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Curso

Matemática do 12.º ano: Pré-cálculo

Analisa o comportamento das funções, domina a trigonometria, trabalha com vetores, coordenadas polares, cónicas e matrizes, e vê os limites pela primeira vez.

Faz as lições por ordem, da análise do comportamento das funções até resolveres problemas sozinho. No fim, sabes analisar o comportamento das funções e combinar funções, resolver inequações polinomiais e inequações racionais, e modelar com funções exponenciais, logarítmicas e logísticas. Sabes traçar o gráfico das seis funções trigonométricas e das funções trigonométricas inversas, provar identidades e resolver equações trigonométricas. Sabes resolver qualquer triângulo e usar vetores para forças e movimento. Sabes traçar gráficos em coordenadas polares, escrever números complexos na forma polar e usar o teorema de De Moivre. Sabes traçar equações paramétricas e cónicas e resolver sistemas com matrizes. Sabes provar afirmações por indução e encontrar limites, a primeira ideia do cálculo.

Como usar estas lições

  • Começa na lição marcada Faz isto. Segue quando conseguires fazer sozinho a linha por baixo do título.
  • Joga os Jogos primeiro. Depois faz os Testes. 8 de 10 certas para passar. As Fichas são em papel. As respostas estão em baixo.
  • Cada lição assenta na anterior. Se uma lição for difícil, volta uma atrás.
  • Este curso prepara-te para cálculo. Sabe o círculo unitário de cor. Guarda uma lista de identidades à medida que as aprendes. Esboça cada gráfico à mão e depois confere-o numa app de gráficos.

Cada lição tem jogos, testes e fichas.

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Funções revistas

  1. 1Analisa o comportamento das funçõesAnalisa o comportamento de uma função: onde cresce, decresce e atinge os extremos.
    • Encontra intervalos de crescimento e decrescimento.
    • Encontra extremos relativos e absolutos.
    • Encontra a taxa média de variação num intervalo.
  2. 2Combina e decompõe funçõesCombina funções antigas em funções novas e decompõe uma função numa composição.
    • Compõe funções e encontra o domínio.
    • Escreve h(x) = √(x² + 1) como f(g(x)).
    • Modela uma situação com uma função composta.
  3. 3Inversas e restrições do domínioRestringe um domínio para a função ter inversa.
    • Usa o teste da reta horizontal.
    • Restringe o domínio de x² para encontrar a inversa.
    • Lê valores da inversa numa tabela ou num gráfico.

Funções polinomiais e racionais

  1. 4Comportamento de polinómios e inequaçõesResolve inequações polinomiais com zeros e quadros de sinais.
    • Encontra todos os zeros e as suas multiplicidades.
    • Usa um quadro de sinais para resolver p(x) ≥ 0.
    • Modela volume e lucro com polinómios.
  2. 5Funções racionais e assíntotas oblíquasTraça funções racionais, incluindo assíntotas oblíquas.
    • Encontra assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
    • Encontra buracos e interseções.
    • Descreve o comportamento nas extremidades.
  3. 6Inequações racionaisResolve inequações racionais.
    • Encontra zeros e pontos onde a função não está definida.
    • Usa um quadro de sinais.
    • Escreve a solução em notação de intervalos.

Modelos exponenciais, logarítmicos e logísticos

  1. 7Funções exponenciais e logarítmicasTraça, resolve e modela com funções exponenciais e logarítmicas.
    • Traça transformações de funções exponenciais e logarítmicas.
    • Resolve equações com logaritmos.
    • Modela crescimento composto e contínuo.
  2. 8Crescimento logísticoModela um crescimento que estabiliza com uma função logística.
    • Lê a capacidade de carga.
    • Encontra o ponto de crescimento mais rápido.
    • Compara crescimento logístico e exponencial.
  3. 9Gráficos semilogarítmicos e endireitar dadosUsa logaritmos para endireitar dados exponenciais num gráfico semilogarítmico.
    • Marca log y em função de x.
    • Sabe que dados exponenciais parecem lineares num gráfico semilogarítmico.
    • Encontra um modelo exponencial a partir da reta.

Funções trigonométricas

  1. 10Radianos e o círculo unitárioEncontra os seis valores trigonométricos de qualquer ângulo em radianos.
    • Converte entre graus e radianos.
    • Encontra valores exatos em ângulos notáveis.
    • Encontra o comprimento do arco e a velocidade angular.
  2. 11Traça as seis funções trigonométricasTraça as seis funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente e as suas recíprocas.
    • Traça tangente e cotangente com assíntotas.
    • Traça secante e cossecante a partir do cosseno e do seno.
    • Encontra período, amplitude e deslocamentos.
  3. 12Funções trigonométricas inversasCalcula e traça seno, cosseno e tangente inversos.
    • Sabe o domínio restrito de cada função.
    • Encontra valores exatos como arcsin(1/2).
    • Calcula composições como cos(arctan x).
  4. 13Modelos sinusoidaisConstrói modelos sinusoidais a partir de dados e usa-os para prever.
    • Modela horas de luz do dia e ondas sonoras.
    • Encontra a frequência de uma onda.
    • Usa o modelo para encontrar tempos.

Identidades e equações trigonométricas

  1. 14Identidades fundamentaisUsa identidades recíprocas, do quociente, de Pitágoras e par-ímpar.
    • Usa as três identidades de Pitágoras.
    • Usa identidades par-ímpar e de cofunções.
    • Simplifica expressões trigonométricas.
  2. 15Prova identidadesProva uma identidade trigonométrica passo a passo.
    • Trabalha só num lado.
    • Reescreve em senos e cossenos.
    • Fatoriza e junta frações.
  3. 16Fórmulas da soma e da diferençaUsa as fórmulas da soma e da diferença para seno, cosseno e tangente.
    • Encontra o valor exato de sin 75°.
    • Prova as fórmulas.
    • Simplifica expressões com elas.
  4. 17Fórmulas do ângulo duplo e do meio ânguloUsa as fórmulas do ângulo duplo e do meio ângulo.
    • Usa sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
    • Usa as três formas de cos 2θ.
    • Encontra valores exatos de meio ângulo.
  5. 18Resolve equações trigonométricasResolve equações trigonométricas num intervalo e em geral.
    • Encontra todas as soluções em [0, 2π).
    • Escreve a solução geral.
    • Resolve por fatorização e com identidades.

Triângulos e vetores

  1. 19A lei dos senos e o caso ambíguoResolve triângulos com a lei dos senos, incluindo o caso SSA.
    • Usa a lei dos senos.
    • Decide se SSA dá 0, 1 ou 2 triângulos.
    • Resolve problemas de navegação.
  2. 20A lei dos cossenos e a fórmula de HeronResolve triângulos com a lei dos cossenos e encontra a área com a fórmula de Heron.
    • Usa a lei dos cossenos para SAS e SSS.
    • Usa a fórmula de Heron.
    • Escolhe a lei certa para um triângulo.
  3. 21VetoresDescreve vetores pela magnitude e direção e na forma de componentes.
    • Escreve um vetor na forma de componentes.
    • Encontra a magnitude e o ângulo de direção.
    • Encontra um vetor unitário.
  4. 22Operações com vetores e o produto escalarSoma, escala e multiplica vetores com o produto escalar.
    • Soma vetores com componentes e diagramas.
    • Encontra o produto escalar e o ângulo entre vetores.
    • Encontra a projeção de um vetor sobre outro.
  5. 23Aplicações de vetoresUsa vetores para resolver problemas de força, velocidade e trabalho.
    • Encontra a força resultante.
    • Encontra a velocidade em relação ao solo de um avião no vento.
    • Encontra o trabalho com o produto escalar.

Coordenadas polares e números complexos

  1. 24Coordenadas polaresMarca pontos e converte entre a forma polar e a retangular.
    • Marca (r, θ).
    • Converte pontos entre polar e retangular.
    • Converte equações entre as formas.
  2. 25Gráficos polaresTraça circunferências, rosáceas, limaçons e cardioides.
    • Traça r = a cos θ e r = a sin θ.
    • Traça rosáceas r = a cos(nθ).
    • Usa a simetria para traçar mais depressa.
  3. 26Números complexos na forma polarEscreve números complexos na forma polar e multiplica-os.
    • Marca números complexos e encontra o módulo.
    • Escreve z = r(cos θ + i sin θ).
    • Multiplica e divide na forma polar.
  4. 27Teorema de De MoivreEncontra potências e raízes de números complexos com o teorema de De Moivre.
    • Usa o teorema de De Moivre para potências.
    • Encontra as raízes de ordem n de um número complexo.
    • Marca as raízes da unidade.

Equações paramétricas e cónicas

  1. 28Equações paramétricasTraça equações paramétricas e modela o movimento com elas.
    • Traça uma curva a partir de x(t) e y(t).
    • Elimina o parâmetro.
    • Modela o movimento de um projétil.
  2. 29ParábolasTraça parábolas a partir do foco e da diretriz.
    • Usa a definição foco-diretriz.
    • Escreve a equação a partir do foco e do vértice.
    • Sabe por que as antenas parabólicas são parábolas.
  3. 30ElipsesTraça elipses e encontra os focos.
    • Usa (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1.
    • Encontra os focos com c² = a² − b².
    • Modela órbitas de planetas.
  4. 31HipérbolesTraça hipérboles com as assíntotas e os focos.
    • Usa (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
    • Encontra as assíntotas e os focos.
    • Classifica uma cónica a partir da equação geral.

Matrizes e sistemas

  1. 32Operações com matrizesSoma, escala e multiplica matrizes.
    • Sabe as dimensões necessárias para multiplicar.
    • Multiplica duas matrizes.
    • Sabe que a multiplicação de matrizes não é comutativa.
  2. 33Determinantes e matrizes inversasEncontra o determinante e a inversa de uma matriz.
    • Encontra um determinante 2×2 e 3×3.
    • Encontra uma inversa 2×2.
    • Sabe que uma matriz com determinante 0 não tem inversa.
  3. 34Resolve sistemas com matrizesResolve sistemas de equações com matrizes.
    • Escreve um sistema como AX = B.
    • Resolve com uma matriz inversa.
    • Usa redução por linhas numa matriz aumentada.
  4. 35Matrizes como transformaçõesUsa matrizes para rodar, refletir e escalar figuras.
    • Escreve a matriz de uma rotação.
    • Compõe transformações multiplicando.
    • Sabe que o determinante dá o fator de escala da área.

Indução e limites

  1. 36Indução matemáticaProva uma afirmação para cada número natural por indução.
    • Prova o caso base.
    • Prova o passo indutivo.
    • Prova uma fórmula para uma soma.
  2. 37Introdução aos limitesEncontra limites a partir de gráficos, tabelas e álgebra.
    • Lê limites laterais num gráfico.
    • Encontra limites por substituição e fatorização.
    • Sabe quando um limite não existe.
  3. 38Limites no infinito e continuidadeEncontra limites no infinito e decide onde uma função é contínua.
    • Liga limites no infinito a assíntotas horizontais.
    • Encontra o limite de uma sucessão infinita.
    • Nomeia descontinuidades removíveis, de salto e infinitas.
  4. 39Taxas de variação e retas tangentesEncontra a taxa de variação instantânea com um limite.
    • Encontra o declive de uma reta secante.
    • Usa um limite para encontrar o declive de uma reta tangente.
    • Liga-o à velocidade instantânea.

Revisão, prática mista e desafios

  1. 40Revisão de funções e trigonometriaResolve problemas mistos com funções, identidades e equações trigonométricas.
    • Analisa qualquer família de funções.
    • Prova identidades e resolve equações trigonométricas.
    • Resolve triângulos.
  2. 41Revisão de vetores, polares, cónicas e limitesResolve problemas mistos com vetores, formas polares, cónicas, matrizes e limites.
    • Usa vetores e coordenadas polares.
    • Traça cónicas e resolve sistemas com matrizes.
    • Encontra limites.
  3. 42Desafio de pré-cálculoCompleta perguntas mistas que cobrem as unidades principais.
    • Resolve problemas de cada unidade sem pistas.
    • Explica cada passo.
    • Encontra as partes que precisam de mais prática.