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Kurs

Mathe in der 11. Klasse: Algebra 2

Arbeite mit komplexen Zahlen und mit Polynomfunktionen, rationalen Funktionen, Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und trigonometrischen Funktionen. Nutze Wahrscheinlichkeit und Statistik, um zu entscheiden.

Mach die Lektionen der Reihe nach, von den Grundfunktionen und Transformationen bis zum selbstständigen Lösen von Aufgaben. Am Ende kannst du Transformationen, die Verkettung und die Umkehrfunktion bilden und quadratische Gleichungen mit komplexen Lösungen lösen. Du kannst Polynomfunktionen zeichnen, Polynome dividieren und alle ihre Nullstellen finden. Du kannst rationale Ausdrücke und Wurzelausdrücke vereinfachen, ihre Funktionen zeichnen und ihre Gleichungen lösen. Du kannst Logarithmen nutzen, um Exponentialgleichungen zu lösen und exponentielle und logarithmische Wachstumsmodelle zu bauen. Du kannst Summen von arithmetischen Reihen und geometrischen Reihen finden. Du kannst den Einheitskreis nutzen, um mit Sinus und Kosinus zu zeichnen und zu modellieren. Du kannst bedingte Wahrscheinlichkeiten finden, die Normalverteilung nutzen und Schlüsse aus Umfragen und Experimenten beurteilen.

So benutzt du diese Lektionen

  • Fang bei der Lektion an, auf der Mach das steht. Geh weiter, wenn du die Zeile unter dem Titel allein machen kannst.
  • Spiel zuerst die Spiele. Dann mach das Quiz. 8 von 10 richtig zum Bestehen. Die Arbeitsblätter sind auf Papier. Die Lösungen sind unten.
  • Jede Lektion baut auf der davor auf. Wenn eine Lektion schwer ist, geh eine zurück.
  • Für jede neue Funktionsfamilie lernst du zuerst den Grundgraphen, dann seine Transformationen. Skizziere von Hand und prüfe dann mit einer Grafik-App. Prüfe jede Lösung in der Ausgangsgleichung, weil manche Schritte zusätzliche Lösungen erzeugen.

Jede Lektion hat Spiele, Quiz und Arbeitsblätter.

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Funktionen und Transformationen

  1. 1Grundfunktionen und TransformationenZeichne die Transformation y = a·f(b(x − h)) + k aus einer Grundfunktion.
    • Erkenne lineare, quadratische, Betrags- und kubische Grundgraphen.
    • Beschreibe Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen.
    • Unterscheide gerade und ungerade Funktionen.
  2. 2Rechnen mit Funktionen und VerkettungAddiere, subtrahiere, multipliziere, dividiere Funktionen und bilde ihre Verkettung.
    • Finde (f + g)(x) und (fg)(x).
    • Finde f(g(x)) und g(f(x)).
    • Finde den Definitionsbereich einer verbundenen Funktion.
  3. 3UmkehrfunktionenFinde und zeichne die Umkehrfunktion einer Funktion.
    • Tausche x und y und löse nach y auf.
    • Wisse, dass die Umkehrfunktion eine Spiegelung an y = x ist.
    • Prüfe Umkehrfunktionen mit der Verkettung und schränke Definitionsbereiche ein.

Quadratische Gleichungen und komplexe Zahlen

  1. 4Komplexe ZahlenAddiere, subtrahiere, multipliziere und dividiere komplexe Zahlen.
    • Nutze i² = −1.
    • Schreibe Antworten in der Form a + bi.
    • Dividiere mit der komplexen Konjugierten.
  2. 5Quadratische Gleichungen mit komplexen LösungenLöse jede quadratische Gleichung, auch solche mit komplexen Lösungen.
    • Nutze die quadratische Formel, wenn die Diskriminante negativ ist.
    • Wisse, dass komplexe Lösungen in konjugierten Paaren kommen.
    • Verbinde fehlende x-Achsen-Schnitte mit komplexen Lösungen.
  3. 6Quadratische Ungleichungen und SystemeLöse quadratische Ungleichungen und nichtlineare Systeme.
    • Löse x² − x − 6 > 0 mit einer Vorzeichentabelle.
    • Zeichne eine quadratische Ungleichung.
    • Löse ein System mit einer Geraden und einem Kreis.

Polynomfunktionen

  1. 7Zeichne PolynomfunktionenZeichne eine Polynomfunktion aus Grad, Endverhalten und Nullstellen.
    • Finde das Endverhalten aus dem Leitterm.
    • Wisse, wie die Vielfachheit den Graphen an einer Nullstelle ändert.
    • Finde Umkehrpunkte und relative Extrema.
  2. 8Dividiere PolynomeDividiere Polynome mit schriftlicher Division und synthetischer Division.
    • Nutze die schriftliche Polynomdivision.
    • Nutze die synthetische Division für x − c.
    • Schreibe das Ergebnis mit einem Rest.
  3. 9Restsatz und FaktorsatzNutze Restsatz und Faktorsatz, um Faktoren zu finden.
    • Wisse, dass p(a) der Rest bei der Division durch x − a ist.
    • Wisse, dass x − a ein Faktor ist, wenn p(a) = 0.
    • Faktorisiere ein kubisches Polynom aus einer bekannten Nullstelle.
  4. 10Finde alle NullstellenFinde alle reellen und komplexen Nullstellen eines Polynoms.
    • Nutze den rationalen Nullstellensatz, um Kandidaten zu listen.
    • Kenne den Fundamentalsatz der Algebra.
    • Schreibe ein Polynom aus seinen Nullstellen.
  5. 11PolynomidentitätenBeweise und nutze Polynomidentitäten.
    • Faktorisiere Summen und Differenzen von Kuben.
    • Beweise eine Identität durch Ausmultiplizieren.
    • Erzeuge pythagoreische Tripel mit einer Identität.
  6. 12Der binomische LehrsatzEntwickle (a + b)ⁿ mit dem Pascalschen Dreieck und dem binomischen Lehrsatz.
    • Baue das Pascalsche Dreieck.
    • Nutze Kombinationen für die Koeffizienten.
    • Finde einen einzelnen Term einer Entwicklung.

Rationale Funktionen

  1. 13Vereinfache rationale AusdrückeVereinfache einen rationalen Ausdruck und nenne seine Einschränkungen.
    • Faktorisiere Zähler und Nenner.
    • Kürze gemeinsame Faktoren.
    • Liste die Werte, die nicht erlaubt sind.
  2. 14Multipliziere und dividiere rationale AusdrückeMultipliziere und dividiere rationale Ausdrücke.
    • Faktorisiere vor dem Multiplizieren.
    • Dividiere, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst.
    • Vereinfache Doppelbrüche.
  3. 15Addiere und subtrahiere rationale AusdrückeAddiere und subtrahiere rationale Ausdrücke mit verschiedenen Nennern.
    • Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner.
    • Schreibe jeden Bruch um und fasse zusammen.
    • Vereinfache das Ergebnis.
  4. 16Zeichne rationale FunktionenZeichne rationale Funktionen mit ihren Asymptoten und Löchern.
    • Finde senkrechte Asymptoten und Löcher.
    • Finde waagerechte Asymptoten aus den Graden.
    • Zeichne y = a/(x − h) + k.
  5. 17Löse rationale GleichungenLöse rationale Gleichungen und prüfe auf zusätzliche Lösungen.
    • Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner.
    • Verwirf Lösungen, die einen Nenner 0 machen.
    • Löse Aufgaben zu Arbeitsrate und Durchschnittskosten.

Wurzelfunktionen

  1. 18WurzelausdrückeVereinfache und fasse n-te Wurzeln in einem Wurzelausdruck zusammen.
    • Vereinfache ∛54 und √(50x³).
    • Addiere, subtrahiere und multipliziere Wurzeln.
    • Rationalisiere einen Nenner.
  2. 19Zeichne Quadratwurzel- und KubikwurzelfunktionenZeichne Quadratwurzel- und Kubikwurzelfunktionen und ihre Transformationen.
    • Zeichne y = √x und y = ∛x.
    • Finde Definitionsbereich und Wertebereich.
    • Verbinde sie als Umkehrfunktionen von x² und x³.
  3. 20Löse WurzelgleichungenLöse Wurzelgleichungen und prüfe auf zusätzliche Lösungen.
    • Isoliere zuerst die Wurzel.
    • Potenziere beide Seiten.
    • Prüfe jede Lösung in der Ausgangsgleichung.

Exponential- und Logarithmusfunktionen

  1. 21Exponentialfunktionen und eZeichne Exponentialfunktionen und nutze die Zahl e.
    • Zeichne y = abˣ und finde ihre Asymptote.
    • Nutze stetiges Wachstum mit A = Pe^(rt).
    • Vergleiche Zinsperioden.
  2. 22LogarithmenWechsle zwischen Exponentialform und Logarithmusform und zeichne Logarithmusfunktionen.
    • Wisse, dass log_b x = y bedeutet bʸ = x.
    • Berechne dekadische und natürliche Logarithmen.
    • Zeichne y = log_b x als Umkehrfunktion von bˣ.
  3. 23Eigenschaften von LogarithmenZerlege und fasse Logarithmen zusammen.
    • Nutze Produkt-, Quotienten- und Potenzregel.
    • Zerlege und fasse Ausdrücke zusammen.
    • Nutze die Formel für den Basiswechsel.
  4. 24Löse Exponential- und LogarithmusgleichungenLöse Exponentialgleichungen und Logarithmusgleichungen.
    • Nimm den Logarithmus beider Seiten, um 3ˣ = 20 zu lösen.
    • Schreibe in Exponentialform um, um Logarithmusgleichungen zu lösen.
    • Verwirf Lösungen außerhalb des Definitionsbereichs.
  5. 25Exponentielle und logarithmische ModelleBaue und nutze exponentielle und logarithmische Modelle.
    • Finde Verdopplungszeit und Halbwertszeit.
    • Nutze pH- und Dezibel-Skalen.
    • Passe ein exponentielles Modell an Daten an.

Folgen und Reihen

  1. 26Sigma-NotationSchreibe und berechne Summen in Sigma-Notation.
    • Lies Index, Grenzen und Regel.
    • Entwickle eine kurze Summe und addiere sie.
    • Schreibe eine Summe in Sigma-Notation.
  2. 27Arithmetische ReihenFinde die Summe einer arithmetischen Reihe.
    • Nutze Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
    • Finde die Anzahl der Glieder.
    • Löse Aufgaben zu Sitzplätzen und Sparen.
  3. 28Geometrische ReihenFinde die Summe endlicher und unendlicher geometrischer Reihen.
    • Nutze Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r).
    • Wisse, dass eine unendliche Reihe konvergiert, wenn |r| < 1.
    • Finde Raten für Kredite und Hypotheken.

Trigonometrische Funktionen

  1. 29Der EinheitskreisFinde Sinus und Kosinus jedes Winkels mit dem Einheitskreis.
    • Zeichne Winkel in Standardposition in Grad und Bogenmaß.
    • Finde exakte Werte bei besonderen Winkeln.
    • Nutze Referenzwinkel und Vorzeichen nach Quadrant.
  2. 30Zeichne Sinus und KosinusZeichne Sinus und Kosinus mit Amplitude, Periode und Verschiebungen.
    • Finde Amplitude und Periode.
    • Zeichne Phasenverschiebungen und senkrechte Verschiebungen.
    • Zeichne y = tan x.
  3. 31Modelliere periodisches VerhaltenSchreibe eine trigonometrische Funktion, um periodisches Verhalten zu modellieren.
    • Modelliere Gezeiten und Riesenräder.
    • Finde Mittellinie und Amplitude aus Daten.
    • Nutze das Modell zum Vorhersagen.
  4. 32Der trigonometrische PythagorasBeweise und nutze den trigonometrischen Pythagoras sin²θ + cos²θ = 1.
    • Beweise die Identität mit dem Einheitskreis.
    • Finde cos θ aus sin θ und dem Quadranten.
    • Vereinfache trigonometrische Ausdrücke.

Wahrscheinlichkeit und Statistik

  1. 33Permutationen und KombinationenZähle Permutationen und Kombinationen.
    • Nutze das Zählprinzip.
    • Wisse, wann die Reihenfolge zählt.
    • Nutze nPr und nCr, um Wahrscheinlichkeiten zu finden.
  2. 34Bedingte Wahrscheinlichkeit und UnabhängigkeitFinde bedingte Wahrscheinlichkeiten und prüfe auf Unabhängigkeit.
    • Nutze P(A | B) = P(A und B) / P(B).
    • Nutze die Additionsregel.
    • Wisse, dass A und B unabhängig sind, wenn P(A und B) = P(A)P(B).
  3. 35Die NormalverteilungNutze die Normalverteilung, um Prozente zu schätzen.
    • Nutze die 68-95-99.7-Regel.
    • Finde und deute z-Werte.
    • Wisse, wann ein Normalmodell passt.
  4. 36Umfragen, Experimente und StudienUnterscheide Umfragen, Experimente und Beobachtungsstudien.
    • Wisse, wie Zufallsauswahl Verzerrung verringert.
    • Wisse, dass nur Experimente Ursache und Wirkung zeigen.
    • Erkenne Verzerrung in einer Umfragefrage.
  5. 37Fehlerspanne und SchlussfolgernNutze Simulation und Fehlerspanne, um Schlüsse zu beurteilen.
    • Schätze einen Anteil in der Grundgesamtheit aus einer Stichprobe.
    • Deute die Fehlerspanne.
    • Nutze eine Simulation, um zu entscheiden, ob ein Unterschied bedeutsam ist.

Wiederholung, gemischte Übungen und Herausforderungen

  1. 38Wiederholung der FunktionsfamilienLöse gemischte Aufgaben zu Polynomfunktionen, rationalen Funktionen, Wurzelfunktionen und Exponentialfunktionen.
    • Ordne einen Graphen seiner Funktionsfamilie zu.
    • Löse Gleichungen jedes Typs.
    • Prüfe auf zusätzliche Lösungen.
  2. 39Wiederholung zu Reihen, Trigonometrie und StatistikLöse gemischte Aufgaben mit Reihen, trigonometrischen Funktionen, Wahrscheinlichkeit und Statistik.
    • Summiere arithmetische und geometrische Reihen.
    • Zeichne und modelliere mit trigonometrischen Funktionen.
    • Finde Wahrscheinlichkeiten und deute Statistik.
  3. 40Algebra-2-HerausforderungBearbeite gemischte Fragen zu den großen Einheiten.
    • Löse Aufgaben aus jeder Einheit ohne Hinweise.
    • Wähle die passende Funktion, um eine Situation zu modellieren.
    • Finde die Stellen, die mehr Übung brauchen.