Alla lektioner

Kurs

Matte i åk 12: förkalkyl

Analysera funktioner, behärska trigonometri, arbeta med vektorer, polära koordinater, kägelsnitt och matriser, och ta en första titt på gränsvärden.

Gå igenom lektionerna i ordning, från analys av funktioner till att lösa problem på egen hand. I slutet kan du analysera och sätta ihop funktioner, lösa polynomolikheter och rationella olikheter och göra modeller med exponentialfunktioner, logaritmfunktioner och logistiska funktioner. Du kan rita alla sex trigonometriska funktioner och de inversa trigonometriska funktionerna, verifiera trigonometriska identiteter och lösa trigonometriska ekvationer. Du kan lösa vilken triangel som helst och använda vektorer för krafter och rörelse. Du kan rita i polära koordinater, skriva komplexa tal i polär form och använda de Moivres sats. Du kan rita parametriska ekvationer och kägelsnitt och lösa system med matriser. Du kan bevisa påståenden med induktion och hitta gränsvärden, den första idén i analys.

Så använder du lektionerna

  • Börja på lektionen märkt Gör det här. Gå vidare när du själv kan göra raden under titeln.
  • Spela Spel först. Gör Quiz sedan. 8 av 10 rätt för att klara. Arbetsblad är på papper. Svar finns längst ner.
  • Varje lektion bygger på den förra. Om en lektion är svår, gå tillbaka en.
  • Den här kursen gör dig redo för analys. Lär dig enhetscirkeln utantill. Skriv upp identiteterna när du lär dig dem. Skissa varje graf för hand, kolla sedan med en grafritare.

Varje lektion har spel, quiz och arbetsblad.

0 av 42

Funktioner igen

  1. 1Analysera funktioners beteendeBeskriv funktionens beteende: var den växer, avtar och når sina extrempunkter.
    • Hitta intervall där funktionen växer och avtar.
    • Hitta relativa och absoluta extrempunkter.
    • Hitta den genomsnittliga förändringshastigheten på ett intervall.
  2. 2Sätt ihop och dela upp funktionerSätt ihop nya funktioner av gamla och dela upp en funktion i en sammansättning.
    • Sätt samman funktioner och hitta definitionsmängden.
    • Skriv h(x) = √(x² + 1) som f(g(x)).
    • Gör en modell av en situation med en sammansatt funktion.
  3. 3Inverser och begränsad definitionsmängdBegränsa definitionsmängden så att funktionen har en invers.
    • Använd testet med en vågrät linje.
    • Begränsa definitionsmängden för x² och hitta inversen.
    • Läs inversa värden ur en tabell eller en graf.

Polynom och rationella funktioner

  1. 4Polynombeteende och olikheterLös polynomolikheter med nollställen och teckentabeller.
    • Hitta alla nollställen och deras multiplicitet.
    • Lös p(x) ≥ 0 med en teckentabell.
    • Gör modeller av volym och vinst med polynom.
  2. 5Rationella funktioner och sneda asymptoterRita rationella funktioner, även med sneda asymptoter.
    • Hitta lodräta, vågräta och sneda asymptoter.
    • Hitta hål och skärningar med axlarna.
    • Beskriv beteendet i ändarna.
  3. 6Rationella olikheterLös rationella olikheter.
    • Hitta nollställen och punkter där funktionen inte är definierad.
    • Använd en teckentabell.
    • Skriv lösningen med intervall.

Exponential-, logaritm- och logistiska modeller

  1. 7Exponential- och logaritmfunktionerRita, lös och gör modeller med exponential- och logaritmfunktioner.
    • Rita förflyttningar av exponential- och logaritmfunktioner.
    • Lös ekvationer med logaritmer.
    • Gör modeller av ränta på ränta och kontinuerlig tillväxt.
  2. 8Logistisk tillväxtGör en modell för tillväxt som planar ut med en logistisk funktion.
    • Läs av bärkraften.
    • Hitta punkten där tillväxten är snabbast.
    • Jämför logistisk och exponentiell tillväxt.
  3. 9Semilogaritmiska diagram och att räta ut dataAnvänd logaritmer för att räta ut exponentialdata på ett semilogaritmiskt diagram.
    • Rita log y mot x.
    • Veta att exponentialdata ser rätlinjig ut på ett semilogaritmiskt diagram.
    • Hitta en exponentialmodell från linjen.

Trigonometriska funktioner

  1. 10Radianer och enhetscirkelnHitta alla sex trigonometriska värden för vilken vinkel som helst i radianer på enhetscirkeln.
    • Växla mellan grader och radianer.
    • Hitta exakta värden vid speciella vinklar.
    • Hitta båglängd och vinkelhastighet.
  2. 11Rita alla sex trigonometriska funktionerRita alla sex trigonometriska funktioner: sinus, cosinus, tangens och deras reciproka funktioner.
    • Rita tangens och cotangens med asymptoter.
    • Rita sekans och cosekans från cosinus och sinus.
    • Hitta period, amplitud och förskjutningar.
  3. 12Inversa trigonometriska funktionerBeräkna och rita de inversa trigonometriska funktionerna för sinus, cosinus och tangens.
    • Kunna den begränsade definitionsmängden för varje funktion.
    • Hitta exakta värden, till exempel arcsin(1/2).
    • Beräkna sammansättningar, till exempel cos(arctan x).
  4. 13SinusmodellerBygg sinusmodeller från data och använd dem för att förutsäga.
    • Gör modeller av dagsljusets timmar och ljudvågor.
    • Hitta frekvensen hos en våg.
    • Använd modellen för att lösa ut tider.

Trigonometriska identiteter och ekvationer

  1. 14Grundläggande identiteterAnvänd de grundläggande identiteterna: reciproka, kvot, pythagoreiska och jämn-udda.
    • Använd alla tre pythagoreiska identiteterna.
    • Använd jämn-udda-identiteter och kofunktionsidentiteter.
    • Förenkla trigonometriska uttryck.
  2. 15Verifiera identiteterVerifiera en trigonometrisk identitet steg för steg.
    • Arbeta bara med ena sidan.
    • Skriv om i sinus och cosinus.
    • Faktorisera och slå ihop bråk.
  3. 16Additions- och subtraktionsformlerAnvänd additions- och subtraktionsformler för sinus, cosinus och tangens.
    • Hitta det exakta värdet av sin 75°.
    • Bevisa formlerna.
    • Förenkla uttryck med dem.
  4. 17Dubbelvinkel- och halvvinkelformlerAnvänd dubbelvinkel- och halvvinkelformler.
    • Använd sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
    • Använd alla tre formerna av cos 2θ.
    • Hitta exakta värden för halva vinkeln.
  5. 18Lös trigonometriska ekvationerLös trigonometriska ekvationer på ett intervall och i allmän form.
    • Hitta alla lösningar i [0, 2π).
    • Skriv den allmänna lösningen.
    • Lös genom att faktorisera och med identiteter.

Trianglar och vektorer

  1. 19Sinussatsen och det tvetydiga falletLös trianglar med sinussatsen, även i det tvetydiga SSA-fallet.
    • Använd sinussatsen.
    • Avgör om SSA ger 0, 1 eller 2 trianglar.
    • Lös navigeringsproblem.
  2. 20Cosinussatsen och Herons formelLös trianglar med cosinussatsen och hitta arean med Herons formel.
    • Använd cosinussatsen för SAS och SSS.
    • Använd Herons formel.
    • Välj rätt sats för en triangel.
  3. 21VektorerBeskriv vektorer med längd och riktning och i komponentform.
    • Skriv en vektor i komponentform.
    • Hitta längd och riktningsvinkel.
    • Hitta en enhetsvektor.
  4. 22Vektorräkning och skalärproduktenAddera vektorer, multiplicera med tal och räkna ut skalärprodukten.
    • Addera vektorer med komponenter och med figurer.
    • Hitta skalärprodukten och vinkeln mellan vektorer.
    • Hitta projektionen av en vektor på en annan.
  5. 23Tillämpningar av vektorerAnvänd vektorer för att lösa problem om kraft, hastighet och arbete.
    • Hitta resultanten av krafterna.
    • Hitta ett flygplans fart över marken i vind.
    • Hitta arbete med skalärprodukten.

Polära koordinater och komplexa tal

  1. 24Polära koordinaterPricka in punkter i polära koordinater och växla till rektangulär form och tillbaka.
    • Pricka in (r, θ).
    • Växla punkter mellan polär och rektangulär form.
    • Växla ekvationer mellan formerna.
  2. 25Polära graferRita polära grafer: cirklar, rosor, snäckor och kardioider.
    • Rita r = a cos θ och r = a sin θ.
    • Rita rosor r = a cos(nθ).
    • Använd symmetri för att rita snabbare.
  3. 26Komplexa tal i polär formSkriv komplexa tal i polär form och multiplicera dem.
    • Pricka in komplexa tal och hitta deras modul.
    • Skriv z = r(cos θ + i sin θ).
    • Multiplicera och dividera i polär form.
  4. 27De Moivres satsHitta potenser och rötter till komplexa tal med de Moivres sats.
    • Använd de Moivres sats för potenser.
    • Hitta de n:te rötterna till ett komplext tal.
    • Pricka in enhetsrötterna.

Parametriska ekvationer och kägelsnitt

  1. 28Parametriska ekvationerRita parametriska ekvationer och gör modeller av rörelse med dem.
    • Rita en kurva från x(t) och y(t).
    • Eliminera parametern.
    • Gör en modell av kaströrelse.
  2. 29ParablerRita parabler från brännpunkt och styrlinje.
    • Använd definitionen med brännpunkt och styrlinje.
    • Skriv ekvationen från brännpunkt och vertex.
    • Veta varför parabolantenner är paraboliska.
  3. 30EllipserRita ellipser och hitta deras brännpunkter.
    • Använd (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1.
    • Hitta brännpunkterna med c² = a² − b².
    • Gör modeller av planetbanor.
  4. 31HyperblerRita hyperbler med asymptoter och brännpunkter.
    • Använd (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
    • Hitta asymptoterna och brännpunkterna.
    • Avgör vilket kägelsnitt en allmän ekvation ger.

Matriser och system

  1. 32MatrisräkningAddera matriser, multiplicera med tal och multiplicera matriser.
    • Veta vilka format som behövs för att multiplicera.
    • Multiplicera två matriser.
    • Veta att matrismultiplikation inte är kommutativ.
  2. 33Determinanter och inversa matriserHitta determinanten och den inversa matrisen.
    • Hitta en determinant av storlek 2×2 och 3×3.
    • Hitta en invers av storlek 2×2.
    • Veta att en matris med determinant 0 inte har någon invers.
  3. 34Lös system med matriserLös ekvationssystem med matriser.
    • Skriv ett system som AX = B.
    • Lös med en invers matris.
    • Använd radreducering på en utökad matris.
  4. 35Matriser som avbildningarAnvänd matriser som avbildningar för att rotera, spegla och skala figurer.
    • Skriv matrisen för en rotation.
    • Sätt ihop avbildningar genom att multiplicera.
    • Veta att determinanten ger skalfaktorn för arean.

Induktion och gränsvärden

  1. 36Matematisk induktionBevisa ett påstående för varje naturligt tal med matematisk induktion.
    • Bevisa basfallet.
    • Bevisa induktionssteget.
    • Bevisa en formel för en summa.
  2. 37Introduktion till gränsvärdenHitta gränsvärden från grafer, tabeller och algebra.
    • Läs ensidiga gränsvärden från en graf.
    • Hitta gränsvärden med insättning och faktorisering.
    • Veta när ett gränsvärde inte finns.
  3. 38Gränsvärden i oändligheten och kontinuitetHitta gränsvärden i oändligheten och avgör var en funktion är kontinuerlig.
    • Koppla gränsvärden i oändligheten till vågräta asymptoter.
    • Hitta gränsvärdet av en oändlig talföljd.
    • Namnge hävbara, språng- och oändliga diskontinuiteter.
  4. 39Förändringshastighet och tangenterHitta den momentana förändringshastigheten med ett gränsvärde.
    • Hitta lutningen hos en sekant.
    • Använd ett gränsvärde för att hitta lutningen hos en tangent.
    • Koppla det till momentan hastighet.

Repetition, blandad träning och utmaningar

  1. 40Repetition: funktioner och trigonometriLös blandade problem med funktioner, identiteter och trigonometriska ekvationer.
    • Analysera vilken funktionsfamilj som helst.
    • Bevisa identiteter och lös trigonometriska ekvationer.
    • Lös trianglar.
  2. 41Repetition: vektorer, polära koordinater, kägelsnitt och gränsvärdenLös blandade problem med vektorer, polär form, kägelsnitt, matriser och gränsvärden.
    • Använd vektorer och polära koordinater.
    • Rita kägelsnitt och lös system med matriser.
    • Hitta gränsvärden.
  3. 42FörkalkylutmaningGör blandade frågor som täcker de stora avsnitten i förkalkyl.
    • Lös problem från varje avsnitt utan ledtrådar.
    • Förklara varje steg.
    • Hitta det som behöver mer träning.