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Curso

Matemática do 10.º ano: Geometria

Escreve demonstrações, usa transformações, demonstra triângulos congruentes e semelhantes, resolve triângulos retângulos com trigonometria e estuda circunferências e sólidos.

Faz as lições por ordem, dos pontos e das retas até resolveres problemas sozinho. No fim, sabes usar lógica e construções, demonstrar teoremas sobre retas e ângulos e descrever a congruência com movimentos rígidos. Sabes demonstrar triângulos congruentes, usar propriedades de triângulos e quadriláteros e demonstrar triângulos semelhantes com dilatações. Sabes resolver triângulos retângulos com o teorema de Pitágoras e trigonometria e usar a lei dos senos e a lei dos cossenos. Sabes encontrar comprimentos de arcos, áreas de setores e ângulos inscritos e escrever a equação de uma circunferência. Sabes escrever demonstrações com coordenadas e encontrar os volumes de prismas, cilindros, pirâmides, cones e esferas.

Como usar estas lições

  • Começa na lição marcada Faz isto. Segue quando conseguires fazer sozinho a linha por baixo do título.
  • Joga os Jogos primeiro. Depois faz os Testes. 8 de 10 certas para passar. As Fichas são em papel. As respostas estão em baixo.
  • Cada lição assenta na lição anterior. Se uma lição for difícil, volta uma atrás.
  • Desenha e identifica um diagrama em cada problema. Tem à mão um compasso, uma régua sem marcas e um transferidor. Numa demonstração, dá uma razão a cada afirmação.

Cada lição tem jogos, testes e fichas.

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Bases, construções e lógica

  1. 1Pontos, retas e planosNomeia e descreve pontos, retas, semirretas, segmentos e planos.
    • Usa a notação correta para retas, semirretas e segmentos.
    • Conhece os termos não definidos da geometria.
    • Descreve como retas e planos se intersetam.
  2. 2Distância, ponto médio e medida do ânguloEncontra distâncias, pontos médios e medidas de ângulos.
    • Usa a fórmula da distância no plano cartesiano.
    • Usa a fórmula do ponto médio.
    • Usa os postulados da adição de segmentos e da adição de ângulos.
  3. 3ConstruçõesConstrói cópias, bissetrizes e perpendiculares com compasso e régua sem marcas.
    • Copia um segmento e um ângulo.
    • Divide ao meio um segmento e um ângulo.
    • Constrói uma reta perpendicular e uma reta paralela.
  4. 4Lógica e proposições condicionaisEscreve proposições condicionais, recíprocas e contraexemplos.
    • Escreve a recíproca, a inversa e a contrarrecíproca.
    • Encontra um contraexemplo de uma afirmação falsa.
    • Distingue o raciocínio indutivo do dedutivo.

Retas, ângulos e demonstrações

  1. 5Retas paralelas e transversaisUsa os pares de ângulos formados por retas paralelas e por uma transversal.
    • Nomeia ângulos correspondentes, alternos internos e colaterais internos.
    • Encontra ângulos desconhecidos.
    • Demonstra que as retas são paralelas a partir dos pares de ângulos.
  2. 6Escrever demonstraçõesEscreve demonstrações em duas colunas e demonstrações em parágrafo.
    • Usa definições, postulados e teoremas como razões.
    • Usa propriedades da álgebra nas demonstrações.
    • Escreve uma demonstração em duas colunas e em parágrafo.
  3. 7Demonstrar teoremas sobre retas e ângulosDemonstra teoremas sobre ângulos verticalmente opostos e sobre mediatrizes.
    • Demonstra que os ângulos verticalmente opostos são congruentes.
    • Demonstra que os pontos da mediatriz são equidistantes dos extremos.
    • Demonstra o teorema dos ângulos alternos internos.

Transformações e congruência

  1. 8Movimentos rígidosDescreve translações, reflexões e rotações como funções, ou seja, como movimentos rígidos.
    • Escreve regras como (x, y) → (−y, x).
    • Descreve uma sequência de transformações.
    • Sabe que os movimentos rígidos mantêm comprimentos e ângulos.
  2. 9Congruência com movimentos rígidosMostra que as figuras são congruentes com uma sequência de movimentos rígidos.
    • Define a congruência com movimentos rígidos.
    • Encontra uma sequência que leva uma figura à outra.
    • Nomeia as partes correspondentes.
  3. 10SimetriaEncontra simetria axial e simetria rotacional nas figuras.
    • Encontra os eixos de simetria de um polígono.
    • Encontra o ângulo da simetria rotacional.
    • Descreve transformações que levam uma figura a si mesma.

Triângulos

  1. 11Congruência de triângulosDemonstra triângulos congruentes com SSS, SAS, ASA, AAS e HL.
    • Escolhe o critério de congruência certo.
    • Sabe por que razão SSA não funciona.
    • Usa CPCTC nas demonstrações.
  2. 12Teoremas dos ângulos do triânguloDemonstra e usa o teorema da soma dos ângulos e o teorema do ângulo externo.
    • Demonstra que os ângulos de um triângulo somam 180°.
    • Usa o teorema do ângulo externo.
    • Encontra ângulos desconhecidos com álgebra.
  3. 13Triângulos isósceles e equiláterosUsa o teorema dos ângulos da base e o seu recíproco em triângulos isósceles e equiláteros.
    • Sabe que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
    • Usa o recíproco para encontrar lados iguais.
    • Sabe que um triângulo equilátero é equiângulo.
  4. 14Bissetrizes, medianas e alturasUsa bissetrizes, medianas e alturas para encontrar o circuncentro, o incentro, o baricentro e o ortocentro.
    • Constrói cada centro do triângulo.
    • Sabe que o baricentro divide uma mediana na razão 2 para 1.
    • Usa o teorema do segmento médio.
  5. 15Desigualdades triangularesUsa as desigualdades triangulares para decidir se três comprimentos formam um triângulo e para ordenar lados e ângulos.
    • Usa o teorema da desigualdade triangular.
    • Sabe que o lado maior é oposto ao ângulo maior.
    • Encontra o intervalo de comprimentos possíveis para o terceiro lado.

Polígonos e quadriláteros

  1. 16Soma dos ângulos de um polígonoEncontra a soma dos ângulos internos e a soma dos ângulos externos de um polígono.
    • Usa (n − 2) × 180° para a soma interna.
    • Sabe que os ângulos externos somam 360°.
    • Encontra cada ângulo de um polígono regular.
  2. 17Propriedades dos paralelogramosDemonstra e usa as propriedades dos paralelogramos.
    • Demonstra que lados opostos e ângulos opostos são congruentes.
    • Demonstra que as diagonais se bissetam.
    • Mostra que um quadrilátero é um paralelogramo.
  3. 18Retângulos, losangos e quadradosUsa as propriedades de retângulos, losangos e quadrados.
    • Sabe que as diagonais de um retângulo são congruentes.
    • Sabe que as diagonais de um losango são perpendiculares.
    • Classifica um quadrilátero pelas suas propriedades.
  4. 19Trapézios e papagaiosUsa as propriedades de trapézios e papagaios.
    • Usa o teorema do segmento médio do trapézio.
    • Conhece as propriedades de um trapézio isósceles.
    • Sabe que as diagonais de um papagaio são perpendiculares.

Semelhança

  1. 20DilataçõesDilata figuras e descreve o efeito do fator de escala.
    • Dilata a partir de um centro com fator de escala k.
    • Sabe que uma dilatação leva uma reta a uma reta paralela.
    • Define a semelhança com dilatações e movimentos rígidos.
  2. 21Triângulos semelhantesDemonstra triângulos semelhantes com AA, SAS e SSS.
    • Usa o critério de semelhança AA.
    • Escreve e resolve proporções para os lados em falta.
    • Resolve problemas de medida indireta com sombras.
  3. 22Proporções em triângulosUsa proporções em triângulos: o teorema da paralela e o teorema da bissetriz.
    • Usa o teorema da paralela.
    • Usa o teorema da bissetriz.
    • Demonstra o teorema de Pitágoras com triângulos semelhantes.

Triângulos retângulos e trigonometria

  1. 23O teorema de Pitágoras e o seu recíprocoUsa o teorema de Pitágoras e o seu recíproco e classifica triângulos pelos lados.
    • Encontra lados em falta em triângulos retângulos.
    • Usa o recíproco para testar um triângulo retângulo.
    • Classifica triângulos como acutângulos, retângulos ou obtusângulos.
  2. 24Triângulos retângulos especiaisEncontra os lados dos triângulos retângulos especiais 45-45-90 e 30-60-90.
    • Usa a razão 1 : 1 : √2.
    • Usa a razão 1 : √3 : 2.
    • Deixa respostas exatas com radicais.
  3. 25Seno, cosseno e tangenteEncontra as razões seno, cosseno e tangente num triângulo retângulo.
    • Usa SOH CAH TOA.
    • Sabe que as razões vêm de triângulos semelhantes.
    • Sabe que sin A = cos (90° − A).
  4. 26Resolver triângulos retângulosResolve triângulos retângulos: encontra lados e ângulos em falta com trigonometria.
    • Usa a trigonometria inversa para encontrar ângulos.
    • Resolve problemas de ângulo de elevação e de depressão.
    • Arredonda as respostas de forma sensata.
  5. 27A lei dos senos e a lei dos cossenosResolve qualquer triângulo com a lei dos senos ou a lei dos cossenos.
    • Usa a lei dos senos.
    • Usa a lei dos cossenos.
    • Encontra a área com 1/2 ab sin C.

Circunferências

  1. 28Partes da circunferência e arcosNomeia partes de uma circunferência e encontra medidas de arcos.
    • Nomeia raios, cordas, diâmetros, secantes e tangentes.
    • Encontra as medidas de arcos menores e maiores.
    • Sabe que todas as circunferências são semelhantes.
  2. 29Comprimento do arco e radianosEncontra o comprimento do arco e converte entre graus e radianos.
    • Encontra o comprimento do arco como uma fração do perímetro.
    • Define um radiano.
    • Converte entre graus e radianos.
  3. 30Área do setorEncontra a área de um setor.
    • Encontra a área do setor como uma fração da área do círculo.
    • Encontra a área de um segmento de círculo.
    • Resolve problemas de pizza e de aspersores.
  4. 31Ângulos inscritosUsa a relação entre ângulos inscritos e arcos.
    • Sabe que um ângulo inscrito é metade do seu arco.
    • Sabe que um ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
    • Sabe que os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito somam 180°.
  5. 32Tangentes, cordas e secantesUsa as propriedades de tangentes, cordas e secantes.
    • Sabe que uma tangente é perpendicular ao raio.
    • Usa produtos de segmentos para cordas e secantes.
    • Encontra ângulos formados por cordas, secantes e tangentes.
  6. 33Equações de circunferênciasEscreve e representa a equação de uma circunferência.
    • Usa (x − h)² + (y − k)² = r².
    • Encontra o centro e o raio completando o quadrado.
    • Decide se um ponto está numa circunferência.

Geometria analítica

  1. 34Demonstrações com coordenadasDemonstra factos geométricos com coordenadas.
    • Coloca as figuras no plano cartesiano de forma útil.
    • Usa declive e distância para classificar um quadrilátero.
    • Demonstra que um segmento médio é paralelo a um lado.
  2. 35Dividir um segmentoEncontra o ponto que divide um segmento numa razão dada.
    • Encontra o ponto a 2/5 do caminho de A até B.
    • Divide um segmento na razão 1 : 3.
    • Liga a divisão do segmento às dilatações.
  3. 36Perímetro e área com coordenadasEncontra o perímetro e a área de polígonos no plano cartesiano.
    • Usa a fórmula da distância para o perímetro.
    • Encontra a área ao decompor ou ao fechar num retângulo.
    • Encontra a área de um triângulo a partir dos vértices.

Volume e modelos

  1. 37Volume de prismas e cilindrosEncontra e explica os volumes de prismas e cilindros.
    • Usa V = Bh.
    • Explica o princípio de Cavalieri.
    • Encontra o volume de sólidos oblíquos.
  2. 38Pirâmides, cones e esferasEncontra o volume e a área da superfície de pirâmides, cones e esferas.
    • Usa V = 1/3 Bh.
    • Usa V = 4/3 πr³ e SA = 4πr².
    • Resolve problemas de sólidos compostos.
  3. 39Secções e sólidos de revoluçãoDescreve secções e o sólido de revolução obtido ao rodar uma forma.
    • Nomeia secções de prismas, cilindros e cones.
    • Descreve o sólido obtido ao rodar um retângulo ou um triângulo.
    • Liga formas planas a sólidos.
  4. 40Modelos de densidade e de projetoUsa a geometria para modelar problemas de densidade e de projeto.
    • Encontra a densidade populacional por milha quadrada.
    • Encontra a massa de um objeto a partir da sua densidade.
    • Projeta uma caixa que cumpra uma condição.

Revisão, prática mista e desafios

  1. 41Revisão de demonstrações e congruênciaResolve problemas mistos com demonstrações, transformações, triângulos e quadriláteros.
    • Escreve demonstrações com razões.
    • Demonstra triângulos congruentes e semelhantes.
    • Usa propriedades dos quadriláteros.
  2. 42Revisão de trigonometria, circunferências e volumeResolve problemas mistos com trigonometria, circunferências e volume de sólidos.
    • Resolve triângulos retângulos e triângulos oblíquos.
    • Encontra arcos, setores e equações de circunferências.
    • Encontra volumes de sólidos.
  3. 43Desafio de geometriaCompleta o desafio de geometria: perguntas mistas sobre as unidades principais.
    • Resolve problemas de cada unidade sem ajudas.
    • Explica cada resposta com um teorema.
    • Encontra as partes que pedem mais prática.