму.
    • Означ подібність через гомотетії і жорсткі рухи.
  2. 21Подібні трикутникиДоводь подібність трикутників за допомогою AA, SAS і SSS.
    • Використовуй ознаку подібності AA.
    • Склади і розв’яжи пропорції для невідомих сторін.
    • Розв’язуй задачі на непряме вимірювання за тінями.
  3. 22Пропорції в трикутникахВикористовуй теорему Фалеса і теорему про бісектрису кута.
    • Використовуй теорему Фалеса.
    • Використовуй теорему про бісектрису кута трикутника.
    • Доведи теорему Піфагора за допомогою подібних трикутників.

Прямокутні трикутники і тригонометрія

  1. 23Теорема Піфагора й обернена до неїВикористовуй теорему Піфагора і класифікуй трикутники за сторонами.
    • Знайди невідомі сторони прямокутних трикутників.
    • За оберненою теоремою перевір, чи трикутник прямокутний.
    • Класифікуй трикутники: гострокутні, прямокутні чи тупокутні.
  2. 24Особливі прямокутні трикутникиЗнаходи сторони трикутників 45-45-90 і 30-60-90.
    • Використовуй відношення 1 : 1 : √2.
    • Використовуй відношення 1 : √3 : 2.
    • Залишай точні відповіді з радикалами.
  3. 25Синус, косинус і тангенсЗнаходи тригонометричні відношення в прямокутному трикутнику.
    • Використовуй SOH CAH TOA.
    • Знай, що відношення беруться з подібних трикутників.
    • Знай, що sin A = cos (90° − A).
  4. 26Розв’язуй прямокутні трикутникиЗнаходи невідомі сторони і кути за допомогою тригонометрії.
    • Знаходи кути за допомогою обернених тригонометричних функцій.
    • Розв’язуй задачі на кут підйому і кут зниження.
    • Округляй відповіді розумно.
  5. 27Теорема синусів і теорема косинусівРозв’язуй будь-який трикутник за допомогою теореми синусів або теореми косинусів.
    • Використовуй теорему синусів.
    • Використовуй теорему косинусів.
    • Знайди площу за формулою 1/2 ab sin C.

Кола

  1. 28Частини кола і дугиНазивай частини кола і знаходи міри дуг.
    • Назви радіуси, хорди, діаметри, січні і дотичні.
    • Знайди міри меншої і більшої дуги.
    • Знай, що всі кола подібні.
  2. 29Довжина дуги і радіаниЗнаходи довжину дуги і перетворюй градуси на радіани.
    • Знайди довжину дуги як частку довжини кола.
    • Дай означення радіана.
    • Перетворюй градуси на радіани і навпаки.
  3. 30Площа сектораЗнаходи площу сектора.
    • Знайди площу сектора як частку площі круга.
    • Знайди площу сегмента круга.
    • Розв’язуй задачі про піцу і поливальницю.
  4. 31Вписані кутиВикористовуй зв’язок вписаних кутів і дуг.
    • Знай, що вписаний кут дорівнює половині своєї дуги.
    • Знай, що кут, вписаний у півколо, прямий.
    • Знай, що протилежні кути вписаного чотирикутника в сумі дають 180°.
  5. 32Дотичні, хорди і січніВикористовуй властивості дотичних, хорд і січних.
    • Знай, що дотична перпендикулярна до радіуса.
    • Використовуй добутки відрізків для хорд і січних.
    • Знайди кути, які утворюють хорди, січні і дотичні.
  6. 33Рівняння кілЗаписуй і будуй рівняння кола.
    • Використовуй (x − h)² + (y − k)² = r².
    • Знайди центр і радіус виділенням повного квадрата.
    • Виріши, чи лежить точка на колі.

Координатна геометрія

  1. 34Координатні доведенняДоводь геометричні факти за допомогою координат.
    • Зручно розміщуй фігури на координатній площині.
    • За кутовим коефіцієнтом і відстанню класифікуй чотирикутник.
    • Доведи, що середня лінія паралельна стороні.
  2. 35Поділи відрізокЗнайди точку, яка ділить відрізок у заданому відношенні.
    • Знайди точку, яка пройшла 2/5 шляху від A до B.
    • Поділи відрізок у відношенні 1 : 3.
    • Пов’яжи поділ відрізка з гомотетіями.
  3. 36Периметр і площа за координатамиЗнаходи периметр і площу многокутників на координатній площині.
    • Для периметра використовуй формулу відстані.
    • Знайди площу розбиттям або описанням прямокутником.
    • Знайди площу трикутника за його вершинами.

Об’єм і моделювання

  1. 37Об’єм призм і циліндрівЗнаходи і пояснюй об’єми призм і циліндрів.
    • Використовуй V = Bh.
    • Поясни принцип Кавальєрі.
    • Знайди об’єм похилих тіл.
  2. 38Піраміди, конуси і куліЗнаходи об’єм і площу поверхні пірамід, конусів і куль.
    • Використовуй V = 1/3 Bh.
    • Використовуй V = 4/3 πr³ і SA = 4πr².
    • Розв’язуй задачі про складені тіла.
  3. 39Перерізи і тіла обертанняОписуй перерізи і тіло, яке утворюється обертанням фігури.
    • Назви перерізи призм, циліндрів і конусів.
    • Опиши тіло, яке утворюється обертанням прямокутника або трикутника.
    • Пов’яжи плоскі фігури з об’ємними тілами.
  4. 40Густина і моделювання конструкційВикористовуй геометрію, щоб моделювати задачі про густину і конструкції.
    • Знайди густину населення на квадратну милю.
    • Знайди масу предмета за його густиною.
    • Спроєктуй коробку під задану умову.

Повторення, змішана практика і задачі

  1. 41Повторення: доведення і конгруентністьРозв’язуй змішані задачі на доведення, перетворення, трикутники і чотирикутники.
    • Пиши доведення з причинами.
    • Доводь конгруентність і подібність трикутників.
    • Використовуй властивості чотирикутників.
  2. 42Повторення: тригонометрія, кола й об’ємРозв’язуй змішані задачі на тригонометрію, кола і тіла.
    • Розв’язуй прямокутні і косокутні трикутники.
    • Знаходи дуги, сектори і рівняння кіл.
    • Знаходи об’єми тіл.
  3. 43Випробування з геометріїРозв’яжи змішані питання з головних розділів.
    • Розв’язуй задачі з кожного розділу без підказок.
    • Поясни кожну відповідь теоремою.
    • Знайди теми, які треба ще потренувати.