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Kurs

Mathe in der 12. Klasse: Vorkalkül

Analysiere Funktionen, beherrsche die Trigonometrie, arbeite mit Vektoren, Polarkoordinaten, Kegelschnitten und Matrizen, und wirf einen ersten Blick auf Grenzwerte.

Mach die Lektionen der Reihe nach, von der Funktionsanalyse bis zum selbstständigen Lösen von Aufgaben. Am Ende kannst du Funktionen analysieren und kombinieren, Polynom- und rationale Ungleichungen lösen und mit Exponential-, Logarithmus- und logistischen Funktionen modellieren. Du kannst alle sechs trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen zeichnen, trigonometrische Identitäten nachweisen und trigonometrische Gleichungen lösen. Du kannst jedes Dreieck lösen und Vektoren für Kräfte und Bewegung nutzen. Du kannst in Polarkoordinaten zeichnen, komplexe Zahlen in Polarform schreiben und den Satz von De Moivre nutzen. Du kannst Parameterdarstellungen und Kegelschnitte zeichnen und Gleichungssysteme mit Matrizen lösen. Du kannst Aussagen mit vollständiger Induktion beweisen und Grenzwerte finden, die erste Idee der Analysis.

So benutzt du diese Lektionen

  • Fang bei der Lektion an, auf der Mach das steht. Geh weiter, wenn du die Zeile unter dem Titel allein machen kannst.
  • Spiel zuerst die Spiele. Dann mach das Quiz. 8 von 10 richtig zum Bestehen. Die Arbeitsblätter sind auf Papier. Die Lösungen sind unten.
  • Jede Lektion baut auf der vorigen auf. Wenn eine Lektion schwer ist, geh eine zurück.
  • Dieser Kurs macht dich bereit für die Analysis. Lerne den Einheitskreis auswendig. Schreib die Identitäten auf, während du sie lernst. Skizziere jeden Graphen von Hand und prüfe ihn dann mit einer Grafik-App.

Jede Lektion hat Spiele, Quiz und Arbeitsblätter.

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Funktionen, noch einmal

  1. 1Analysiere das Verhalten von FunktionenAnalysiere das Verhalten einer Funktion: wo sie steigt, fällt und ihre Extremwerte erreicht.
    • Finde Intervalle, in denen sie steigt und fällt.
    • Finde relative und absolute Extremwerte.
    • Finde die mittlere Änderungsrate auf einem Intervall.
  2. 2Kombiniere und zerlege FunktionenKombiniere alte Funktionen zu neuen und zerlege eine Funktion in eine Verkettung.
    • Verkette Funktionen und finde den Definitionsbereich.
    • Schreibe h(x) = √(x² + 1) als f(g(x)).
    • Modelliere eine Situation mit einer verketteten Funktion.
  3. 3Umkehrfunktionen und Einschränkungen des DefinitionsbereichsSchränke den Definitionsbereich ein, damit eine Funktion eine Umkehrfunktion hat.
    • Nutze den Test mit der waagerechten Geraden.
    • Schränke den Definitionsbereich von x² ein, um die Umkehrfunktion zu finden.
    • Lies Werte der Umkehrfunktion aus einer Tabelle oder einem Graphen.

Polynom- und rationale Funktionen

  1. 4Verhalten von Polynomen und UngleichungenLies das Verhalten von Polynomen und löse Polynomungleichungen mit Nullstellen und Vorzeichentabellen.
    • Finde alle Nullstellen und ihre Vielfachheiten.
    • Nutze eine Vorzeichentabelle, um p(x) ≥ 0 zu lösen.
    • Modelliere Volumen und Gewinn mit Polynomen.
  2. 5Rationale Funktionen und schräge AsymptotenZeichne rationale Funktionen, auch mit schrägen Asymptoten.
    • Finde senkrechte, waagerechte und schräge Asymptoten.
    • Finde Lücken und Achsenschnittpunkte.
    • Beschreibe das Endverhalten.
  3. 6Rationale UngleichungenLöse rationale Ungleichungen.
    • Finde Nullstellen und Stellen, an denen sie nicht definiert ist.
    • Nutze eine Vorzeichentabelle.
    • Schreibe die Lösung in Intervallschreibweise.

Exponentielle, logarithmische und logistische Modelle

  1. 7Exponential- und LogarithmusfunktionenZeichne, löse und modelliere mit Exponential- und Logarithmusfunktionen.
    • Zeichne Verschiebungen und Streckungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.
    • Löse Gleichungen mit Logarithmen.
    • Modelliere zusammengesetztes und stetiges Wachstum.
  2. 8Logistisches WachstumModelliere Wachstum, das sich abflacht, mit einer logistischen Funktion.
    • Lies die Kapazitätsgrenze ab.
    • Finde den Punkt des schnellsten Wachstums.
    • Vergleiche logistisches und exponentielles Wachstum.
  3. 9Halblogarithmische Diagramme und Daten geradlinig machenNutze Logarithmen und halblogarithmische Diagramme, um exponentielle Daten geradlinig zu machen.
    • Trage log y gegen x auf.
    • Wisse, dass exponentielle Daten im halblogarithmischen Diagramm linear aussehen.
    • Finde ein exponentielles Modell aus der Geraden.

Trigonometrische Funktionen

  1. 10Bogenmaß und der EinheitskreisFinde alle sechs trigonometrischen Werte eines beliebigen Winkels im Bogenmaß am Einheitskreis.
    • Wandle zwischen Grad und Bogenmaß um.
    • Finde exakte Werte an besonderen Winkeln.
    • Finde Bogenlänge und Winkelgeschwindigkeit.
  2. 11Zeichne alle sechs trigonometrischen FunktionenZeichne alle sechs trigonometrischen Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangens und ihre Kehrwertfunktionen.
    • Zeichne Tangens und Kotangens mit Asymptoten.
    • Zeichne Sekans und Kosekans aus Kosinus und Sinus.
    • Finde Periode, Amplitude und Verschiebungen.
  3. 12Inverse trigonometrische FunktionenWerte inverse trigonometrische Funktionen aus und zeichne sie: Sinus, Kosinus und Tangens.
    • Kenne den eingeschränkten Definitionsbereich jeder Funktion.
    • Finde exakte Werte wie arcsin(1/2).
    • Werte Verkettungen wie cos(arctan x) aus.
  4. 13Sinusförmige ModelleBaue sinusförmige Modelle aus Daten und nutze sie zum Vorhersagen.
    • Modelliere Tageslichtstunden und Schallwellen.
    • Finde die Frequenz einer Welle.
    • Nutze das Modell, um Zeitpunkte zu finden.

Trigonometrische Identitäten und Gleichungen

  1. 14Grundlegende IdentitätenNutze die grundlegenden Identitäten: Kehrwert, Quotient, Pythagoras und gerade-ungerade.
    • Nutze alle drei pythagoreischen Identitäten.
    • Nutze gerade-ungerade Identitäten und Kofunktionsidentitäten.
    • Vereinfache trigonometrische Ausdrücke.
  2. 15Weise Identitäten nachWeise eine trigonometrische Identität Schritt für Schritt nach.
    • Arbeite nur auf einer Seite.
    • Schreibe in Sinus und Kosinus um.
    • Faktoriere und fasse Brüche zusammen.
  3. 16Summen- und DifferenzformelnNutze Summen- und Differenzformeln für Sinus, Kosinus und Tangens.
    • Finde den exakten Wert von sin 75°.
    • Beweise die Formeln.
    • Vereinfache Ausdrücke damit.
  4. 17Doppelwinkel- und HalbwinkelformelnNutze Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln.
    • Nutze sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
    • Nutze alle drei Formen von cos 2θ.
    • Finde exakte Halbwinkelwerte.
  5. 18Löse trigonometrische GleichungenLöse trigonometrische Gleichungen auf einem Intervall und allgemein.
    • Finde alle Lösungen in [0, 2π).
    • Schreibe die allgemeine Lösung.
    • Löse durch Faktorisieren und mit Identitäten.

Dreiecke und Vektoren

  1. 19Der Sinussatz und der mehrdeutige FallLöse Dreiecke mit dem Sinussatz, auch im mehrdeutigen Fall SSA.
    • Nutze den Sinussatz.
    • Entscheide, ob SSA 0, 1 oder 2 Dreiecke ergibt.
    • Löse Navigationsaufgaben.
  2. 20Der Kosinussatz und die Formel von HeronLöse Dreiecke mit dem Kosinussatz und finde den Flächeninhalt mit der Formel von Heron.
    • Nutze den Kosinussatz für SAS und SSS.
    • Nutze die Formel von Heron.
    • Wähle den passenden Satz für ein Dreieck.
  3. 21VektorenBeschreibe Vektoren durch Betrag und Richtung und in Komponentenschreibweise.
    • Schreibe einen Vektor in Komponenten.
    • Finde Betrag und Richtungswinkel.
    • Finde einen Einheitsvektor.
  4. 22Vektorrechnung und das SkalarproduktAddiere, skaliere und multipliziere Vektoren mit dem Skalarprodukt.
    • Addiere Vektoren mit Komponenten und mit Skizzen.
    • Finde das Skalarprodukt und den Winkel zwischen Vektoren.
    • Finde die Projektion eines Vektors auf einen anderen.
  5. 23Anwendungen von VektorenNutze Vektoren, um Aufgaben zu Kraft, Geschwindigkeit und Arbeit zu lösen.
    • Finde die resultierende Kraft.
    • Finde die Geschwindigkeit eines Flugzeugs über Grund bei Wind.
    • Finde die Arbeit mit dem Skalarprodukt.

Polarkoordinaten und komplexe Zahlen

  1. 24PolarkoordinatenTrage Punkte in Polarkoordinaten ein und wandle zwischen Polarform und kartesischer Form um.
    • Trage (r, θ) ein.
    • Wandle Punkte zwischen polar und kartesisch um.
    • Wandle Gleichungen zwischen den Formen um.
  2. 25Polare GraphenZeichne polare Graphen von Kreisen, Rosenkurven, Schleifen und Kardioiden.
    • Zeichne r = a cos θ und r = a sin θ.
    • Zeichne Rosenkurven r = a cos(nθ).
    • Nutze Symmetrie, um schneller zu zeichnen.
  3. 26Komplexe Zahlen in PolarformSchreibe komplexe Zahlen in Polarform und multipliziere sie.
    • Trage komplexe Zahlen ein und finde ihren Betrag.
    • Schreibe z = r(cos θ + i sin θ).
    • Multipliziere und dividiere in Polarform.
  4. 27Satz von De MoivreNutze den Satz von De Moivre, um Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen zu finden.
    • Nutze den Satz von De Moivre für Potenzen.
    • Finde die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl.
    • Trage die Einheitswurzeln ein.

Parameterdarstellungen und Kegelschnitte

  1. 28ParameterdarstellungenZeichne Parameterdarstellungen und modelliere Bewegung damit.
    • Zeichne eine Kurve aus x(t) und y(t).
    • Eliminiere den Parameter.
    • Modelliere eine Wurfbewegung.
  2. 29ParabelnZeichne Parabeln aus Brennpunkt und Leitlinie.
    • Nutze die Definition mit Brennpunkt und Leitlinie.
    • Schreibe die Gleichung aus Brennpunkt und Scheitel.
    • Erkläre, warum Satellitenschüsseln Parabeln sind.
  3. 30EllipsenZeichne Ellipsen und finde ihre Brennpunkte.
    • Nutze (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1.
    • Finde die Brennpunkte mit c² = a² − b².
    • Modelliere Planetenbahnen.
  4. 31HyperbelnZeichne Hyperbeln mit ihren Asymptoten und Brennpunkten.
    • Nutze (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
    • Finde die Asymptoten und die Brennpunkte.
    • Ordne einen Kegelschnitt anhand seiner allgemeinen Gleichung ein.

Matrizen und Gleichungssysteme

  1. 32Rechnen mit MatrizenAddiere, skaliere und multipliziere Matrizen.
    • Kenne die Größen, die zum Multiplizieren nötig sind.
    • Multipliziere zwei Matrizen.
    • Wisse, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist.
  2. 33Determinanten und inverse MatrizenFinde die Determinante und die inverse Matrix.
    • Finde eine 2×2- und eine 3×3-Determinante.
    • Finde eine 2×2-Inverse.
    • Wisse, dass eine Matrix mit Determinante 0 keine Inverse hat.
  3. 34Löse Gleichungssysteme mit MatrizenLöse Gleichungssysteme mit Matrizen.
    • Schreibe ein System als AX = B.
    • Löse mit einer inversen Matrix.
    • Nutze Zeilenumformung an einer erweiterten Matrix.
  4. 35Matrizen als AbbildungenNutze Matrizen als Abbildungen, um Figuren zu drehen, zu spiegeln und zu skalieren.
    • Schreibe die Matrix einer Drehung.
    • Setze Abbildungen durch Multiplizieren zusammen.
    • Wisse, dass die Determinante den Flächenfaktor angibt.

Induktion und Grenzwerte

  1. 36Vollständige InduktionBeweise eine Aussage für jede natürliche Zahl mit vollständiger Induktion.
    • Beweise den Induktionsanfang.
    • Beweise den Induktionsschritt.
    • Beweise eine Summenformel.
  2. 37Einführung in GrenzwerteFinde Grenzwerte aus Graphen, Tabellen und Algebra.
    • Lies einseitige Grenzwerte aus einem Graphen.
    • Finde Grenzwerte durch Einsetzen und Faktorisieren.
    • Erkenne, wann ein Grenzwert nicht existiert.
  3. 38Grenzwerte im Unendlichen und StetigkeitFinde Grenzwerte im Unendlichen und entscheide, wo eine Funktion stetig ist.
    • Verbinde Grenzwerte im Unendlichen mit waagerechten Asymptoten.
    • Finde den Grenzwert einer unendlichen Folge.
    • Benenne hebbare, Sprung- und unendliche Unstetigkeiten.
  4. 39Änderungsraten und TangentenFinde die momentane Änderungsrate mit einem Grenzwert und die Steigung der Tangente.
    • Finde die Steigung einer Sekante.
    • Nutze einen Grenzwert, um die Steigung einer Tangente zu finden.
    • Verbinde sie mit der Momentangeschwindigkeit.

Wiederholung, gemischte Übung und Herausforderungen

  1. 40Wiederholung zu Funktionen und TrigonometrieLöse gemischte Aufgaben zu Funktionen und Trigonometrie, mit Identitäten und trigonometrischen Gleichungen.
    • Analysiere jede Funktionsfamilie.
    • Weise Identitäten nach und löse trigonometrische Gleichungen.
    • Löse Dreiecke.
  2. 41Wiederholung zu Vektoren, Polar, Kegelschnitten und GrenzwertenLöse gemischte Aufgaben mit Vektoren, Polarformen, Kegelschnitten, Matrizen und Grenzwerten.
    • Nutze Vektoren und Polarkoordinaten.
    • Zeichne Kegelschnitte und löse Gleichungssysteme mit Matrizen.
    • Finde Grenzwerte.
  3. 42Vorkalkül-HerausforderungSchließe die Vorkalkül-Herausforderung mit gemischten Fragen zu den großen Einheiten ab.
    • Löse Aufgaben aus jeder Einheit ohne Hinweise.
    • Erkläre jeden Schritt.
    • Finde die Themen, die mehr Übung brauchen.