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कक्षा 9 गणित: बीजगणित 1

समीकरण और असमिकाएँ हल करो, रैखिक और घातांकी फलनों के आलेख बनाओ, बहुपदों का गुणनखंड करो, और द्विघात समीकरण हल करो।

पाठ क्रम से करो, व्यंजकों से लेकर खुद सवाल हल करने तक। अंत में तुम रैखिक समीकरण हल कर सकोगे, सूत्रों को फिर से व्यवस्थित कर सकोगे, और संयुक्त असमिकाएँ तथा निरपेक्ष मान की असमिकाएँ हल कर सकोगे। तुम फलन संकेत का उपयोग कर सकोगे, रैखिक समीकरण कई रूपों में लिख सकोगे, और समांतर श्रेणियों से मॉडल बना सकोगे। तुम समीकरणों और असमिकाओं के निकाय हल कर सकोगे और खंडशः फलनों के आलेख बना सकोगे। तुम परिमेय घातांक का उपयोग कर सकोगे, घातांकी वृद्धि और क्षय के मॉडल बना सकोगे, और रैखिक तथा घातांकी मॉडल की तुलना कर सकोगे। तुम बहुपद जोड़, गुणा और गुणनखंड कर सकोगे, द्विघात फलनों के आलेख बना सकोगे, और द्विघात समीकरण गुणनखंड, वर्ग पूरा करना, और द्विघात सूत्र से हल कर सकोगे। तुम मानक विचलन, दो-तरफ़ा तालिकाओं और अवशिष्टों से आँकड़ों का सार बता सकोगे।

इन पाठों का इस्तेमाल कैसे करो

  • जिस पाठ पर यह करो लिखा है, वहीं से शुरू करो। जब शीर्षक के नीचे की पंक्ति खुद कर सको, तब आगे बढ़ो।
  • पहले खेल खेलो। फिर प्रश्नोत्तरी करो। 8/10 सही पर पास। वर्कशीट कागज़ पर हैं। उत्तर नीचे हैं।
  • हर पाठ पिछले पाठ पर टिका है। अगर कोई पाठ कठिन हो, तो एक पाठ पीछे जाओ।
  • हर कदम लिखो। हर हल को मूल समीकरण में वापस रखकर जाँचो। आलेख कैलकुलेटर या मुफ़्त आलेख ऐप फलन देखने में मदद करता है, पर पहले आलेख हाथ से बनाओ।

हर पाठ में खेल, प्रश्नोत्तरी और वर्कशीट हैं।

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व्यंजक और समीकरण

  1. 1व्यंजक और गुणधर्मवास्तविक संख्याओं के गुणधर्मों से व्यंजक सरल करो।
    • क्रमविनिमेय, साहचर्य और वितरण गुणधर्म का उपयोग करो।
    • व्यंजक के पद, गुणनखंड और गुणांक के नाम बताओ।
    • संदर्भ में व्यंजक के हिस्से समझो, जैसे P(1 + r)^n।
  2. 2रैखिक समीकरण हल करोकई चरणों वाले रैखिक समीकरण हल करो और हर चरण का कारण बताओ।
    • भिन्नों वाले और दोनों ओर चर वाले समीकरण हल करो।
    • हर चरण को एक गुणधर्म से समझाओ।
    • ऐसे समीकरण पहचानो जिनका कोई हल न हो या हर वास्तविक संख्या हल हो।
  3. 3अक्षर समीकरण और सूत्रसूत्र और अक्षर समीकरण को फिर से व्यवस्थित करके दूसरा चर निकालो।
    • A = 1/2 bh को h के लिए हल करो।
    • d = rt को t के लिए हल करो।
    • 2x + 3y = 6 को y के लिए हल करो।
  4. 4इकाइयाँ और मॉडलइकाइयों से मॉडल बनाओ और उसकी जाँच करो।
    • विमीय विश्लेषण से इकाइयाँ बदलो।
    • सटीकता का समझदार स्तर चुनो।
    • किसी वास्तविक स्थिति के लिए समीकरण लिखो।

असमिकाएँ

  1. 5रैखिक असमिकाएँ हल करोकई चरणों वाली रैखिक असमिकाएँ हल करो और उनका आलेख बनाओ।
    • ऋण से गुणा या भाग करते समय चिह्न पलटो।
    • हल को संख्या रेखा पर दिखाओ।
    • हल को अंतराल संकेत में लिखो।
  2. 6संयुक्त असमिकाएँ«और» तथा «या» वाली संयुक्त असमिकाएँ हल करो और उनका आलेख बनाओ।
    • −3 < 2x + 1 ≤ 7 हल करो।
    • x < −2 या x > 5 हल करो।
    • प्रतिच्छेद या सम्मिलन का आलेख बनाओ।
  3. 7निरपेक्ष मान के समीकरण और असमिकाएँनिरपेक्ष मान वाले समीकरण और असमिकाएँ हल करो।
    • |x − 3| = 5 को दो समीकरणों की तरह हल करो।
    • |x + 1| < 4 को «और» असमिका की तरह हल करो।
    • जानो कि हल कब नहीं होता।

रैखिक फलन

  1. 8फलन संकेत, प्रांत और परिसरफलन संकेत f(x) का उपयोग करो और फलन का प्रांत तथा परिसर निकालो।
    • f(3) निकालो और f(x) = 7 हल करो।
    • आलेख से प्रांत और परिसर निकालो।
    • वास्तविक स्थिति के लिए समझदार प्रांत चुनो।
  2. 9परिवर्तन दरएक अंतराल पर औसत परिवर्तन दर निकालो और समझाओ।
    • तालिका, आलेख या समीकरण से परिवर्तन दर निकालो।
    • जानो कि रैखिक फलन की परिवर्तन दर स्थिर होती है।
    • दर की इकाइयाँ समझाओ, जैसे डॉलर प्रति घंटा।
  3. 10रैखिक समीकरणों के रूपरैखिक समीकरण ढाल-अंतःखंड, बिंदु-ढाल और मानक रूप में लिखो।
    • एक बिंदु और ढाल से y − y₁ = m(x − x₁) लिखो।
    • एक रूप से दूसरे रूप में बदलो।
    • मानक रूप से अंतःखंड निकालो।
  4. 11समांतर और लंब रेखाएँसमांतर और लंब रेखाओं के समीकरण लिखो।
    • जानो कि समांतर रेखाओं की ढाल बराबर होती है।
    • जानो कि लंब ढालों का गुणनफल −1 होता है।
    • एक बिंदु से दूसरी रेखा के समांतर या लंब रेखा लिखो।
  5. 12समांतर श्रेणियाँसमांतर श्रेणियों को रैखिक फलनों की तरह लिखो।
    • सार्व अंतर निकालो।
    • स्पष्ट नियम aₙ = a₁ + (n − 1)d लिखो।
    • पुनरावर्ती नियम लिखो।

समीकरणों और असमिकाओं के निकाय

  1. 13रैखिक समीकरणों के निकाय हल करोरैखिक समीकरणों का निकाय आलेख, प्रतिस्थापन या विलोपन से हल करो।
    • सबसे तेज़ तरीका चुनो।
    • समझाओ कि विलोपन क्यों काम करता है।
    • ऐसे निकाय पहचानो जिनका कोई हल न हो या अनंत हल हों।
  2. 14रैखिक असमिकाओं के निकायरैखिक असमिकाओं के निकाय का आलेख बनाओ और हल क्षेत्र निकालो।
    • y ≤ 2x + 1 को ठोस रेखा और छायांकन के साथ बनाओ।
    • निकालो कि छायांकित क्षेत्र कहाँ एक-दूसरे पर आते हैं।
    • जाँच के लिए एक बिंदु आज़माओ।
  3. 15निकायों से मॉडलवास्तविक सवालों के लिए निकाय लिखो और हल करो।
    • मिश्रण और लागत तुलना के सवाल हल करो।
    • संभव हल निकालने के लिए प्रतिबंधों का उपयोग करो।
    • हल को संदर्भ में समझाओ।

निरपेक्ष मान और खंडशः फलन

  1. 16निरपेक्ष मान फलननिरपेक्ष मान फलनों और उनके रूपांतरणों के आलेख बनाओ।
    • y = |x| को V आकार में बनाओ।
    • y = a|x − h| + k का आलेख बनाओ।
    • शीर्ष और खुलने की दिशा निकालो।
  2. 17खंडशः और सोपान फलनखंडशः और सोपान फलनों का आलेख बनाओ और उनका मान निकालो।
    • दिए गए मान पर खंडशः फलन का मान निकालो।
    • हर टुकड़े का आलेख उसके अपने प्रांत पर बनाओ।
    • पार्किंग शुल्क को सोपान फलन से मॉडल करो।

घातांक और घातांकी फलन

  1. 18घातांक के गुण और परिमेय घातांकपूर्णांक और परिमेय घातांक वाले व्यंजक सरल करो।
    • घातांक के सभी नियम एक साथ उपयोग करो।
    • x^(1/2) को √x और 8^(2/3) को 4 लिखो।
    • करणी को परिमेय घातांक से फिर लिखो।
  2. 19घातांकी वृद्धि और क्षयघातांकी वृद्धि और क्षय के फलन लिखो और उनके आलेख बनाओ।
    • वृद्धि के लिए y = a(1 + r)^t लिखो।
    • क्षय के लिए y = a(1 − r)^t लिखो।
    • चक्रवृद्धि ब्याज और जनसंख्या के सवाल हल करो।
  3. 20गुणोत्तर श्रेणियाँगुणोत्तर श्रेणियों को घातांकी फलनों की तरह लिखो।
    • सार्व अनुपात निकालो।
    • aₙ = a₁ × r^(n − 1) लिखो।
    • पुनरावर्ती नियम लिखो।
  4. 21रैखिक और घातांकी मॉडलतय करो कि स्थिति रैखिक है या घातांकी, और उनकी वृद्धि की तुलना करो।
    • बराबर अंतर या बराबर अनुपात जाँचो।
    • जानो कि घातांकी वृद्धि अंत में रैखिक वृद्धि से आगे निकल जाती है।
    • तालिका से मॉडल बनाओ।

बहुपद और गुणनखंड

  1. 22बहुपद जोड़ो और घटाओबहुपद जोड़ो और घटाओ।
    • घात और अग्रणी गुणांक का नाम बताओ।
    • बहुपद को मानक रूप में लिखो।
    • जोड़ने और घटाने के लिए समान पद मिलाओ।
  2. 23बहुपद गुणा करोबहुपद गुणा करो।
    • एकपद को बहुपद से गुणा करो।
    • क्षेत्र मॉडल से दो द्विपद गुणा करो।
    • द्विपद को त्रिपद से गुणा करो।
  3. 24विशेष गुणनफलद्विपद के वर्ग और वर्गों के अंतर के लिए विशेष गुणनफल के पैटर्न उपयोग करो।
    • (a + b)² = a² + 2ab + b² उपयोग करो।
    • (a + b)(a − b) = a² − b² उपयोग करो।
    • पैटर्न से जल्दी गुणा करो।
  4. 25महत्तम उभयनिष्ठ गुणनखंड और समूहन से गुणनखंड करोमहत्तम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालकर गुणनखंड करो और समूहन से गुणनखंड करो।
    • 6x³ + 9x² को 3x²(2x + 3) के रूप में गुणनखंड करो।
    • चार पदों को समूहन से गुणनखंड करो।
    • गुणा करके जाँचो।
  5. 26त्रिपद का गुणनखंड करोax² + bx + c रूप के त्रिपद का गुणनखंड करो।
    • x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) का गुणनखंड करो।
    • जब a ≠ 1 हो, तब गुणनखंड करो।
    • ऐसा त्रिपद पहचानो जिसका गुणनखंड न हो।
  6. 27विशेष स्थितियों का गुणनखंड करोविशेष स्थितियों का गुणनखंड करो: पूर्ण वर्ग त्रिपद और वर्गों का अंतर।
    • x² − 49 का गुणनखंड करो।
    • 4x² + 12x + 9 का गुणनखंड करो।
    • कई चरणों में पूरा गुणनखंड करो।

द्विघात फलन और समीकरण

  1. 28द्विघात फलनों के आलेख बनाओद्विघात फलन का आलेख बनाओ और उसके मुख्य लक्षण निकालो।
    • शीर्ष, सममिति अक्ष और अंतःखंड निकालो।
    • शीर्ष निकालने के लिए x = −b/(2a) उपयोग करो।
    • जानो कि परवलय कब ऊपर या नीचे खुलता है।
  2. 29शीर्ष रूप और रूपांतरणशीर्ष रूप y = a(x − h)² + k का आलेख बनाओ और रूपांतरण बताओ।
    • शीर्ष (h, k) पढ़ो।
    • खींचाव, सिकुड़न, परावर्तन और विस्थापन बताओ।
    • आलेख से द्विघात लिखो।
  3. 30गुणनखंड से द्विघात हल करोगुणनखंड करके द्विघात समीकरण हल करो।
    • शून्य गुणनफल गुणधर्म का उपयोग करो।
    • पहले समीकरण को 0 के बराबर रखो।
    • हलों को x-अंतःखंड से जोड़ो।
  4. 31वर्गमूल से द्विघात हल करोवर्गमूल लेकर द्विघात समीकरण हल करो।
    • x² = 25 हल करके x = ±5 पाओ।
    • (x − 3)² = 16 हल करो।
    • उत्तरों में वर्गमूल सरल करो।
  5. 32वर्ग पूरा करनावर्ग पूरा करके द्विघात हल करो और उसका शीर्ष निकालो।
    • दोनों ओर (b/2)² जोड़ो।
    • x² + 6x − 7 = 0 हल करो।
    • मानक रूप को शीर्ष रूप में लिखो।
  6. 33द्विघात सूत्रद्विघात सूत्र से कोई भी द्विघात समीकरण हल करो।
    • x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) उपयोग करो।
    • विविक्तकर से वास्तविक हलों की संख्या गिनो।
    • दिए समीकरण के लिए सबसे अच्छा तरीका चुनो।
  7. 34द्विघात मॉडलप्रक्षेप्य और क्षेत्रफल के मॉडल के लिए द्विघात फलन उपयोग करो।
    • फेंकी गई गेंद की अधिकतम ऊँचाई निकालो।
    • निकालो कि वह ज़मीन पर कब गिरती है।
    • वे माप निकालो जिनसे अधिकतम क्षेत्रफल मिले।
  8. 35रैखिक-द्विघात निकायएक रेखा और एक परवलय वाले रैखिक-द्विघात निकाय को हल करो।
    • प्रतिस्थापन से हल करो।
    • जानो कि 0, 1 या 2 हल हो सकते हैं।
    • आलेख से जाँचो।

सांख्यिकी

  1. 36आँकड़ों का बंटन और मानक विचलनआकार, केंद्र, फैलाव और मानक विचलन से आँकड़ों के बंटन की तुलना करो।
    • माध्य और मानक विचलन निकालो।
    • तिरछे आँकड़ों के लिए माध्यिका और अंतर्चतुर्थक परिसर चुनो।
    • बाहरी मानों का प्रभाव समझाओ।
  2. 37दो-तरफ़ा तालिकाएँ और सापेक्ष बारंबारतादो-तरफ़ा तालिकाओं में संयुक्त, सीमांत और सप्रतिबंध सापेक्ष बारंबारता निकालो।
    • दो-तरफ़ा बारंबारता तालिका बनाओ।
    • पंक्ति और स्तंभ के अनुसार सापेक्ष बारंबारता निकालो।
    • संभव संबंध बताओ।
  3. 38सहसंबंध और अवशिष्टआँकड़ों पर रेखा मिलाओ, सहसंबंध निकालो, और अवशिष्ट पढ़ो।
    • तकनीक से सबसे अच्छी मिलान रेखा निकालो।
    • सहसंबंध गुणांक r का अर्थ बताओ।
    • मिलान जाँचने के लिए अवशिष्ट आलेख उपयोग करो, और जानो कि सहसंबंध कारण नहीं है।

दोहराई, मिले-जुले अभ्यास और चुनौतियाँ

  1. 39रैखिक और घातांकी दोहराईरैखिक और घातांकी दोहराई के मिले-जुले सवाल समीकरण, असमिका, निकाय और घातांकी मॉडल से हल करो।
    • समीकरण और असमिकाएँ हल करो।
    • रैखिक फलन और निकाय लिखो और उनके आलेख बनाओ।
    • घातांकी मॉडल बनाओ।
  2. 40बहुपद और द्विघात दोहराईबहुपद, द्विघात और आँकड़ों वाले मिले-जुले सवाल हल करो।
    • बहुपद गुणा करो और गुणनखंड करो।
    • सबसे अच्छे तरीके से द्विघात हल करो।
    • आँकड़ों का सार बताओ और मॉडल बनाओ।
  3. 41बीजगणित 1 की चुनौतीबीजगणित 1 की चुनौती के मिले-जुले प्रश्न पूरे करो, जो मुख्य इकाइयों पर हैं।
    • हर इकाई के सवाल बिना संकेत के हल करो।
    • स्थिति के लिए सही मॉडल चुनो।
    • वे जगहें निकालो जहाँ और अभ्यास चाहिए।