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कक्षा 8 गणित

रैखिक समीकरण और निकाय हल करो, फलन समझो, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करो, और रूपांतरण लगाओ।

पाठ क्रम से करो, वास्तविक संख्याओं से लेकर अकेले समस्या हल करने तक। अंत में तुम परिमेय संख्याओं को अपरिमेय से अलग बता सकोगे, अपरिमेय संख्याओं का अनुमान लगा सकोगे, और घातांक के नियम तथा वैज्ञानिक संकेतन इस्तेमाल कर सकोगे। तुम दोनों पक्षों में चर वाले रैखिक समीकरण हल कर सकोगे, और जान सकोगे कि कब एक हल है, कोई हल नहीं, या अनंत हल हैं। तुम ढाल निकाल सकोगे, y = mx + b का आलेख बना सकोगे, और रैखिक फलनों को अरैखिक से अलग बता सकोगे। तुम दो समीकरणों के निकाय को आलेख, प्रतिस्थापन और विलोपन से हल कर सकोगे। तुम आकृतियों का स्थानांतरण, परावर्तन, घुमाव और विस्तारण कर सकोगे, कोणों के तथ्य और पाइथागोरस प्रमेय इस्तेमाल कर सकोगे, बेलन, शंकु और गोले का आयतन निकाल सकोगे, और प्रकीर्ण आलेख पर आसंजन रेखा बना सकोगे।

इन पाठों का इस्तेमाल कैसे करो

  • जिस पाठ पर यह करो लिखा है, वहीं से शुरू करो। जब शीर्षक के नीचे की पंक्ति खुद कर सको, तब आगे बढ़ो।
  • पहले खेल खेलो। फिर प्रश्नोत्तरी करो। 8/10 सही पर पास। वर्कशीट कागज़ पर हैं। उत्तर नीचे हैं।
  • हर पाठ पिछले पाठ पर बनता है। अगर कोई पाठ कठिन हो, तो एक पाठ पीछे जाओ।
  • ढाल, निकाय और रूपांतरण के लिए ग्रिड वाला कागज़ इस्तेमाल करो, और घुमाव और परावर्तन जाँचने के लिए पारदर्शी कागज़। कैलकुलेटर वर्गमूल और वैज्ञानिक संकेतन में मदद करता है। हर हल को वापस रखकर जाँचो।

हर पाठ में खेल, प्रश्नोत्तरी और वर्कशीट हैं।

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वास्तविक संख्याएँ

  1. 1परिमेय और अपरिमेय संख्याएँपरिमेय संख्याओं को अपरिमेय संख्याओं से अलग बताओ।
    • जानो कि परिमेय संख्याएँ भिन्न के रूप में लिखी जा सकती हैं।
    • जानो कि √2 और π अपरिमेय हैं।
    • संख्याओं को वास्तविक संख्याओं के समूह में छाँटो।
  2. 2आवर्ती दशमलव से भिन्नआवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलो।
    • 0.444… को 4/9 में बदलो।
    • 0.272727… को 27/99 = 3/11 में बदलो।
    • तरीका एक समीकरण से समझाओ।
  3. 3अपरिमेय संख्याओं का अनुमानअपरिमेय संख्या का अनुमान लगाओ और उसे संख्या रेखा पर रखो।
    • दिखाओ कि √2, 1.4 और 1.5 के बीच है।
    • √20 को 4 और 5 के बीच रखो।
    • अपरिमेय संख्याओं की तुलना करो।
  4. 4वर्गमूल और घनमूलवर्गमूल और घनमूल हल करो: x² = p और x³ = p।
    • 225 तक पूर्ण वर्ग और 1,000 तक घन जानो।
    • x² = 49 हल करके x = ±7 पाओ।
    • x³ = 64 हल करो।

घातांक और वैज्ञानिक संकेतन

  1. 5घातांक के नियमघातांक के नियम से एक ही आधार की घातों को गुणा, भाग और घात करो।
    • a^m × a^n = a^(m+n) इस्तेमाल करो।
    • a^m ÷ a^n = a^(m−n) इस्तेमाल करो।
    • (a^m)^n = a^(mn) इस्तेमाल करो।
  2. 6शून्य और ऋणात्मक घातांकशून्य और ऋणात्मक घातांक वाले व्यंजक का मान निकालो।
    • समझाओ कि a⁰ = 1 क्यों है।
    • 3⁻² को 1/9 लिखो।
    • 3² × 3⁻⁵ = 1/27 सरल करो।
  3. 7वैज्ञानिक संकेतनबहुत बड़ी और बहुत छोटी संख्याएँ वैज्ञानिक संकेतन में लिखो।
    • 3,400,000 को 3.4 × 10⁶ लिखो।
    • 0.00072 को 7.2 × 10⁻⁴ लिखो।
    • वैज्ञानिक संकेतन की संख्याओं की तुलना करो।
  4. 8वैज्ञानिक संकेतन की संक्रियाएँवैज्ञानिक संकेतन में जोड़, घटाव, गुणा और भाग करो।
    • (3 × 10⁴)(2 × 10⁵) का गुणा करो।
    • भाग करो और उत्तर फिर वैज्ञानिक संकेतन में लिखो।
    • उचित इकाई चुनो, जैसे मिलीमीटर या किलोमीटर।

रैखिक समीकरण

  1. 9दोनों पक्षों में चरदोनों पक्षों में चर वाले रैखिक समीकरण हल करो।
    • 5x + 3 = 2x + 18 हल करो।
    • चर वाले पदों को एक पक्ष में ले जाओ।
    • उत्तर रखकर जाँचो।
  2. 10कई चरणों वाले समीकरणकई चरणों वाले समीकरण हल करो, जिनमें वितरण गुण और समान पद चाहिए।
    • 3(x − 4) + 2 = 2x − 5 हल करो।
    • भिन्न और दशमलव वाले समीकरण हल करो।
    • किसी समस्या के लिए समीकरण लिखो और हल करो।
  3. 11एक, कोई नहीं, या अनंत हलबताओ कि समीकरण का एक हल है, कोई हल नहीं, या अनंत हल हैं।
    • एक हल के लिए x = a पाओ।
    • कोई हल नहीं के लिए a = b पाओ, जहाँ a ≠ b।
    • अनंत हल के लिए a = a पाओ।

ढाल और रैखिक संबंध

  1. 12समानुपाती संबंधों की तुलनाअलग-अलग तरीकों से दिखे दो समानुपाती संबंधों की तुलना करो।
    • आलेख से इकाई दर को ढाल की तरह पढ़ो।
    • सारणी की तुलना समीकरण से करो।
    • तय करो कौन तेज़ है या सस्ता।
  2. 13ढालआलेख या दो बिंदुओं से रेखा की ढाल निकालो।
    • ऊँचाई बटा आगे बढ़ना इस्तेमाल करो।
    • समरूप त्रिभुजों से दिखाओ कि रेखा पर ढाल हर जगह एक जैसी है।
    • धनात्मक, ऋणात्मक, शून्य और अपरिभाषित ढाल जानो।
  3. 14ढाल-अंतःखंड रूपरेखा का समीकरण ढाल-अंतःखंड रूप में लिखो: y = mx + b।
    • आलेख से m और b निकालो।
    • ढाल और एक बिंदु से समीकरण लिखो।
    • दो बिंदुओं से समीकरण लिखो।
  4. 15रैखिक समीकरणों का आलेखसमीकरण से रेखा का आलेख बनाओ।
    • b से शुरू करो, फिर ढाल इस्तेमाल करो।
    • मानों की सारणी से आलेख बनाओ।
    • क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं का आलेख बनाओ।

फलन

  1. 16फलन क्या हैबताओ कि कोई संबंध फलन है या नहीं।
    • जानो कि हर मान का ठीक एक परिणाम होता है।
    • सारणी, मिलान और आलेख जाँचो।
    • खड़ी रेखा की जाँच इस्तेमाल करो।
  2. 17फलनों की तुलनाअलग-अलग तरीकों से दिखे दो फलनों की तुलना करो।
    • परिवर्तन की दरों की तुलना करो।
    • शुरुआती मानों की तुलना करो।
    • सारणी की तुलना समीकरण या आलेख से करो।
  3. 18रैखिक और अरैखिक फलनरैखिक फलनों को अरैखिक फलनों से अलग बताओ।
    • सारणी में परिवर्तन की स्थिर दर देखो।
    • जानो कि y = x² रैखिक नहीं है।
    • समीकरणों को आलेखों से मिलाओ।
  4. 19रैखिक फलन से मॉडलकिसी वास्तविक स्थिति का मॉडल रैखिक फलन से बनाओ।
    • परिवर्तन की दर और शुरुआती मान निकालो।
    • फ़ोन योजना की कीमत को C = 10 + 0.5m लिखो।
    • समझाओ कि ढाल और अंतःखंड का क्या अर्थ है।
  5. 20आलेख का वर्णनआलेख का वर्णन करो: वह कैसे बढ़ता है, घटता है, या वही रहता है।
    • किसी यात्रा के आलेख का वर्णन करो।
    • कहानी से आलेख का खाका बनाओ।
    • देखो वह कहाँ रैखिक है और कहाँ नहीं।

समीकरण निकाय

  1. 21आलेख से निकाय हल करोदो रैखिक समीकरणों के निकाय को आलेख से हल करो।
    • दोनों रेखाओं का आलेख बनाओ।
    • वह बिंदु निकालो जहाँ वे कटती हैं।
    • जानो कि समांतर रेखाओं का कोई हल नहीं, और वही रेखा के अनंत हल हैं।
  2. 22प्रतिस्थापन से निकाय हल करोनिकाय को प्रतिस्थापन से हल करो।
    • एक समीकरण को एक चर के लिए हल करो।
    • उसे दूसरे समीकरण में रखो।
    • हल को दोनों समीकरणों में जाँचो।
  3. 23विलोपन से निकाय हल करोनिकाय को विलोपन से हल करो, समीकरणों को जोड़कर या घटाकर।
    • समीकरण जोड़कर एक चर हटाओ।
    • ज़रूरत हो तो पहले गुणा करो।
    • निकाय के लिए सबसे अच्छा तरीका चुनो।
  4. 24निकाय की शब्द समस्याएँशब्द समस्या के लिए निकाय लिखो और हल करो।
    • दो चर तय करो।
    • कहानी से दो समीकरण लिखो।
    • हल को कहानी में समझाओ।

रूपांतरण

  1. 25स्थानांतरणआकृति का स्थानांतरण करो और चाल को निर्देशांकों से बताओ।
    • ग्रिड पर आकृति का स्थानांतरण करो।
    • नियम (x, y) → (x + 3, y − 2) लिखो।
    • जानो कि लंबाइयाँ और कोण वही रहते हैं।
  2. 26परावर्तनआकृति का परावर्तन एक अक्ष पर करो।
    • x-अक्ष पर परावर्तन: (x, y) → (x, −y)।
    • y-अक्ष पर परावर्तन: (x, y) → (−x, y)।
    • परावर्तन की रेखा निकालो।
  3. 27घुमावआकृति का घुमाव मूल बिंदु के चारों ओर 90°, 180° या 270° करो।
    • घुमाने के लिए पारदर्शी कागज़ इस्तेमाल करो।
    • 90° वामावर्त के लिए (x, y) → (−y, x) इस्तेमाल करो।
    • घुमाव को केंद्र, कोण और दिशा से बताओ।
  4. 28विस्तारणविस्तारण करो: पैमाना गुणक से आकृति को बड़ा या छोटा करो।
    • (x, y) → (kx, ky) इस्तेमाल करो।
    • जानो कि कोण वही रहते हैं और लंबाइयाँ पैमाने से बदलती हैं।
    • दो आकृतियों से पैमाना गुणक निकालो।
  5. 29सर्वांगसमता और समरूपतारूपांतरण से दिखाओ कि आकृतियाँ सर्वांगसम हैं या समरूप।
    • जानो कि सर्वांगसम आकृतियाँ दृढ़ गतियों से मेल खाती हैं।
    • जानो कि समरूप आकृतियों को विस्तारण भी चाहिए।
    • गतियों की वह कड़ी बताओ जो एक आकृति को दूसरी पर ले जाए।

कोण और पाइथागोरस प्रमेय

  1. 30त्रिभुज के कोणत्रिभुज के कोणों का योग और बाह्य कोण इस्तेमाल करो।
    • दिखाओ कि त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।
    • जानो कि बाह्य कोण दो दूर के अंतःकोणों के बराबर होता है।
    • अज्ञात कोण समीकरणों से निकालो।
  2. 31समांतर रेखाएँ और तिर्यकजब तिर्यक समांतर रेखाओं को काटे, तब बने कोण निकालो।
    • संगत, एकांतर अंतः और एकांतर बाह्य कोणों के नाम बताओ।
    • जानो कौन से जोड़े बराबर हैं और कौन से 180° बनाते हैं।
    • एक कोण से सभी आठ कोण निकालो।
  3. 32कोण-कोण समरूपतादो कोणों से कोण-कोण समरूपता दिखाओ, कि त्रिभुज समरूप हैं।
    • जानो कि दो मेल खाते कोण त्रिभुजों को समरूप बनाते हैं।
    • अनुपात से छूटी भुजा निकालो।
    • छाया से पेड़ की ऊँचाई निकालो।
  4. 33पाइथागोरस प्रमेयपाइथागोरस प्रमेय, a² + b² = c², से समकोण त्रिभुज की छूटी भुजा निकालो।
    • वर्गों वाली एक उपपत्ति समझाओ।
    • कर्ण निकालो।
    • छूटी लंब भुजा निकालो।
  5. 34पाइथागोरस प्रमेय के उपयोगपाइथागोरस प्रमेय को वास्तविक समस्याओं और 3D में इस्तेमाल करो।
    • दीवार से लगी सीढ़ी की लंबाई निकालो।
    • डिब्बे का विकर्ण निकालो।
    • विलोम से जाँचो कि त्रिभुज समकोण है या नहीं।
  6. 35दो बिंदुओं के बीच दूरीनिर्देशांक तल पर दो बिंदुओं के बीच दूरी निकालो।
    • बिंदुओं के बीच एक समकोण त्रिभुज बनाओ।
    • पाइथागोरस प्रमेय इस्तेमाल करो।
    • ग्रिड पर आकृति का परिमाप निकालो।

आयतन

  1. 36बेलन का आयतनबेलन का आयतन निकालो।
    • V = πr²h इस्तेमाल करो।
    • छूटी ऊँचाई या त्रिज्या निकालो।
    • जीवन की समस्याएँ हल करो।
  2. 37शंकु का आयतनशंकु का आयतन निकालो।
    • देखो कि शंकु में बेलन का 1/3 भाग समाता है।
    • V = 1/3 πr²h इस्तेमाल करो।
    • जीवन की समस्याएँ हल करो।
  3. 38गोले का आयतनगोले का आयतन निकालो।
    • V = 4/3 πr³ इस्तेमाल करो।
    • अर्धगोले का आयतन निकालो।
    • एक ही आकार के गोले, शंकु और बेलन की तुलना करो।

दो चरों के आँकड़े

  1. 39प्रकीर्ण आलेखप्रकीर्ण आलेख बनाओ और पैटर्न बताओ।
    • जोड़ी वाले आँकड़े अंकित करो।
    • धनात्मक, ऋणात्मक, या कोई संबंध नहीं, यह बताओ।
    • गुच्छे और बाहरी बिंदु निकालो।
  2. 40आसंजन रेखाआसंजन रेखा खींचो और उसके समीकरण से अनुमान लगाओ।
    • अधिकतर बिंदुओं के पास एक रेखा खींचो।
    • उसका समीकरण लिखो।
    • समझाओ कि ढाल और अंतःखंड का क्या अर्थ है।
  3. 41दो-तरफ़ा सारणीदो-तरफ़ा सारणी बनाओ और पढ़ो।
    • सर्वेक्षण के आँकड़ों को पंक्तियों और स्तंभों में रखो।
    • सापेक्ष बारंबारता निकालो।
    • तय करो कि दो चर जुड़े हैं या नहीं।

दोहराव, मिश्रित अभ्यास और चुनौतियाँ

  1. 42समीकरण और फलन का दोहरावसमीकरण और फलन का दोहराव करो: घातांक और निकाय की मिश्रित समस्याएँ।
    • घातांक के नियम और वैज्ञानिक संकेतन इस्तेमाल करो।
    • रैखिक समीकरण और निकाय हल करो।
    • रैखिक फलन लिखो और उनकी तुलना करो।
  2. 43ज्यामिति और आँकड़ों का दोहरावज्यामिति और आँकड़ों का दोहराव करो: रूपांतरण, कोण, पाइथागोरस प्रमेय और आयतन।
    • रूपांतरण का वर्णन करो।
    • कोणों के तथ्य और पाइथागोरस प्रमेय इस्तेमाल करो।
    • आयतन निकालो और आँकड़ों पर आसंजन रेखा बनाओ।
  3. 44कक्षा 8 गणित की चुनौतीकक्षा 8 गणित की चुनौती पूरी करो, बड़ी इकाइयों के मिश्रित प्रश्नों से।
    • बिना बताए एक तरीका चुनो।
    • कई चरणों वाली समस्याएँ हल करो।
    • वे हिस्से निकालो जिनमें और अभ्यास चाहिए।