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Curso

Matemática do 11.º ano: Álgebra 2

Trabalha com números complexos e com funções polinomiais, racionais, radicais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, e usa a probabilidade e a estatística para tomar decisões.

Faz as lições por ordem, das transformações de funções até resolveres problemas sozinho. No fim, sabes fazer transformações, composição e funções inversas, e resolver equações quadráticas com soluções complexas. Sabes traçar funções polinomiais, dividir polinómios e encontrar todos os seus zeros. Sabes simplificar expressões racionais e radicais, traçar as suas funções e resolver as suas equações. Sabes usar logaritmos para resolver equações exponenciais e construir modelos de crescimento. Sabes encontrar somas de séries aritméticas e geométricas. Sabes usar a circunferência unitária para traçar gráficos e modelar com seno e cosseno. Sabes encontrar probabilidades condicionais, usar a distribuição normal e avaliar conclusões de inquéritos e experiências.

Como usar estas lições

  • Começa na lição marcada Faz isto. Segue quando conseguires fazer sozinho a linha por baixo do título.
  • Joga os Jogos primeiro. Depois faz os Testes. 8 de 10 certas para passar. As Fichas são em papel. As respostas estão em baixo.
  • Cada lição assenta na anterior. Se uma lição for difícil, volta uma atrás.
  • Para cada nova família de funções, aprende primeiro o gráfico de base e depois as transformações. Esboça à mão e depois confere com uma app de gráficos. Confere cada solução na equação original, porque alguns passos acrescentam soluções a mais.

Cada lição tem jogos, testes e fichas.

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Funções e transformações

  1. 1Funções de base e transformaçõesTraça y = a·f(b(x − h)) + k a partir de uma função de base.
    • Reconhece os gráficos de base linear, quadrático, de módulo e cúbico.
    • Descreve deslocamentos, alongamentos e reflexões.
    • Distingue funções pares e ímpares.
  2. 2Operações e composição de funçõesSoma, subtrai, multiplica, divide e faz a composição de funções.
    • Encontra (f + g)(x) e (fg)(x).
    • Encontra f(g(x)) e g(f(x)).
    • Encontra o domínio de uma função combinada.
  3. 3Funções inversasEncontra e traça a função inversa.
    • Troca x e y e resolve em ordem a y.
    • Sabe que a função inversa é uma reflexão em y = x.
    • Verifica funções inversas com a composição e restringe domínios.

Equações quadráticas e números complexos

  1. 4Números complexosSoma, subtrai, multiplica e divide números complexos.
    • Usa i² = −1.
    • Escreve as respostas na forma a + bi.
    • Divide com o conjugado complexo.
  2. 5Equações quadráticas com soluções complexasResolve qualquer equação quadrática, incluindo as que têm soluções complexas.
    • Usa a fórmula resolvente quando o discriminante é negativo.
    • Sabe que as soluções complexas vêm em pares conjugados.
    • Liga a falta de interseções com o eixo dos x às soluções complexas.
  3. 6Inequações quadráticas e sistemasResolve inequações quadráticas e sistemas não lineares.
    • Resolve x² − x − 6 > 0 com um quadro de sinais.
    • Traça uma inequação quadrática.
    • Resolve um sistema com uma reta e uma circunferência.

Funções polinomiais

  1. 7Gráficos de funções polinomiaisEsboça o gráfico de um polinómio a partir do grau, do comportamento nos extremos e dos zeros.
    • Encontra o comportamento nos extremos a partir do termo de maior grau.
    • Sabe como a multiplicidade muda o gráfico num zero.
    • Encontra pontos de viragem e extremos relativos.
  2. 8Dividir polinómiosDivide polinómios com a divisão longa e a divisão sintética.
    • Usa a divisão longa de polinómios.
    • Usa a divisão sintética para x − c.
    • Escreve o resultado com um resto.
  3. 9O teorema do resto e o teorema do fatorUsa o teorema do resto e o teorema do fator para encontrar fatores.
    • Sabe que p(a) é o resto ao dividir por x − a.
    • Sabe que x − a é um fator quando p(a) = 0.
    • Fatora um cúbico a partir de um zero conhecido.
  4. 10Encontrar todos os zerosEncontra todos os zeros reais e complexos de um polinómio.
    • Usa o teorema das raízes racionais para listar candidatos.
    • Conhece o teorema fundamental da álgebra.
    • Escreve um polinómio a partir dos seus zeros.
  5. 11Identidades polinomiaisProva e usa identidades polinomiais.
    • Fatora somas e diferenças de cubos.
    • Prova uma identidade expandindo.
    • Gera ternos pitagóricos com uma identidade.
  6. 12O teorema binomialExpande (a + b)ⁿ com o triângulo de Pascal e o teorema binomial.
    • Constrói o triângulo de Pascal.
    • Usa combinações para os coeficientes.
    • Encontra um único termo de uma expansão.

Funções racionais

  1. 13Simplificar expressões racionaisSimplifica uma expressão racional e indica as suas restrições.
    • Fatora o numerador e o denominador.
    • Cancela fatores comuns.
    • Lista os valores que não são permitidos.
  2. 14Multiplicar e dividir expressões racionaisMultiplica e divide expressões racionais.
    • Fatora antes de multiplicar.
    • Divide multiplicando pelo recíproco.
    • Simplifica frações complexas.
  3. 15Somar e subtrair expressões racionaisSoma e subtrai expressões racionais com denominadores diferentes.
    • Encontra o mínimo denominador comum.
    • Reescreve cada fração e combina.
    • Simplifica o resultado.
  4. 16Gráficos de funções racionaisTraça funções racionais com as suas assíntotas e buracos.
    • Encontra assíntotas verticais e buracos.
    • Encontra assíntotas horizontais a partir dos graus.
    • Traça y = a/(x − h) + k.
  5. 17Resolver equações racionaisResolve equações racionais e verifica soluções estranhas.
    • Multiplica pelo mínimo denominador comum.
    • Rejeita soluções que tornam um denominador 0.
    • Resolve problemas de ritmo de trabalho e de custo médio.

Funções radicais

  1. 18Expressões radicaisSimplifica e combina raízes de índice n em expressões radicais.
    • Simplifica ∛54 e √(50x³).
    • Soma, subtrai e multiplica radicais.
    • Racionaliza um denominador.
  2. 19Gráficos de funções de raiz quadrada e de raiz cúbicaTraça funções de raiz quadrada e de raiz cúbica e as suas transformações.
    • Traça y = √x e y = ∛x.
    • Encontra o domínio e o contradomínio.
    • Liga-as como inversas de x² e x³.
  3. 20Resolver equações radicaisResolve equações radicais e verifica soluções estranhas.
    • Isola primeiro o radical.
    • Eleva ambos os membros a uma potência.
    • Verifica cada solução na equação original.

Funções exponenciais e logarítmicas

  1. 21Funções exponenciais e eTraça funções exponenciais e usa o número e.
    • Traça y = abˣ e encontra a sua assíntota.
    • Usa o crescimento contínuo com A = Pe^(rt).
    • Compara períodos de capitalização.
  2. 22LogaritmosReescreve entre a forma exponencial e a logarítmica e traça funções logarítmicas.
    • Sabe que log_b x = y significa bʸ = x.
    • Calcula logaritmos comuns e naturais.
    • Traça y = log_b x como a inversa de bˣ.
  3. 23Propriedades dos logaritmosExpande e condensa logaritmos.
    • Usa as regras do produto, do quociente e da potência.
    • Expande e condensa expressões.
    • Usa a fórmula de mudança de base.
  4. 24Resolver equações exponenciais e logarítmicasResolve equações exponenciais e logarítmicas.
    • Tira o logaritmo de ambos os membros para resolver 3ˣ = 20.
    • Reescreve na forma exponencial para resolver equações logarítmicas.
    • Rejeita soluções fora do domínio.
  5. 25Modelos exponenciais e logarítmicosConstrói e usa modelos exponenciais e logarítmicos.
    • Encontra o tempo de duplicação e a semivida.
    • Usa as escalas de pH e de decibéis.
    • Ajusta um modelo exponencial aos dados.

Sucessões e séries

  1. 26Notação sigmaEscreve e calcula somas em notação sigma.
    • Lê o índice, os limites e a regra.
    • Expande e soma uma soma curta.
    • Escreve uma soma em notação sigma.
  2. 27Séries aritméticasEncontra a soma de uma série aritmética.
    • Usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
    • Encontra o número de termos.
    • Resolve problemas de lugares e de poupanças.
  3. 28Séries geométricasEncontra a soma de séries geométricas finitas e infinitas.
    • Usa Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r).
    • Sabe que uma série infinita converge quando |r| < 1.
    • Encontra prestações de empréstimos e de hipotecas.

Funções trigonométricas

  1. 29A circunferência unitáriaEncontra o seno e o cosseno de qualquer ângulo com a circunferência unitária.
    • Desenha ângulos em posição padrão em graus e radianos.
    • Encontra valores exatos em ângulos especiais.
    • Usa ângulos de referência e sinais por quadrante.
  2. 30Gráficos de seno e cossenoTraça seno e cosseno com amplitude, período e deslocamentos.
    • Encontra a amplitude e o período.
    • Traça desfasamentos e deslocamentos verticais.
    • Traça y = tan x.
  3. 31Modelar comportamento periódicoEscreve uma função trigonométrica para modelar um comportamento periódico.
    • Modela marés e rodas gigantes.
    • Encontra a linha média e a amplitude a partir dos dados.
    • Usa o modelo para prever.
  4. 32A identidade de PitágorasProva e usa a identidade de Pitágoras sin²θ + cos²θ = 1.
    • Prova a identidade com a circunferência unitária.
    • Encontra cos θ a partir de sin θ e do quadrante.
    • Simplifica expressões trigonométricas.

Probabilidade e estatística

  1. 33Permutações e combinaçõesConta arranjos e seleções com permutações e combinações.
    • Usa o princípio da contagem.
    • Sabe quando a ordem importa.
    • Usa nPr e nCr para encontrar probabilidades.
  2. 34Probabilidade condicional e independênciaEncontra probabilidades condicionais e testa a independência.
    • Usa P(A | B) = P(A e B) / P(B).
    • Usa a regra da adição.
    • Sabe que A e B são independentes quando P(A e B) = P(A)P(B).
  3. 35A distribuição normalUsa a distribuição normal para estimar percentagens.
    • Usa a regra 68-95-99.7.
    • Encontra e interpreta resultados z.
    • Sabe quando um modelo normal serve.
  4. 36Inquéritos, experiências e estudosDistingue inquéritos, experiências e estudos observacionais.
    • Sabe como a aleatorização reduz o viés.
    • Sabe que só as experiências mostram causa e efeito.
    • Deteta viés numa pergunta de inquérito.
  5. 37Margem de erro e inferênciaUsa a simulação e a margem de erro para avaliar conclusões.
    • Estima uma proporção da população a partir de uma amostra.
    • Interpreta a margem de erro.
    • Usa a simulação para decidir se uma diferença é significativa.

Revisão, prática mista e desafios

  1. 38Revisão das famílias de funçõesResolve problemas mistos com famílias de funções polinomiais, racionais, radicais e exponenciais.
    • Associa um gráfico à sua família de funções.
    • Resolve equações de todos os tipos.
    • Verifica soluções estranhas.
  2. 39Revisão de séries, trigonometria e estatísticaResolve problemas mistos com séries, funções trigonométricas e probabilidade.
    • Soma séries aritméticas e geométricas.
    • Traça gráficos e modela com funções trigonométricas.
    • Encontra probabilidades e interpreta estatística.
  3. 40Desafio de Álgebra 2Completa perguntas mistas que cobrem as unidades principais.
    • Resolve problemas de cada unidade sem dicas.
    • Escolhe a função certa para modelar uma situação.
    • Encontra as partes que precisam de mais prática.