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Kurs

Mathe in der 9. Klasse: Algebra 1

Löse Gleichungen und Ungleichungen, zeichne lineare und exponentielle Funktionen, faktorisiere Polynome und löse quadratische Gleichungen.

Mach die Lektionen der Reihe nach, von den Ausdrücken bis zum selbstständigen Lösen von Aufgaben. Am Ende kannst du lineare Gleichungen lösen, Formeln umstellen und zusammengesetzte Ungleichungen und Ungleichungen mit Betrag lösen. Du kannst die Funktionsnotation nutzen, lineare Gleichungen in mehreren Formen schreiben und mit arithmetischen Folgen modellieren. Du kannst Gleichungssysteme und Ungleichungssysteme lösen und abschnittsweise Funktionen zeichnen. Du kannst rationale Exponenten nutzen, exponentielles Wachstum und exponentiellen Zerfall modellieren und lineare und exponentielle Modelle vergleichen. Du kannst Polynome addieren, multiplizieren und faktorisieren, quadratische Funktionen zeichnen und quadratische Gleichungen durch Faktorisieren, quadratische Ergänzung und die quadratische Formel lösen. Du kannst Daten mit der Standardabweichung, Kreuztabellen und Residuen zusammenfassen.

So benutzt du diese Lektionen

  • Fang bei der Lektion an, auf der Mach das steht. Geh weiter, wenn du die Zeile unter dem Titel allein machen kannst.
  • Spiel zuerst die Spiele. Dann mach das Quiz. 8 von 10 richtig zum Bestehen. Die Arbeitsblätter sind auf Papier. Die Lösungen sind unten.
  • Jede Lektion baut auf der davor auf. Wenn eine Lektion schwer ist, geh eine zurück.
  • Schreib jeden Schritt. Prüfe jede Lösung, indem du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt. Ein grafikfähiger Taschenrechner oder eine kostenlose Grafik-App hilft dir, Funktionen zu sehen, aber skizziere den Graphen zuerst von Hand.

Jede Lektion hat Spiele, Quiz und Arbeitsblätter.

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Ausdrücke und Gleichungen

  1. 1Ausdrücke und EigenschaftenVereinfache Ausdrücke mit den Eigenschaften der reellen Zahlen.
    • Nutze die Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze.
    • Benenne Terme, Faktoren und Koeffizienten eines Ausdrucks.
    • Deute Teile eines Ausdrucks im Zusammenhang, zum Beispiel P(1 + r)^n.
  2. 2Löse lineare GleichungenLöse lineare Gleichungen in mehreren Schritten und begründe jeden Schritt.
    • Löse Gleichungen mit Brüchen und Variablen auf beiden Seiten.
    • Erkläre jeden Schritt mit einer Eigenschaft.
    • Erkenne Gleichungen ohne Lösung oder mit allen reellen Zahlen.
  3. 3Buchstabengleichungen und FormelnStelle Formeln und Buchstabengleichungen um, um eine andere Variable zu berechnen.
    • Löse A = 1/2 bh nach h.
    • Löse d = rt nach t.
    • Löse 2x + 3y = 6 nach y.
  4. 4Einheiten und ModellierenNutze Einheiten, um ein Modell aufzustellen und zu prüfen.
    • Wandle Einheiten mit Dimensionsanalyse um.
    • Wähle eine sinnvolle Genauigkeit.
    • Schreibe eine Gleichung für eine echte Situation.

Ungleichungen

  1. 5Löse lineare UngleichungenLöse lineare Ungleichungen in mehreren Schritten und zeichne sie.
    • Dreh das Zeichen um, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst.
    • Zeichne die Lösung auf dem Zahlenstrahl.
    • Schreibe die Lösung in Intervallschreibweise.
  2. 6Zusammengesetzte UngleichungenLöse und zeichne „und“- und „oder“-Ungleichungen.
    • Löse −3 < 2x + 1 ≤ 7.
    • Löse x < −2 oder x > 5.
    • Zeichne die Schnittmenge oder die Vereinigung.
  3. 7Gleichungen und Ungleichungen mit BetragLöse Gleichungen und Ungleichungen mit Betrag.
    • Löse |x − 3| = 5 als zwei Gleichungen.
    • Löse |x + 1| < 4 als eine „und“-Ungleichung.
    • Erkenne, wann es keine Lösung gibt.

Lineare Funktionen

  1. 8Funktionsnotation, Definitionsmenge und WertemengeNutze die Funktionsnotation f(x) und finde die Definitionsmenge und die Wertemenge einer Funktion.
    • Berechne f(3) und löse f(x) = 7.
    • Finde Definitionsmenge und Wertemenge an einem Graphen.
    • Wähle eine sinnvolle Definitionsmenge für eine echte Situation.
  2. 9ÄnderungsrateFinde und erkläre die mittlere Änderungsrate auf einem Intervall.
    • Finde die Änderungsrate aus einer Tabelle, einem Graphen oder einer Gleichung.
    • Wisse, dass eine lineare Funktion eine konstante Änderungsrate hat.
    • Erkläre die Einheiten der Rate, zum Beispiel Dollar pro Stunde.
  3. 10Formen linearer GleichungenSchreibe lineare Gleichungen in Steigungsform, Punktsteigungsform und allgemeiner Form.
    • Schreibe y − y₁ = m(x − x₁) aus einem Punkt und einer Steigung.
    • Wandle zwischen den Formen um.
    • Finde die Achsenabschnitte aus der allgemeinen Form.
  4. 11Parallele und senkrechte GeradenSchreibe Gleichungen von parallelen und senkrechten Geraden.
    • Wisse, dass parallele Geraden gleiche Steigungen haben.
    • Wisse, dass senkrechte Steigungen multipliziert −1 ergeben.
    • Schreibe eine Gerade durch einen Punkt parallel oder senkrecht zu einer anderen.
  5. 12Arithmetische FolgenSchreibe arithmetische Folgen als lineare Funktionen.
    • Finde die gemeinsame Differenz.
    • Schreibe die explizite Regel aₙ = a₁ + (n − 1)d.
    • Schreibe eine rekursive Regel.

Gleichungssysteme und Ungleichungssysteme

  1. 13Löse lineare GleichungssystemeLöse ein lineares Gleichungssystem durch Graph, Einsetzen oder Elimination.
    • Wähle die schnellste Methode.
    • Erkläre, warum die Elimination funktioniert.
    • Erkenne Systeme ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen.
  2. 14Systeme linearer UngleichungenZeichne ein System linearer Ungleichungen und finde den Lösungsbereich.
    • Zeichne y ≤ 2x + 1 mit einer durchgezogenen Linie und Schraffur.
    • Finde, wo sich die schraffierten Bereiche überlappen.
    • Teste einen Punkt zur Kontrolle.
  3. 15Mit Systemen modellierenSchreibe und löse Systeme für echte Probleme.
    • Löse Mischungsaufgaben und Kostenvergleiche.
    • Nutze Bedingungen, um mögliche Lösungen zu finden.
    • Erkläre die Lösung im Zusammenhang.

Betrag und abschnittsweise Funktionen

  1. 16BetragsfunktionenZeichne Betragsfunktionen und ihre Transformationen.
    • Zeichne y = |x| als V-Form.
    • Zeichne y = a|x − h| + k.
    • Finde den Scheitel und die Öffnungsrichtung.
  2. 17Abschnittsweise Funktionen und TreppenfunktionenZeichne und werte abschnittsweise Funktionen und Treppenfunktionen aus.
    • Werte eine abschnittsweise Funktion an einem gegebenen Wert aus.
    • Zeichne jedes Stück auf seiner eigenen Definitionsmenge.
    • Modelliere Parkgebühren mit einer Treppenfunktion.

Exponenten und exponentielle Funktionen

  1. 18Potenzgesetze und rationale ExponentenVereinfache Ausdrücke mit ganzzahligen und rationalen Exponenten.
    • Nutze alle Potenzgesetze zusammen.
    • Schreibe x^(1/2) als √x und 8^(2/3) als 4.
    • Schreibe Wurzeln mit rationalen Exponenten.
  2. 19Exponentielles Wachstum und ZerfallSchreibe und zeichne Funktionen für exponentielles Wachstum und exponentiellen Zerfall.
    • Schreibe y = a(1 + r)^t für Wachstum.
    • Schreibe y = a(1 − r)^t für Zerfall.
    • Löse Aufgaben zu Zinseszins und Bevölkerung.
  3. 20Geometrische FolgenSchreibe geometrische Folgen als exponentielle Funktionen.
    • Finde den gemeinsamen Quotienten.
    • Schreibe aₙ = a₁ × r^(n − 1).
    • Schreibe eine rekursive Regel.
  4. 21Lineare und exponentielle ModelleEntscheide, ob eine Situation linear oder exponentiell ist, und vergleiche ihr Wachstum.
    • Prüfe auf gleiche Differenzen oder gleiche Quotienten.
    • Wisse, dass exponentielles Wachstum lineares Wachstum irgendwann überholt.
    • Baue ein Modell aus einer Tabelle.

Polynome und Faktorisieren

  1. 22Addiere und subtrahiere PolynomeAddiere und subtrahiere Polynome.
    • Nenne Grad und Leitkoeffizient.
    • Schreibe ein Polynom in Normalform.
    • Fasse gleichartige Terme zusammen, um zu addieren und zu subtrahieren.
  2. 23Multipliziere PolynomeMultipliziere Polynome.
    • Multipliziere ein Monom mit einem Polynom.
    • Multipliziere zwei Binome mit einem Flächenmodell.
    • Multipliziere ein Binom mit einem Trinom.
  3. 24Besondere ProdukteNutze Muster für besondere Produkte: Quadrate von Binomen und Differenzen von Quadraten.
    • Nutze (a + b)² = a² + 2ab + b².
    • Nutze (a + b)(a − b) = a² − b².
    • Multipliziere schnell mit den Mustern.
  4. 25Faktorisiere mit dem größten gemeinsamen Faktor und durch GruppierenFaktorisiere, indem du den größten gemeinsamen Faktor ausklammerst und durch Gruppieren faktorisierst.
    • Faktorisiere 6x³ + 9x² als 3x²(2x + 3).
    • Faktorisiere vier Terme durch Gruppieren.
    • Prüfe durch Multiplizieren.
  5. 26Faktorisiere TrinomeFaktorisiere Trinome der Form ax² + bx + c.
    • Faktorisiere x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
    • Faktorisiere, wenn a ≠ 1.
    • Erkenne ein Trinom, das sich nicht faktorisieren lässt.
  6. 27Faktorisiere besondere FälleFaktorisiere besondere Fälle: Quadrattrinome und Differenzen von Quadraten.
    • Faktorisiere x² − 49.
    • Faktorisiere 4x² + 12x + 9.
    • Faktorisiere vollständig in mehreren Schritten.

Quadratische Funktionen und Gleichungen

  1. 28Zeichne quadratische FunktionenZeichne eine quadratische Funktion und finde ihre wichtigen Merkmale.
    • Finde Scheitel, Symmetrieachse und Achsenabschnitte.
    • Nutze x = −b/(2a), um den Scheitel zu finden.
    • Wisse, wann die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.
  2. 29Scheitelform und TransformationenZeichne die Scheitelform y = a(x − h)² + k und beschreibe die Transformationen.
    • Lies den Scheitel (h, k) ab.
    • Beschreibe Streckungen, Stauchungen, Spiegelungen und Verschiebungen.
    • Schreibe eine quadratische Funktion aus ihrem Graphen.
  3. 30Löse quadratische Gleichungen durch FaktorisierenLöse eine quadratische Gleichung durch Faktorisieren.
    • Nutze den Satz vom Nullprodukt.
    • Setze die Gleichung zuerst gleich 0.
    • Verbinde die Lösungen mit den Schnittpunkten der x-Achse.
  4. 31Löse quadratische Gleichungen mit QuadratwurzelnLöse quadratische Gleichungen mit Quadratwurzeln.
    • Löse x² = 25 und erhalte x = ±5.
    • Löse (x − 3)² = 16.
    • Vereinfache Quadratwurzeln in den Antworten.
  5. 32Quadratische ErgänzungNutze die quadratische Ergänzung, um eine quadratische Gleichung zu lösen und den Scheitel zu finden.
    • Addiere (b/2)² auf beiden Seiten.
    • Löse x² + 6x − 7 = 0.
    • Schreibe die Normalform in Scheitelform um.
  6. 33Die quadratische FormelLöse jede quadratische Gleichung mit der quadratischen Formel.
    • Nutze x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
    • Nutze die Diskriminante, um die reellen Lösungen zu zählen.
    • Wähle die beste Methode für eine gegebene Gleichung.
  7. 34Quadratische ModelleNutze quadratische Funktionen, um Würfe und Flächen zu modellieren.
    • Finde die maximale Höhe eines geworfenen Balls.
    • Finde, wann er den Boden trifft.
    • Finde die Seiten, die eine maximale Fläche geben.
  8. 35Linear-quadratische SystemeLöse ein linear-quadratisches System aus einer Geraden und einer Parabel.
    • Löse durch Einsetzen.
    • Wisse, dass es 0, 1 oder 2 Lösungen geben kann.
    • Prüfe durch Zeichnen.

Statistik

  1. 36Datenverteilungen und StandardabweichungVergleiche Datenverteilungen mit Form, Zentrum, Streuung und Standardabweichung.
    • Finde Mittelwert und Standardabweichung.
    • Wähle Median und Interquartilsabstand bei schiefen Daten.
    • Erkläre die Wirkung von Ausreißern.
  2. 37Kreuztabellen und relative HäufigkeitFinde gemeinsame, Rand- und bedingte relative Häufigkeiten in Kreuztabellen.
    • Baue eine Kreuztabelle der Häufigkeiten.
    • Finde relative Häufigkeiten nach Zeile und Spalte.
    • Beschreibe mögliche Zusammenhänge.
  3. 38Korrelation und ResiduenPasse eine Gerade an Daten an, finde die Korrelation und lies die Residuen.
    • Finde die Ausgleichsgerade mit Technik.
    • Deute den Korrelationskoeffizienten r.
    • Nutze ein Residuendiagramm, um die Anpassung zu beurteilen, und wisse, dass Korrelation keine Ursache ist.

Wiederholung, gemischte Übungen und Herausforderungen

  1. 39Lineare und exponentielle WiederholungLöse gemischte Aufgaben der linearen und exponentiellen Wiederholung mit Gleichungen, Ungleichungen, Systemen und exponentiellen Modellen.
    • Löse Gleichungen und Ungleichungen.
    • Schreibe und zeichne lineare Funktionen und Systeme.
    • Baue exponentielle Modelle.
  2. 40Wiederholung zu Polynomen und quadratischen GleichungenLöse gemischte Aufgaben mit Polynomen, quadratischen Gleichungen und Daten.
    • Multipliziere und faktorisiere Polynome.
    • Löse quadratische Gleichungen mit der besten Methode.
    • Fasse Daten zusammen und modelliere sie.
  3. 41Herausforderung Algebra 1Löse gemischte Fragen der Herausforderung Algebra 1 zu den großen Einheiten.
    • Löse Aufgaben aus jeder Einheit ohne Hinweise.
    • Wähle das passende Modell für eine Situation.
    • Finde die Stellen, die mehr Übung brauchen.