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कक्षा 12 गणित: पूर्व-कलन

फलनों का विश्लेषण करो, त्रिकोणमिति में माहिर बनो, सदिश, ध्रुवीय निर्देशांक, शंकु परिच्छेद और आव्यूह के साथ काम करो, और सीमाओं की पहली झलक लो।

पाठ क्रम से करो, फलनों के विश्लेषण से लेकर खुद सवाल हल करने तक। अंत में तुम फलनों का विश्लेषण और संयोजन कर सकोगे, बहुपद और परिमेय असमिकाएँ हल कर सकोगे, और चरघातांकी, लघुगणकीय और लॉजिस्टिक फलनों से मॉडल बना सकोगे। तुम सभी छह त्रिकोणमितीय फलन और उनके प्रतिलोम का आलेख बना सकोगे, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ सिद्ध कर सकोगे, और त्रिकोणमितीय समीकरण हल कर सकोगे। तुम कोई भी त्रिभुज हल कर सकोगे और बल तथा गति के लिए सदिश इस्तेमाल कर सकोगे। तुम ध्रुवीय निर्देशांक में आलेख बना सकोगे, सम्मिश्र संख्याओं को ध्रुवीय रूप में लिख सकोगे, और द म्वावर प्रमेय इस्तेमाल कर सकोगे। तुम प्राचलिक समीकरण और शंकु परिच्छेद का आलेख बना सकोगे और आव्यूह से निकाय हल कर सकोगे। तुम आगमन से कथन सिद्ध कर सकोगे और सीमाएँ निकाल सकोगे, जो कलन का पहला विचार है।

इन पाठों का इस्तेमाल कैसे करो

  • जिस पाठ पर यह करो लिखा है, वहीं से शुरू करो। जब शीर्षक के नीचे की पंक्ति खुद कर सको, तब आगे बढ़ो।
  • पहले खेल खेलो। फिर प्रश्नोत्तरी करो। 8/10 सही पर पास। वर्कशीट कागज़ पर हैं। उत्तर नीचे हैं।
  • हर पाठ पिछले पाठ पर टिका है। अगर कोई पाठ कठिन हो, तो एक पाठ पीछे जाओ।
  • यह पाठ्यक्रम तुम्हें कलन के लिए तैयार करता है। मात्रक वृत्त याद करो। सर्वसमिकाएँ सीखते हुए उनकी सूची रखो। हर आलेख हाथ से बनाओ, फिर आलेख ऐप से जाँचो।

हर पाठ में खेल, प्रश्नोत्तरी और वर्कशीट हैं।

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फलन, फिर से

  1. 1फलन के व्यवहार का विश्लेषण करोफलन के व्यवहार का विश्लेषण करो: कहाँ बढ़ता है, कहाँ घटता है, और चरम मान कहाँ पहुँचता है।
    • वृद्धि और ह्रास के अंतराल निकालो।
    • सापेक्ष और निरपेक्ष चरम मान निकालो।
    • एक अंतराल पर औसत परिवर्तन दर निकालो।
  2. 2फलनों का संयोजन और वियोजन करोपुराने फलनों का संयोजन करके नए बनाओ, और एक फलन का वियोजन संयोजन के रूप में करो।
    • फलनों का संयोजन करो और प्रांत निकालो।
    • h(x) = √(x² + 1) को f(g(x)) के रूप में लिखो।
    • किसी स्थिति का मॉडल संयुक्त फलन से बनाओ।
  3. 3प्रतिलोम और प्रांत के प्रतिबंधप्रांत पर प्रतिबंध लगाओ ताकि फलन का प्रतिलोम हो।
    • क्षैतिज रेखा परीक्षण इस्तेमाल करो।
    • x² के प्रांत पर प्रतिबंध लगाकर उसका प्रतिलोम निकालो।
    • प्रतिलोम के मान तालिका या आलेख से पढ़ो।

बहुपद और परिमेय फलन

  1. 4बहुपद का व्यवहार और असमिकाएँशून्यकों और चिह्न सारणी से बहुपद असमिकाएँ हल करो।
    • सभी शून्यक और उनकी बहुकता निकालो।
    • चिह्न सारणी से p(x) ≥ 0 हल करो।
    • आयतन और लाभ का मॉडल बहुपदों से बनाओ।
  2. 5परिमेय फलन और तिर्यक अनंतस्पर्शीपरिमेय फलनों का आलेख बनाओ, तिर्यक अनंतस्पर्शी सहित।
    • ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज और तिर्यक अनंतस्पर्शी निकालो।
    • छिद्र और अंतःखंड निकालो।
    • अंत्य व्यवहार बताओ।
  3. 6परिमेय असमिकाएँपरिमेय असमिकाएँ हल करो।
    • शून्यक और अपरिभाषित बिंदु निकालो।
    • चिह्न सारणी इस्तेमाल करो।
    • हल अंतराल संकेतन में लिखो।

चरघातांकी, लघुगणकीय और लॉजिस्टिक मॉडल

  1. 7चरघातांकी और लघुगणकीय फलनचरघातांकी और लघुगणकीय फलनों का आलेख बनाओ, समीकरण हल करो, और मॉडल बनाओ।
    • चरघातांकी और लघुगणकीय फलनों के रूपांतरण का आलेख बनाओ।
    • लघुगणक वाले समीकरण हल करो।
    • चक्रवृद्धि और संतत वृद्धि का मॉडल बनाओ।
  2. 8लॉजिस्टिक वृद्धिऐसी वृद्धि का मॉडल लॉजिस्टिक फलन से बनाओ जो समतल हो जाती है।
    • वहन क्षमता पढ़ो।
    • सबसे तेज़ वृद्धि का बिंदु निकालो।
    • लॉजिस्टिक और चरघातांकी वृद्धि की तुलना करो।
  3. 9अर्ध-लघुगणक आलेख और आँकड़ों को सीधा करनालघुगणक और अर्ध-लघुगणक आलेख से चरघातांकी आँकड़ों को सीधी रेखा बनाओ।
    • log y को x के सामने आलेखित करो।
    • जानो कि चरघातांकी आँकड़े अर्ध-लघुगणक आलेख पर रैखिक दिखते हैं।
    • रेखा से चरघातांकी मॉडल निकालो।

त्रिकोणमितीय फलन

  1. 10रेडियन और मात्रक वृत्तमात्रक वृत्त पर रेडियन में किसी भी कोण के सभी छह त्रिकोणमितीय मान निकालो।
    • अंश और रेडियन के बीच बदलो।
    • विशेष कोणों पर यथार्थ मान निकालो।
    • चाप की लंबाई और कोणीय चाल निकालो।
  2. 11सभी छह त्रिकोणमितीय फलनों का आलेख बनाओसभी छह त्रिकोणमितीय फलनों का आलेख बनाओ: ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और उनके व्युत्क्रम।
    • अनंतस्पर्शियों के साथ स्पर्शज्या और कोस्पर्शज्या का आलेख बनाओ।
    • कोज्या और ज्या से छेदज्या और कोछेदज्या का आलेख बनाओ।
    • आवर्तकाल, आयाम और विस्थापन निकालो।
  3. 12प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनप्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का मान निकालो और आलेख बनाओ: ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या।
    • हर फलन का प्रतिबंधित प्रांत जानो।
    • arcsin(1/2) जैसे यथार्थ मान निकालो।
    • cos(arctan x) जैसे संयोजन का मान निकालो।
  4. 13ज्यावक्रीय मॉडलआँकड़ों से ज्यावक्रीय मॉडल बनाओ और उनसे अनुमान लगाओ।
    • दिन के उजाले के घंटों और ध्वनि तरंगों का मॉडल बनाओ।
    • तरंग की आवृत्ति निकालो।
    • मॉडल से समय निकालो।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ और समीकरण

  1. 14मूल सर्वसमिकाएँमूल सर्वसमिकाएँ इस्तेमाल करो: व्युत्क्रम, भागफल, पाइथागोरस, और सम-विषम।
    • तीनों पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ इस्तेमाल करो।
    • सम-विषम और सहफलन सर्वसमिकाएँ इस्तेमाल करो।
    • त्रिकोणमितीय व्यंजक सरल करो।
  2. 15सर्वसमिकाएँ सत्यापित करोएक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को चरण-दर-चरण सत्यापित करो।
    • केवल एक पक्ष पर काम करो।
    • ज्या और कोज्या में फिर से लिखो।
    • गुणनखंड निकालो और भिन्नों को जोड़ो।
  3. 16योग और अंतर के सूत्रज्या, कोज्या और स्पर्शज्या के योग और अंतर के सूत्र इस्तेमाल करो।
    • sin 75° का यथार्थ मान निकालो।
    • सूत्र सिद्ध करो।
    • इनसे व्यंजक सरल करो।
  4. 17द्विगुण कोण और अर्ध कोण के सूत्रद्विगुण कोण और अर्ध कोण के सूत्र इस्तेमाल करो।
    • sin 2θ = 2 sin θ cos θ इस्तेमाल करो।
    • cos 2θ के तीनों रूप इस्तेमाल करो।
    • अर्ध कोण के यथार्थ मान निकालो।
  5. 18त्रिकोणमितीय समीकरण हल करोत्रिकोणमितीय समीकरण एक अंतराल पर और व्यापक रूप में हल करो।
    • [0, 2π) में सभी हल निकालो।
    • व्यापक हल लिखो।
    • गुणनखंड और सर्वसमिकाओं से हल करो।

त्रिभुज और सदिश

  1. 19ज्या नियम और संदिग्ध स्थितिज्या नियम से त्रिभुज हल करो, संदिग्ध स्थिति SSA सहित।
    • ज्या नियम इस्तेमाल करो।
    • तय करो कि SSA से 0, 1 या 2 त्रिभुज मिलते हैं।
    • नौचालन के सवाल हल करो।
  2. 20कोज्या नियम और हीरोन का सूत्रकोज्या नियम से त्रिभुज हल करो और हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल निकालो।
    • SAS और SSS के लिए कोज्या नियम इस्तेमाल करो।
    • हीरोन का सूत्र इस्तेमाल करो।
    • त्रिभुज के लिए सही नियम चुनो।
  3. 21सदिशसदिशों को परिमाण और दिशा से, तथा घटक रूप में बताओ।
    • सदिश को घटक रूप में लिखो।
    • परिमाण और दिशा कोण निकालो।
    • मात्रक सदिश निकालो।
  4. 22सदिश संक्रियाएँ और अदिश गुणनफलसदिशों को जोड़ो, अदिश से गुणा करो, और अदिश गुणनफल से गुणा करो।
    • घटकों और चित्रों से सदिश जोड़ो।
    • अदिश गुणनफल और सदिशों के बीच का कोण निकालो।
    • एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेप निकालो।
  5. 23सदिशों के अनुप्रयोगबल, वेग और कार्य के सवाल सदिशों से हल करो।
    • परिणामी बल निकालो।
    • हवा में विमान की भूमि चाल निकालो।
    • अदिश गुणनफल से कार्य निकालो।

ध्रुवीय निर्देशांक और सम्मिश्र संख्याएँ

  1. 24ध्रुवीय निर्देशांकध्रुवीय निर्देशांक में बिंदु अंकित करो और ध्रुवीय तथा आयतीय रूप के बीच बदलो।
    • (r, θ) अंकित करो।
    • बिंदुओं को ध्रुवीय और आयतीय रूप में बदलो।
    • समीकरणों को दोनों रूपों में बदलो।
  2. 25ध्रुवीय आलेखवृत्त, गुलाब वक्र, लिमासॉन और कार्डियोइड के ध्रुवीय आलेख बनाओ।
    • r = a cos θ और r = a sin θ का आलेख बनाओ।
    • गुलाब वक्र r = a cos(nθ) का आलेख बनाओ।
    • तेज़ी से आलेख बनाने के लिए सममिति इस्तेमाल करो।
  3. 26ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँसम्मिश्र संख्याओं को ध्रुवीय रूप में लिखो और उनका गुणा करो।
    • सम्मिश्र संख्याएँ अंकित करो और उनका मापांक निकालो।
    • z = r(cos θ + i sin θ) लिखो।
    • ध्रुवीय रूप में गुणा और भाग करो।
  4. 27द म्वावर प्रमेयद म्वावर प्रमेय से सम्मिश्र संख्याओं की घात और मूल निकालो।
    • घातों के लिए द म्वावर प्रमेय इस्तेमाल करो।
    • सम्मिश्र संख्या के nवें मूल निकालो।
    • इकाई के मूल अंकित करो।

प्राचलिक समीकरण और शंकु परिच्छेद

  1. 28प्राचलिक समीकरणप्राचलिक समीकरणों का आलेख बनाओ और उनसे गति का मॉडल बनाओ।
    • x(t) और y(t) से वक्र का आलेख बनाओ।
    • प्राचल हटाओ।
    • प्रक्षेप्य गति का मॉडल बनाओ।
  2. 29परवलयनाभि और नियता से परवलय का आलेख बनाओ।
    • नाभि-नियता परिभाषा इस्तेमाल करो।
    • नाभि और शीर्ष से समीकरण लिखो।
    • जानो कि उपग्रह डिश परवलय क्यों होती हैं।
  3. 30दीर्घवृत्तदीर्घवृत्त का आलेख बनाओ और उनकी नाभियाँ निकालो।
    • (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 इस्तेमाल करो।
    • c² = a² − b² से नाभियाँ निकालो।
    • ग्रहों की कक्षाओं का मॉडल बनाओ।
  4. 31अतिपरवलयअनंतस्पर्शियों और नाभियों के साथ अतिपरवलय का आलेख बनाओ।
    • (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1 इस्तेमाल करो।
    • अनंतस्पर्शी और नाभियाँ निकालो।
    • व्यापक समीकरण से शंकु परिच्छेद पहचानो।

आव्यूह और निकाय

  1. 32आव्यूह संक्रियाएँआव्यूहों को जोड़ो, अदिश से गुणा करो, और गुणा करो।
    • गुणा के लिए ज़रूरी कोटि जानो।
    • दो आव्यूहों का गुणा करो।
    • जानो कि आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं है।
  2. 33सारणिक और प्रतिलोम आव्यूहआव्यूह का सारणिक और प्रतिलोम निकालो।
    • 2×2 और 3×3 सारणिक निकालो।
    • 2×2 प्रतिलोम निकालो।
    • जानो कि सारणिक 0 वाले आव्यूह का प्रतिलोम नहीं होता।
  3. 34आव्यूह से निकाय हल करोसमीकरणों के निकाय आव्यूह से हल करो।
    • निकाय को AX = B के रूप में लिखो।
    • प्रतिलोम आव्यूह से हल करो।
    • संवर्धित आव्यूह पर पंक्ति संक्रियाएँ करो।
  4. 35रूपांतरण के रूप में आव्यूहआकृतियों को घुमाने, परावर्तित करने और स्केल करने के लिए आव्यूह को रूपांतरण की तरह इस्तेमाल करो।
    • घुमाव का आव्यूह लिखो।
    • गुणा करके रूपांतरणों का संयोजन करो।
    • जानो कि सारणिक क्षेत्रफल का स्केल गुणक देता है।

आगमन और सीमाएँ

  1. 36गणितीय आगमनगणितीय आगमन से हर पूर्ण संख्या के लिए एक कथन सिद्ध करो।
    • आधार स्थिति सिद्ध करो।
    • आगमनात्मक चरण सिद्ध करो।
    • योग का सूत्र सिद्ध करो।
  2. 37सीमाओं का परिचयआलेख, तालिका और बीजगणित से सीमाएँ निकालो।
    • आलेख से एकपक्षीय सीमाएँ पढ़ो।
    • प्रतिस्थापन और गुणनखंड से सीमाएँ निकालो।
    • जानो कि सीमा कब अस्तित्व में नहीं होती।
  3. 38अनंत पर सीमाएँ और सांतत्यअनंत पर सीमाएँ निकालो और तय करो कि फलन कहाँ संतत है।
    • अनंत पर सीमाओं को क्षैतिज अनंतस्पर्शी से जोड़ो।
    • अनंत अनुक्रम की सीमा निकालो।
    • निराकरणीय, उच्छल और अनंत असांतत्य के नाम बताओ।
  4. 39परिवर्तन दर और स्पर्श रेखाएँएक सीमा से तात्कालिक परिवर्तन दर निकालो और स्पर्श रेखा की प्रवणता निकालो।
    • छेदक रेखा की प्रवणता निकालो।
    • स्पर्श रेखा की प्रवणता एक सीमा से निकालो।
    • इसे तात्कालिक वेग से जोड़ो।

दोहराव, मिश्रित अभ्यास और चुनौतियाँ

  1. 40फलन और त्रिकोणमिति का दोहरावफलन और त्रिकोणमिति के मिश्रित सवाल हल करो, सर्वसमिकाओं और त्रिकोणमितीय समीकरणों के साथ।
    • किसी भी फलन परिवार का विश्लेषण करो।
    • सर्वसमिकाएँ सिद्ध करो और त्रिकोणमितीय समीकरण हल करो।
    • त्रिभुज हल करो।
  2. 41सदिश, ध्रुवीय, शंकु परिच्छेद और सीमाओं का दोहरावसदिश, ध्रुवीय रूप, शंकु परिच्छेद, आव्यूह और सीमाओं के मिश्रित सवाल हल करो।
    • सदिश और ध्रुवीय निर्देशांक इस्तेमाल करो।
    • शंकु परिच्छेद का आलेख बनाओ और आव्यूह निकाय हल करो।
    • सीमाएँ निकालो।
  3. 42पूर्व-कलन चुनौतीमुख्य इकाइयों के मिश्रित सवालों से पूर्व-कलन चुनौती पूरी करो।
    • हर इकाई के सवाल बिना संकेत के हल करो।
    • हर चरण समझाओ।
    • वे जगहें निकालो जहाँ और अभ्यास चाहिए।