บทเรียนทั้งหมด

คอร์ส

คณิตศาสตร์ ม.4: เรขาคณิต

เขียนการพิสูจน์ ใช้การแปลง พิสูจน์สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการและสามเหลี่ยมคล้าย แก้สามเหลี่ยมมุมฉากด้วยตรีโกณมิติ และเรียนวงกลมกับทรงตัน

เรียนบทเรียนตามลำดับ จากจุดและเส้นตรงไปจนถึงการแก้โจทย์ได้ด้วยตัวเอง เมื่อจบแล้ว หนูใช้ตรรกะและการสร้างรูปได้ พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นตรงและมุมได้ และอธิบายความเท่ากันทุกประการด้วยการเคลื่อนที่แบบคงรูปได้ หนูพิสูจน์สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการได้ ใช้สมบัติของสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมได้ และพิสูจน์สามเหลี่ยมคล้ายด้วยการย่อขยายได้ หนูแก้สามเหลี่ยมมุมฉากด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัสและตรีโกณมิติได้ และใช้กฎของไซน์กับกฎของโคไซน์ได้ หนูหาความยาวส่วนโค้ง พื้นที่ภาคส่วน และมุมในส่วนโค้งได้ และเขียนสมการวงกลมได้ หนูเขียนการพิสูจน์ด้วยพิกัดได้ และหาปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลมได้

ใช้บทเรียนเหล่านี้ยังไง

  • เริ่มที่บทที่เขียนว่า ทำอันนี้ ทำบรรทัดใต้ชื่อได้เองแล้ว ค่อยไปต่อ
  • เล่นเกมก่อน แล้วทำแบบทดสอบ ผ่านเมื่อถูก 8/10 ข้อ ใบงานอยู่บนกระดาษ เฉลยอยู่ด้านล่าง
  • แต่ละบทต่อจากบทก่อน ถ้าบทยาก ให้ย้อนกลับหนึ่งบท
  • วาดและติดป้ายรูปให้ทุกโจทย์ เตรียมวงเวียน ไม้บรรทัดตรง และโปรแทรกเตอร์ไว้ใกล้ ๆ ตอนพิสูจน์ ให้เหตุผลทุกข้อความ

แต่ละบทมีเกม แบบทดสอบ และใบงาน

0/43

พื้นฐาน การสร้างรูป และตรรกะ

  1. 1จุด เส้นตรง และระนาบบอกชื่อและอธิบายจุด เส้นตรง รังสี ส่วนของเส้นตรง และระนาบ
    • ใช้สัญลักษณ์ของเส้นตรง รังสี และส่วนของเส้นตรงให้ถูก
    • รู้ศัพท์เรขาคณิตที่ไม่มีนิยาม
    • อธิบายว่าเส้นตรงและระนาบตัดกันอย่างไร
  2. 2ระยะทาง จุดกึ่งกลาง และขนาดของมุมหาความยาว จุดกึ่งกลาง และขนาดของมุม
    • ใช้สูตรระยะทางบนระนาบพิกัด
    • ใช้สูตรจุดกึ่งกลาง
    • ใช้สัจพจน์การบวกส่วนของเส้นตรงและการบวกมุม
  3. 3การสร้างรูปสร้างรูปที่ลอกแบบ เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นตั้งฉาก ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดตรง
    • ลอกส่วนของเส้นตรงและมุม
    • แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงและมุม
    • สร้างเส้นตั้งฉากและเส้นขนาน
  4. 4ตรรกะและประพจน์เงื่อนไขเขียนประพจน์เงื่อนไข บทกลับ และตัวอย่างค้าน
    • เขียนบทกลับ บทผกผัน และบทแย้งสลับที่
    • หาตัวอย่างค้านของข้อความที่ผิด
    • แยกการให้เหตุผลแบบอุปนัยออกจากแบบนิรนัย

เส้นตรง มุม และการพิสูจน์

  1. 5เส้นขนานและเส้นตัดใช้คู่มุมที่เกิดจากเส้นขนานและเส้นตัด
    • บอกชื่อมุมแย้ง มุมภายในสลับ และมุมภายในด้านเดียวกัน
    • หามุมที่ยังไม่รู้
    • พิสูจน์ว่าเส้นขนานจากคู่มุม
  2. 6เขียนการพิสูจน์เขียนการพิสูจน์แบบสองคอลัมน์และแบบย่อหน้า
    • ใช้บทนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบทเป็นเหตุผล
    • ใช้สมบัติพีชคณิตในการพิสูจน์
    • เขียนการพิสูจน์ทั้งแบบสองคอลัมน์และแบบย่อหน้า
  3. 7พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นตรงและมุมพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมตรงข้ามและเส้นตั้งฉากที่แบ่งครึ่ง
    • พิสูจน์ว่ามุมตรงข้ามเท่ากันทุกประการ
    • พิสูจน์ว่าจุดบนเส้นตั้งฉากที่แบ่งครึ่งอยู่ห่างจากปลายทั้งสองเท่ากัน
    • พิสูจน์ทฤษฎีบทมุมภายในสลับ

การแปลงและความเท่ากันทุกประการ

  1. 8การเคลื่อนที่แบบคงรูปอธิบายการเลื่อน การสะท้อน และการหมุนในรูปฟังก์ชัน
    • เขียนกฎ เช่น (x, y) → (−y, x)
    • อธิบายลำดับของการแปลง
    • รู้ว่าการเคลื่อนที่แบบคงรูปคงความยาวและมุมไว้
  2. 9ความเท่ากันทุกประการด้วยการเคลื่อนที่แบบคงรูปแสดงว่ารูปเท่ากันทุกประการด้วยลำดับของการเคลื่อนที่แบบคงรูป
    • นิยามความเท่ากันทุกประการด้วยการเคลื่อนที่แบบคงรูป
    • หาลำดับที่ส่งรูปรูปหนึ่งไปอีกรูป
    • บอกส่วนที่สมนัยกัน
  3. 10สมมาตรหาสมมาตรเส้นและสมมาตรหมุนของรูป
    • หาแกนสมมาตรของรูปหลายเหลี่ยม
    • หามุมของสมมาตรหมุน
    • อธิบายการแปลงที่ส่งรูปทับตัวเอง

สามเหลี่ยม

  1. 11สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการพิสูจน์สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการด้วย SSS, SAS, ASA, AAS และ HL
    • เลือกเกณฑ์ความเท่ากันทุกประการให้ถูก
    • รู้ว่าทำไม SSA ใช้ไม่ได้
    • ใช้ CPCTC ในการพิสูจน์
  2. 12ทฤษฎีบทมุมของสามเหลี่ยมพิสูจน์และใช้ทฤษฎีบทผลรวมมุมของสามเหลี่ยมและทฤษฎีบทมุมภายนอก
    • พิสูจน์ว่ามุมของสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180°
    • ใช้ทฤษฎีบทมุมภายนอก
    • หามุมที่ยังไม่รู้ด้วยพีชคณิต
  3. 13สามเหลี่ยมหน้าจั่วและสามเหลี่ยมด้านเท่าใช้ทฤษฎีบทมุมฐานและบทกลับของทฤษฎีบทนั้น
    • รู้ว่ามุมฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน
    • ใช้บทกลับเพื่อหาด้านที่เท่ากัน
    • รู้ว่าสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นสามเหลี่ยมมุมเท่า
  4. 14เส้นแบ่งครึ่ง มัธยฐาน และส่วนสูงหาจุดศูนย์กลางวงกลมล้อม จุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน จุดศูนย์ถ่วง และจุดออร์โทเซนเตอร์
    • สร้างจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมแต่ละจุด
    • รู้ว่าจุดศูนย์ถ่วงแบ่งมัธยฐานในอัตรา 2 ต่อ 1
    • ใช้ทฤษฎีบทเส้นมัธยฐาน
  5. 15อสมการสามเหลี่ยมตัดสินว่าความยาวสามค่าประกอบเป็นสามเหลี่ยมได้หรือไม่ และเรียงด้านกับมุม
    • ใช้ทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยม
    • รู้ว่าด้านที่ยาวที่สุดอยู่ตรงข้ามมุมที่ใหญ่ที่สุด
    • หาช่วงความยาวที่เป็นไปได้ของด้านที่สาม

รูปหลายเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม

  1. 16ผลรวมมุมของรูปหลายเหลี่ยมหาผลรวมมุมภายในและมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยม
    • ใช้ (n − 2) × 180° สำหรับผลรวมมุมภายใน
    • รู้ว่ามุมภายนอกรวมกันได้ 360°
    • หามุมแต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า
  2. 17สมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานพิสูจน์และใช้สมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
    • พิสูจน์ว่าด้านตรงข้ามและมุมตรงข้ามเท่ากันทุกประการ
    • พิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
    • แสดงว่ารูปสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
  3. 18สี่เหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และสี่เหลี่ยมจัตุรัสใช้สมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานชนิดพิเศษ
    • รู้ว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมมุมฉากเท่ากันทุกประการ
    • รู้ว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากกัน
    • จำแนกรูปสี่เหลี่ยมจากสมบัติของมัน
  4. 19สี่เหลี่ยมคางหมูและรูปว่าวใช้สมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูและรูปว่าว
    • ใช้ทฤษฎีบทเส้นมัธยฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
    • รู้สมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
    • รู้ว่าเส้นทแยงมุมของรูปว่าวตั้งฉากกัน

ความคล้าย

  1. 20การย่อขยายย่อขยายรูป และอธิบายผลของตัวคูณมาตราส่วน
    • ย่อขยายจากจุดศูนย์กลางด้วยตัวคูณมาตราส่วน k
    • รู้ว่าการย่อขยายส่งเส้นตรงไปเป็นเส้นตรงที่ขนานกัน
    • นิยามความคล้ายด้วยการย่อขยายและการเคลื่อนที่แบบคงรูป
  2. 21สามเหลี่ยมคล้ายพิสูจน์สามเหลี่ยมคล้ายด้วย AA, SAS และ SSS
    • ใช้เกณฑ์ความคล้าย AA
    • เขียนและแก้สัดส่วนเพื่อหาด้านที่หาย
    • แก้โจทย์วัดทางอ้อมด้วยเงา
  3. 22สัดส่วนในสามเหลี่ยมใช้ทฤษฎีบทเส้นขนานแบ่งด้านและทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่งมุม
    • ใช้ทฤษฎีบทเส้นขนานแบ่งด้าน
    • ใช้ทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยม
    • พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วยสามเหลี่ยมคล้าย

สามเหลี่ยมมุมฉากและตรีโกณมิติ

  1. 23ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และจำแนกสามเหลี่ยมตามด้าน
    • หาด้านที่หายในสามเหลี่ยมมุมฉาก
    • ใช้บทกลับเพื่อตรวจว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
    • จำแนกสามเหลี่ยมเป็นมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้าน
  2. 24สามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษหาด้านของสามเหลี่ยม 45-45-90 และ 30-60-90
    • ใช้อัตราส่วน 1 : 1 : √2
    • ใช้อัตราส่วน 1 : √3 : 2
    • คงคำตอบแบบรากไว้ให้ตรง
  3. 25ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์หาอัตราส่วนตรีโกณมิติในสามเหลี่ยมมุมฉาก
    • ใช้ SOH CAH TOA
    • รู้อัตราส่วนมาจากสามเหลี่ยมคล้าย
    • รู้ว่า sin A = cos (90° − A)
  4. 26แก้สามเหลี่ยมมุมฉากหาด้านและมุมที่หายด้วยตรีโกณมิติ
    • ใช้ตรีโกณมิติผกผันเพื่อหามุม
    • แก้โจทย์มุมเงยและมุมก้ม
    • ปัดเศษคำตอบอย่างสมเหตุสมผล
  5. 27กฎของไซน์และกฎของโคไซน์แก้สามเหลี่ยมใด ๆ ด้วยกฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์
    • ใช้กฎของไซน์
    • ใช้กฎของโคไซน์
    • หาพื้นที่ด้วย 1/2 ab sin C

วงกลม

  1. 28ส่วนประกอบของวงกลมและส่วนโค้งบอกชื่อส่วนประกอบของวงกลม และหาขนาดของส่วนโค้ง
    • บอกรัศมี คอร์ด เส้นผ่านศูนย์กลาง เส้นตัด และเส้นสัมผัส
    • หาขนาดของส่วนโค้งเล็กและส่วนโค้งใหญ่
    • รู้ว่าวงกลมทุกวงคล้ายกัน
  2. 29ความยาวส่วนโค้งและเรเดียนหาความยาวส่วนโค้ง และแปลงระหว่างองศากับเรเดียน
    • หาความยาวส่วนโค้งเป็นเศษส่วนของเส้นรอบวง
    • นิยามเรเดียน
    • แปลงระหว่างองศากับเรเดียน
  3. 30พื้นที่ภาคส่วนหาพื้นที่ภาคส่วน
    • หาพื้นที่ภาคส่วนเป็นเศษส่วนของพื้นที่วงกลม
    • หาพื้นที่ส่วนของวงกลม
    • แก้โจทย์พิซซ่าและหัวฉีดน้ำ
  4. 31มุมในส่วนโค้งใช้ความสัมพันธ์ระหว่างมุมในส่วนโค้งกับส่วนโค้ง
    • รู้ว่ามุมในส่วนโค้งเท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่รองรับ
    • รู้ว่ามุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก
    • รู้ว่ามุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมรวมกันได้ 180°
  5. 32เส้นสัมผัส คอร์ด และเส้นตัดใช้สมบัติของเส้นสัมผัส คอร์ด และเส้นตัด
    • รู้ว่าเส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี
    • ใช้ผลคูณของส่วนของเส้นตรงสำหรับคอร์ดและเส้นตัด
    • หามุมที่เกิดจากคอร์ด เส้นตัด และเส้นสัมผัส
  6. 33สมการวงกลมเขียนและวาดกราฟสมการวงกลม
    • ใช้ (x − h)² + (y − k)² = r²
    • หาจุดศูนย์กลางและรัศมีด้วยการเติมเต็มกำลังสอง
    • ตัดสินว่าจุดอยู่บนวงกลมหรือไม่

เรขาคณิตพิกัด

  1. 34การพิสูจน์ด้วยพิกัดพิสูจน์ข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตด้วยพิกัด
    • วางรูปบนระนาบพิกัดอย่างเหมาะสม
    • ใช้ความชันและระยะทางเพื่อจำแนกรูปสี่เหลี่ยม
    • พิสูจน์ว่าเส้นมัธยฐานขนานกับด้าน
  2. 35แบ่งส่วนของเส้นตรงหาจุดที่แบ่งส่วนของเส้นตรงตามอัตราส่วนที่กำหนด
    • หาจุดที่อยู่ห่าง 2/5 ของทางจาก A ไป B
    • แบ่งส่วนของเส้นตรงในอัตราส่วน 1 : 3
    • เชื่อมการแบ่งส่วนของเส้นตรงกับการย่อขยาย
  3. 36เส้นรอบรูปและพื้นที่ด้วยพิกัดหาเส้นรอบรูปและพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบพิกัด
    • ใช้สูตรระยะทางหาเส้นรอบรูป
    • หาพื้นที่โดยแบ่งส่วนหรือครอบด้วยสี่เหลี่ยมมุมฉาก
    • หาพื้นที่สามเหลี่ยมจากจุดยอด

ปริมาตรและการสร้างแบบจำลอง

  1. 37ปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอกหาและอธิบายปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอก
    • ใช้ V = Bh
    • อธิบายหลักการของคาวาลิเอรี
    • หาปริมาตรของทรงตันเอียง
  2. 38พีระมิด กรวย และทรงกลมหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของพีระมิด กรวย และทรงกลม
    • ใช้ V = 1/3 Bh
    • ใช้ V = 4/3 πr³ และ SA = 4πr²
    • แก้โจทย์ทรงตันประกอบ
  3. 39ภาคตัดและทรงที่ได้จากการหมุนอธิบายภาคตัด และทรงตันที่ได้จากการหมุนรูป
    • บอกชื่อภาคตัดของปริซึม ทรงกระบอก และกรวย
    • อธิบายทรงตันที่ได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมมุมฉากหรือสามเหลี่ยม
    • เชื่อมรูปสองมิติกับทรงตันสามมิติ
  4. 40ความหนาแน่นและการสร้างแบบจำลองการออกแบบใช้เรขาคณิตสร้างแบบจำลองโจทย์ความหนาแน่นและการออกแบบ
    • หาความหนาแน่นประชากรต่อตารางไมล์
    • หามวลของวัตถุจากความหนาแน่น
    • ออกแบบกล่องให้เข้ากับเงื่อนไข

ทบทวน ฝึกแบบคละ และโจทย์ท้าทาย

  1. 41ทบทวนการพิสูจน์และความเท่ากันทุกประการแก้โจทย์คละเกี่ยวกับการพิสูจน์ การแปลง สามเหลี่ยม และรูปสี่เหลี่ยม
    • เขียนการพิสูจน์พร้อมเหตุผล
    • พิสูจน์สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการและสามเหลี่ยมคล้าย
    • ใช้สมบัติของรูปสี่เหลี่ยม
  2. 42ทบทวนตรีโกณมิติ วงกลม และปริมาตรแก้โจทย์คละเกี่ยวกับตรีโกณมิติ วงกลม และทรงตัน
    • แก้สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก
    • หาส่วนโค้ง ภาคส่วน และสมการวงกลม
    • หาปริมาตรของทรงตัน
  3. 43โจทย์ท้าทายเรขาคณิตทำโจทย์คละที่ครอบคลุมหน่วยใหญ่ ๆ
    • แก้โจทย์จากทุกหน่วยโดยไม่มีคำใบ้
    • อธิบายแต่ละคำตอบด้วยทฤษฎีบท
    • หาส่วนที่ต้องฝึกเพิ่ม