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Kurs

Mathe in der 10. Klasse: Geometrie

Schreibe Beweise, nutze Abbildungen, beweise, dass Dreiecke kongruent und ähnlich sind, löse rechtwinklige Dreiecke mit Trigonometrie und untersuche Kreise und Körper.

Mach die Lektionen der Reihe nach, von Punkten und Geraden bis zum selbstständigen Lösen von Aufgaben. Am Ende kannst du Logik und Konstruktionen nutzen, Sätze über Geraden und Winkel beweisen und Kongruenz mit starren Bewegungen beschreiben. Du kannst Dreiecke als kongruent beweisen, Eigenschaften von Dreiecken und Vierecken nutzen und Dreiecke mit Streckungen als ähnlich beweisen. Du kannst rechtwinklige Dreiecke mit dem Satz des Pythagoras und mit Trigonometrie lösen und den Sinussatz und den Kosinussatz nutzen. Du kannst Bogenlängen, Sektorflächen und Umfangswinkel finden und die Gleichung eines Kreises schreiben. Du kannst Koordinatenbeweise schreiben und Volumen von Prismen, Zylindern, Pyramiden, Kegeln und Kugeln finden.

So benutzt du diese Lektionen

  • Fang bei der Lektion an, auf der Mach das steht. Geh weiter, wenn du die Zeile unter dem Titel allein machen kannst.
  • Spiel zuerst die Spiele. Dann mach das Quiz. 8 von 10 richtig zum Bestehen. Die Arbeitsblätter sind auf Papier. Die Antworten sind unten.
  • Jede Lektion baut auf der vorigen auf. Wenn eine Lektion schwer ist, geh eine zurück.
  • Zeichne und beschrifte zu jeder Aufgabe eine Skizze. Halt Zirkel, Lineal und Winkelmesser bereit. In einem Beweis gib zu jeder Aussage einen Grund.

Jede Lektion hat Spiele, Quiz und Arbeitsblätter.

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Grundlagen, Konstruktionen und Logik

  1. 1Punkte, Geraden und EbenenBenenne und beschreibe Punkte, Geraden, Strahlen, Strecken und Ebenen.
    • Nutze die richtige Schreibweise für Geraden, Strahlen und Strecken.
    • Kenne die undefinierten Grundbegriffe der Geometrie.
    • Beschreibe, wie Geraden und Ebenen sich schneiden.
  2. 2Abstand, Mittelpunkt und WinkelmaßFinde Abstände, Mittelpunkte und Winkelmaße.
    • Nutze die Abstandsformel in der Koordinatenebene.
    • Nutze die Mittelpunktformel.
    • Nutze die Postulate der Strecken- und Winkeladdition.
  3. 3KonstruktionenKonstruiere Kopien, Halbierende und Senkrechte mit Zirkel und Lineal.
    • Kopiere eine Strecke und einen Winkel.
    • Halbiere eine Strecke und einen Winkel.
    • Konstruiere eine Senkrechte und eine Parallele.
  4. 4Logik und Wenn-dann-AussagenSchreibe mit Logik Wenn-dann-Aussagen, Kehrsätze und Gegenbeispiele.
    • Schreibe Kehrsatz, Umkehrung und Kontraposition.
    • Finde ein Gegenbeispiel zu einer falschen Aussage.
    • Unterscheide induktives und deduktives Schließen.

Geraden, Winkel und Beweise

  1. 5Parallelen und TransversalenNutze Winkelpaare, die Parallelen und eine Transversale bilden.
    • Benenne Stufenwinkel, Wechselwinkel und gleichliegende Winkel.
    • Finde unbekannte Winkel.
    • Beweise aus Winkelpaaren, dass Geraden parallel sind.
  2. 6Schreibe BeweiseSchreibe Beweise in zwei Spalten und als Absatz.
    • Nutze Definitionen, Postulate und Sätze als Gründe.
    • Nutze Algebra-Eigenschaften in Beweisen.
    • Schreibe einen Beweis in zwei Spalten und als Absatz.
  3. 7Beweise Sätze über Geraden und WinkelBeweise Sätze über Geraden und Winkel, zu Scheitelwinkeln und Mittelsenkrechten.
    • Beweise, dass Scheitelwinkel kongruent sind.
    • Beweise, dass Punkte auf einer Mittelsenkrechten von den Endpunkten gleich weit entfernt sind.
    • Beweise den Wechselwinkelsatz.

Abbildungen und Kongruenz

  1. 8Starre BewegungenBeschreibe Verschiebungen, Spiegelungen und Drehungen, die starren Bewegungen, als Funktionen.
    • Schreibe Regeln wie (x, y) → (−y, x).
    • Beschreibe eine Folge von Abbildungen.
    • Wisse, dass starre Bewegungen Längen und Winkel erhalten.
  2. 9Kongruenz durch starre BewegungenZeige, dass Figuren durch eine Folge starrer Bewegungen kongruent sind.
    • Definiere Kongruenz mit starren Bewegungen.
    • Finde eine Folge, die eine Figur auf eine andere abbildet.
    • Benenne zugehörige Teile.
  3. 10SymmetrieFinde Achsensymmetrie und Drehsymmetrie in Figuren.
    • Finde die Symmetrieachsen eines Vielecks.
    • Finde den Winkel der Drehsymmetrie.
    • Beschreibe Abbildungen, die eine Figur auf sich selbst abbilden.

Dreiecke

  1. 11Kongruenz von DreieckenBeweise die Kongruenz von Dreiecken mit SSS, SAS, ASA, AAS und HL.
    • Wähle das passende Kongruenzkriterium.
    • Wisse, warum SSA nicht gilt.
    • Nutze CPCTC in Beweisen.
  2. 12Winkelsätze am DreieckBeweise und nutze den Winkelsummensatz und den Außenwinkelsatz am Dreieck.
    • Beweise, dass die Winkel eines Dreiecks 180° ergeben.
    • Nutze den Außenwinkelsatz.
    • Finde unbekannte Winkel mit Algebra.
  3. 13Gleichschenklige und gleichseitige DreieckeNutze den Basiswinkelsatz bei gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken und seine Umkehrung.
    • Wisse, dass die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks gleich sind.
    • Nutze die Umkehrung, um gleiche Seiten zu finden.
    • Wisse, dass ein gleichseitiges Dreieck gleichwinklig ist.
  4. 14Halbierende, Seitenhalbierende und HöhenFinde Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt mit Halbierenden, Seitenhalbierenden und Höhen.
    • Konstruiere jeden Dreiecksmittelpunkt.
    • Wisse, dass der Schwerpunkt eine Seitenhalbierende im Verhältnis 2 zu 1 teilt.
    • Nutze den Mittellinien-Satz.
  5. 15DreiecksungleichungenNutze Dreiecksungleichungen, um zu entscheiden, ob drei Längen ein Dreieck bilden, und ordne seine Seiten und Winkel.
    • Nutze die Dreiecksungleichung.
    • Wisse, dass die längste Seite dem größten Winkel gegenüberliegt.
    • Finde den Bereich möglicher Längen für die dritte Seite.

Vielecke und Vierecke

  1. 16Winkelsumme im VieleckFinde die Summe der Innen- und Außenwinkel eines Vielecks.
    • Nutze (n − 2) × 180° für die Innenwinkelsumme.
    • Wisse, dass die Außenwinkel 360° ergeben.
    • Finde jeden Winkel eines regelmäßigen Vielecks.
  2. 17Eigenschaften von ParallelogrammenBeweise und nutze die Eigenschaften von Parallelogrammen.
    • Beweise, dass Gegenseiten und Gegenwinkel kongruent sind.
    • Beweise, dass die Diagonalen einander halbieren.
    • Zeige, dass ein Viereck ein Parallelogramm ist.
  3. 18Rechtecke, Rauten und QuadrateNutze die Eigenschaften von Rechtecken, Rauten und Quadraten.
    • Wisse, dass die Diagonalen eines Rechtecks kongruent sind.
    • Wisse, dass die Diagonalen einer Raute senkrecht sind.
    • Ordne ein Viereck nach seinen Eigenschaften ein.
  4. 19Trapeze und DrachenviereckeNutze die Eigenschaften von Trapezen und Drachenvierecken.
    • Nutze den Satz über die Mittellinie im Trapez.
    • Kenne die Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes.
    • Wisse, dass die Diagonalen eines Drachenvierecks senkrecht sind.

Ähnlichkeit

  1. 20StreckungenStrecke Figuren und beschreibe die Wirkung des Streckfaktors.
    • Strecke von einem Zentrum mit Streckfaktor k.
    • Wisse, dass eine Streckung eine Gerade auf eine parallele Gerade abbildet.
    • Definiere Ähnlichkeit mit Streckungen und starren Bewegungen.
  2. 21Ähnliche DreieckeBeweise, dass Dreiecke ähnlich sind, mit AA, SAS und SSS.
    • Nutze das Ähnlichkeitskriterium AA.
    • Stelle Verhältnisse auf und löse sie für fehlende Seiten.
    • Löse Aufgaben zur indirekten Messung mit Schatten.
  3. 22Verhältnisse in DreieckenNutze Verhältnisse in Dreiecken mit dem Strahlensatz und dem Winkelhalbierendensatz.
    • Nutze den Strahlensatz.
    • Nutze den Winkelhalbierendensatz im Dreieck.
    • Beweise den Satz des Pythagoras mit ähnlichen Dreiecken.

Rechtwinklige Dreiecke und Trigonometrie

  1. 23Der Satz des Pythagoras und seine UmkehrungNutze den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung und ordne Dreiecke nach ihren Seiten ein.
    • Finde fehlende Seiten in rechtwinkligen Dreiecken.
    • Nutze die Umkehrung, um auf ein rechtwinkliges Dreieck zu prüfen.
    • Ordne Dreiecke als spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ein.
  2. 24Besondere rechtwinklige DreieckeFinde die Seiten der besonderen rechtwinkligen Dreiecke 45-45-90 und 30-60-90.
    • Nutze das Verhältnis 1 : 1 : √2.
    • Nutze das Verhältnis 1 : √3 : 2.
    • Lass genaue Antworten mit Wurzeln stehen.
  3. 25Sinus, Kosinus und TangensFinde Sinus, Kosinus und Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck.
    • Nutze SOH CAH TOA.
    • Wisse, dass die Verhältnisse aus ähnlichen Dreiecken kommen.
    • Wisse, dass sin A = cos (90° − A).
  4. 26Löse rechtwinklige DreieckeLöse rechtwinklige Dreiecke: finde fehlende Seiten und Winkel mit Trigonometrie.
    • Nutze inverse Trigonometrie, um Winkel zu finden.
    • Löse Aufgaben zu Höhenwinkel und Tiefenwinkel.
    • Runde Antworten sinnvoll.
  5. 27Der Sinussatz und der KosinussatzLöse jedes Dreieck mit dem Sinussatz oder dem Kosinussatz.
    • Nutze den Sinussatz.
    • Nutze den Kosinussatz.
    • Finde den Flächeninhalt mit 1/2 ab sin C.

Kreise

  1. 28Kreisteile und BögenBenenne Teile eines Kreises und finde Bogenmaße.
    • Benenne Radien, Sehnen, Durchmesser, Sekanten und Tangenten.
    • Finde die Maße des kleinen und des großen Bogens.
    • Wisse, dass alle Kreise ähnlich sind.
  2. 29Bogenlänge und RadiantFinde die Bogenlänge und rechne zwischen Grad und Radiant um.
    • Finde die Bogenlänge als Bruchteil des Umfangs.
    • Definiere einen Radiant.
    • Rechne zwischen Grad und Radiant um.
  3. 30SektorflächeFinde die Fläche eines Sektors.
    • Finde die Sektorfläche als Bruchteil der Kreisfläche.
    • Finde die Fläche eines Kreisabschnitts.
    • Löse Aufgaben zu Pizza und Rasensprenger.
  4. 31UmfangswinkelNutze den Zusammenhang zwischen Umfangswinkeln und Bögen.
    • Wisse, dass ein Umfangswinkel halb so groß ist wie sein Bogen.
    • Wisse, dass ein Winkel im Halbkreis ein rechter Winkel ist.
    • Wisse, dass Gegenwinkel eines Sehnenvierecks 180° ergeben.
  5. 32Tangenten, Sehnen und SekantenNutze die Eigenschaften von Tangenten, Sehnen und Sekanten.
    • Wisse, dass eine Tangente senkrecht zum Radius steht.
    • Nutze Abschnittsprodukte für Sehnen und Sekanten.
    • Finde Winkel, die Sehnen, Sekanten und Tangenten bilden.
  6. 33Gleichungen von KreisenSchreibe und zeichne die Gleichung eines Kreises.
    • Nutze (x − h)² + (y − k)² = r².
    • Finde Mittelpunkt und Radius durch quadratische Ergänzung.
    • Entscheide, ob ein Punkt auf einem Kreis liegt.

Koordinatengeometrie

  1. 34KoordinatenbeweiseBeweise geometrische Aussagen mit Koordinaten.
    • Lege Figuren sinnvoll in die Koordinatenebene.
    • Nutze Steigung und Abstand, um ein Viereck einzuordnen.
    • Beweise, dass eine Mittellinie parallel zu einer Seite ist.
  2. 35Teile eine StreckeFinde den Punkt, der eine Strecke in einem gegebenen Verhältnis teilt.
    • Finde den Punkt, der 2/5 des Weges von A nach B liegt.
    • Teile eine Strecke im Verhältnis 1 : 3.
    • Verbinde das Teilen mit Streckungen.
  3. 36Umfang und Flächeninhalt mit KoordinatenFinde Umfang und Flächeninhalt von Vielecken in der Koordinatenebene.
    • Nutze die Abstandsformel für den Umfang.
    • Finde den Flächeninhalt durch Zerlegen oder Einschließen in ein Rechteck.
    • Finde den Flächeninhalt eines Dreiecks aus seinen Eckpunkten.

Volumen und Modelle

  1. 37Volumen von Prismen und ZylindernFinde und erkläre das Volumen von Prismen und Zylindern.
    • Nutze V = Bh.
    • Erkläre das Prinzip von Cavalieri.
    • Finde das Volumen schiefer Körper.
  2. 38Pyramiden, Kegel und KugelnFinde Volumen und Oberfläche von Pyramiden, Kegeln und Kugeln.
    • Nutze V = 1/3 Bh.
    • Nutze V = 4/3 πr³ und SA = 4πr².
    • Löse Aufgaben zu zusammengesetzten Körpern.
  3. 39Querschnitte und RotationskörperBeschreibe Querschnitte und den Körper, der beim Drehen einer Figur entsteht.
    • Benenne Querschnitte von Prismen, Zylindern und Kegeln.
    • Beschreibe den Körper, der beim Drehen eines Rechtecks oder Dreiecks entsteht.
    • Verbinde 2D-Figuren mit 3D-Körpern.
  4. 40Modelle zu Dichte und EntwurfNutze Geometrie, um Aufgaben zu Dichte und Entwurf zu modellieren.
    • Finde die Bevölkerungsdichte pro Quadratmeile.
    • Finde die Masse eines Gegenstands aus seiner Dichte.
    • Entwirf eine Schachtel, die eine Bedingung erfüllt.

Wiederholung, gemischte Übungen und Herausforderungen

  1. 41Wiederholung zu Beweis und KongruenzLöse gemischte Aufgaben zu Beweisen, Kongruenz, Abbildungen, Dreiecken und Vierecken.
    • Schreibe Beweise mit Gründen.
    • Beweise, dass Dreiecke kongruent und ähnlich sind.
    • Nutze Eigenschaften von Vierecken.
  2. 42Wiederholung zu Trigonometrie, Kreis und VolumenLöse gemischte Aufgaben zu Trigonometrie, Kreisen und Volumen von Körpern.
    • Löse rechtwinklige und schiefwinklige Dreiecke.
    • Finde Bögen, Sektoren und Kreisgleichungen.
    • Finde Volumen von Körpern.
  3. 43Geometrie-HerausforderungLöse die Geometrie-Herausforderung mit gemischten Fragen zu den großen Einheiten.
    • Löse Aufgaben aus jeder Einheit ohne Hinweise.
    • Erkläre jede Antwort mit einem Satz.
    • Finde die Themen, die mehr Übung brauchen.