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कक्षा 11 गणित: बीजगणित 2

सम्मिश्र संख्याओं और बहुपदीय, परिमेय, करणी, चरघातांकी, लघुगणकीय और त्रिकोणमितीय फलनों के साथ काम करो। फैसला करने के लिए प्रायिकता और सांख्यिकी का उपयोग करो।

पाठ क्रम से करो, मूल फलनों और रूपांतरणों से लेकर खुद सवाल हल करने तक। अंत में तुम फलनों का रूपांतरण, संयोजन और प्रतिलोम बना सकोगे, और सम्मिश्र हल वाली द्विघात समीकरणें हल कर सकोगे। तुम बहुपदीय फलनों का ग्राफ बना सकोगे, बहुपदों का भाग कर सकोगे, और उनके सभी शून्यक निकाल सकोगे। तुम परिमेय और करणी व्यंजकों को सरल कर सकोगे, उनके फलनों का ग्राफ बना सकोगे, और उनकी समीकरणें हल कर सकोगे। तुम लघुगणक से चरघातांकी समीकरणें हल कर सकोगे और वृद्धि के चरघातांकी और लघुगणकीय मॉडल बना सकोगे। तुम समांतर श्रेणियों और गुणोत्तर श्रेणियों के योग निकाल सकोगे। तुम इकाई वृत्त से ज्या और कोज्या का ग्राफ और मॉडल बना सकोगे। तुम सप्रतिबंध प्रायिकताएँ निकाल सकोगे, प्रसामान्य बंटन का उपयोग कर सकोगे, और सर्वेक्षणों और प्रयोगों के निष्कर्ष जाँच सकोगे।

इन पाठों का इस्तेमाल कैसे करो

  • जिस पाठ पर यह करो लिखा है, वहीं से शुरू करो। जब शीर्षक के नीचे की पंक्ति खुद कर सको, तब आगे बढ़ो।
  • पहले खेल खेलो। फिर प्रश्नोत्तरी करो। 8/10 सही पर पास। वर्कशीट कागज़ पर हैं। उत्तर नीचे हैं।
  • हर पाठ पिछले पाठ पर टिकता है। अगर कोई पाठ कठिन हो, तो एक पाठ पीछे जाओ।
  • हर नए फलन परिवार में पहले मूल ग्राफ सीखो, फिर उसके रूपांतरण। हाथ से खाका बनाओ, फिर ग्राफ ऐप से जाँचो। हर हल को मूल समीकरण में जाँचो, क्योंकि कुछ चरण अतिरिक्त हल जोड़ देते हैं।

हर पाठ में खेल, प्रश्नोत्तरी और वर्कशीट हैं।

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फलन और रूपांतरण

  1. 1मूल फलन और रूपांतरणमूल फलन से रूपांतरण y = a·f(b(x − h)) + k का ग्राफ बनाओ।
    • रैखिक, द्विघात, निरपेक्ष मान और घनीय मूल ग्राफ पहचानो।
    • विस्थापन, खिंचाव और परावर्तन बताओ।
    • सम और विषम फलनों को अलग पहचानो।
  2. 2फलनों की संक्रियाएँ और संयोजनफलनों को जोड़ो, घटाओ, गुणा करो, भाग करो और उनका संयोजन करो।
    • (f + g)(x) और (fg)(x) निकालो।
    • f(g(x)) और g(f(x)) निकालो।
    • मिलाए हुए फलन का प्रांत निकालो।
  3. 3प्रतिलोम फलनकिसी फलन का प्रतिलोम निकालो और उसका ग्राफ बनाओ।
    • x और y को बदलो और y के लिए हल करो।
    • जानो कि प्रतिलोम y = x पर परावर्तन है।
    • संयोजन से प्रतिलोम जाँचो और प्रांत सीमित करो।

द्विघात समीकरणें और सम्मिश्र संख्याएँ

  1. 4सम्मिश्र संख्याएँसम्मिश्र संख्याएँ जोड़ो, घटाओ, गुणा करो और भाग करो।
    • i² = −1 का उपयोग करो।
    • उत्तर a + bi रूप में लिखो।
    • सम्मिश्र संयुग्मी से भाग करो।
  2. 5सम्मिश्र हल वाली द्विघात समीकरणेंकोई भी द्विघात समीकरण हल करो, सम्मिश्र हल वाली भी।
    • विविक्तकर ऋणात्मक हो तो द्विघात सूत्र का उपयोग करो।
    • जानो कि सम्मिश्र हल संयुग्मी जोड़ों में आते हैं।
    • x-अक्ष पर कोई प्रतिच्छेद न होना सम्मिश्र हल से जोड़ो।
  3. 6द्विघात असमिकाएँ और निकायद्विघात असमिकाएँ और अरैखिक निकाय हल करो।
    • चिह्न सारणी से x² − x − 6 > 0 हल करो।
    • एक द्विघात असमिका का ग्राफ बनाओ।
    • एक रेखा और एक वृत्त वाला निकाय हल करो।

बहुपदीय फलन

  1. 7बहुपदीय फलनों का ग्राफ बनाओघात, अंत व्यवहार और शून्यकों से बहुपदीय फलन का ग्राफ बनाओ।
    • अग्रणी पद से अंत व्यवहार निकालो।
    • जानो कि बहुकता शून्यक पर ग्राफ कैसे बदलती है।
    • मोड़ बिंदु और सापेक्ष चरम निकालो।
  2. 8बहुपदों का भाग करोलंबे भाग और सिंथेटिक विभाजन से बहुपदों का भाग करो।
    • बहुपदों का लंबा भाग करो।
    • x − c के लिए सिंथेटिक विभाजन करो।
    • परिणाम शेष के साथ लिखो।
  3. 9शेषफल प्रमेय और गुणनखंड प्रमेयगुणनखंड निकालने के लिए शेषफल प्रमेय और गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करो।
    • जानो कि x − a से भाग करने पर शेष p(a) होता है।
    • जानो कि p(a) = 0 होने पर x − a गुणनखंड है।
    • एक ज्ञात शून्यक से घनीय बहुपद का गुणनखंड करो।
  4. 10सभी शून्यक निकालोकिसी बहुपद के सभी वास्तविक और सम्मिश्र शून्यक निकालो।
    • उम्मीदवारों की सूची के लिए परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करो।
    • बीजगणित का मूल प्रमेय जानो।
    • शून्यकों से बहुपद लिखो।
  5. 11बहुपद सर्वसमिकाएँबहुपद सर्वसमिकाएँ सिद्ध करो और उनका उपयोग करो।
    • घनों के योग और अंतर का गुणनखंड करो।
    • प्रसार करके सर्वसमिका सिद्ध करो।
    • सर्वसमिका से पाइथागोरस त्रिक बनाओ।
  6. 12द्विपद प्रमेयपास्कल के त्रिभुज और द्विपद प्रमेय से (a + b)ⁿ का प्रसार करो।
    • पास्कल का त्रिभुज बनाओ।
    • गुणांकों के लिए संचय का उपयोग करो।
    • प्रसार का एक पद निकालो।

परिमेय फलन

  1. 13परिमेय व्यंजक सरल करोपरिमेय व्यंजक सरल करो और उसकी पाबंदियाँ बताओ।
    • अंश और हर का गुणनखंड करो।
    • उभयनिष्ठ गुणनखंड काट दो।
    • वे मान लिखो जो मना हैं।
  2. 14परिमेय व्यंजकों का गुणा और भाग करोपरिमेय व्यंजकों का गुणा और भाग करो।
    • गुणा से पहले गुणनखंड करो।
    • व्युत्क्रम से गुणा करके भाग करो।
    • जटिल भिन्नों को सरल करो।
  3. 15परिमेय व्यंजकों का योग और अंतर करोअलग-अलग हर वाले परिमेय व्यंजकों का योग और अंतर करो।
    • लघुत्तम समापवर्त्य हर निकालो।
    • हर भिन्न को फिर लिखो और जोड़ो।
    • परिणाम सरल करो।
  4. 16परिमेय फलनों का ग्राफ बनाओअनंतस्पर्शी और छिद्रों के साथ परिमेय फलनों का ग्राफ बनाओ।
    • ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी और छिद्र निकालो।
    • घातों से क्षैतिज अनंतस्पर्शी निकालो।
    • y = a/(x − h) + k का ग्राफ बनाओ।
  5. 17परिमेय समीकरणें हल करोपरिमेय समीकरणें हल करो और अतिरिक्त हल जाँचो।
    • लघुत्तम समापवर्त्य हर से गुणा करो।
    • वे हल छोड़ दो जो किसी हर को 0 बनाते हैं।
    • कार्य-दर और औसत लागत के सवाल हल करो।

करणी फलन

  1. 18करणी व्यंजककरणी व्यंजक में nवें मूल सरल करो और जोड़ो।
    • ∛54 और √(50x³) सरल करो।
    • करणियों को जोड़ो, घटाओ और गुणा करो।
    • हर का परिमेयीकरण करो।
  2. 19वर्गमूल और घनमूल फलनों का ग्राफ बनाओवर्गमूल और घनमूल फलनों और उनके रूपांतरणों का ग्राफ बनाओ।
    • y = √x और y = ∛x का ग्राफ बनाओ।
    • प्रांत और परिसर निकालो।
    • इन्हें x² और x³ के प्रतिलोम से जोड़ो।
  3. 20करणी समीकरणें हल करोकरणी समीकरणें हल करो और अतिरिक्त हल जाँचो।
    • पहले करणी को अकेला करो।
    • दोनों पक्षों को घात पर उठाओ।
    • हर हल को मूल समीकरण में जाँचो।

चरघातांकी और लघुगणकीय फलन

  1. 21चरघातांकी फलन और eचरघातांकी फलनों का ग्राफ बनाओ और संख्या e का उपयोग करो।
    • y = abˣ का ग्राफ बनाओ और उसकी अनंतस्पर्शी निकालो।
    • A = Pe^(rt) से सतत वृद्धि का उपयोग करो।
    • चक्रवृद्धि अवधियों की तुलना करो।
  2. 22लघुगणकचरघातांकी और लघुगणकीय रूप के बीच बदलो और लघुगणकीय फलनों का ग्राफ बनाओ।
    • जानो कि log_b x = y का अर्थ bʸ = x है।
    • साधारण और प्राकृतिक लघुगणक निकालो।
    • y = log_b x को bˣ के प्रतिलोम के रूप में ग्राफ बनाओ।
  3. 23लघुगणकों के गुणलघुगणकों का प्रसार करो और उन्हें सघन करो।
    • गुणन, भाग और घात के नियम उपयोग करो।
    • व्यंजकों का प्रसार करो और उन्हें सघन करो।
    • आधार बदलने का सूत्र उपयोग करो।
  4. 24चरघातांकी और लघुगणकीय समीकरणें हल करोचरघातांकी और लघुगणकीय समीकरणें हल करो।
    • 3ˣ = 20 हल करने के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक लो।
    • लघुगणकीय समीकरणें हल करने के लिए चरघातांकी रूप में लिखो।
    • प्रांत के बाहर के हल छोड़ दो।
  5. 25चरघातांकी और लघुगणकीय मॉडलचरघातांकी और लघुगणकीय मॉडल बनाओ और उनका उपयोग करो।
    • दोगुना होने का समय और अर्ध-आयु निकालो।
    • pH और डेसिबल पैमाने उपयोग करो।
    • डेटा पर चरघातांकी मॉडल फिट करो।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

  1. 26सिग्मा संकेतसिग्मा संकेत में योग लिखो और उनका मान निकालो।
    • सूचकांक, सीमाएँ और नियम पढ़ो।
    • छोटे योग का प्रसार करो और जोड़ो।
    • योग को सिग्मा संकेत में लिखो।
  2. 27समांतर श्रेणीसमांतर श्रेणी का योग निकालो।
    • Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 का उपयोग करो।
    • पदों की संख्या निकालो।
    • बैठक और बचत के सवाल हल करो।
  3. 28गुणोत्तर श्रेणीपरिमित और अनंत गुणोत्तर श्रेणियों का योग निकालो।
    • Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) का उपयोग करो।
    • जानो कि अनंत श्रेणी |r| < 1 होने पर अभिसरित होती है।
    • ऋण और गिरवी की किस्तें निकालो।

त्रिकोणमितीय फलन

  1. 29इकाई वृत्तइकाई वृत्त से किसी भी कोण की ज्या और कोज्या निकालो।
    • डिग्री और रेडियन में मानक स्थिति में कोण बनाओ।
    • विशेष कोणों पर सटीक मान निकालो।
    • संदर्भ कोण और चतुर्थांश के चिह्न उपयोग करो।
  2. 30ज्या और कोज्या का ग्राफ बनाओआयाम, आवर्तकाल और विस्थापन के साथ ज्या और कोज्या का ग्राफ बनाओ।
    • आयाम और आवर्तकाल निकालो।
    • कला विस्थापन और ऊर्ध्वाधर विस्थापन का ग्राफ बनाओ।
    • y = tan x का ग्राफ बनाओ।
  3. 31आवर्ती व्यवहार का मॉडल बनाओआवर्ती व्यवहार का मॉडल बनाने के लिए त्रिकोणमितीय फलन लिखो।
    • ज्वार और फेरीस व्हील का मॉडल बनाओ।
    • डेटा से मध्य रेखा और आयाम निकालो।
    • मॉडल से अनुमान लगाओ।
  4. 32पाइथागोरस सर्वसमिकापाइथागोरस सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 सिद्ध करो और उसका उपयोग करो।
    • इकाई वृत्त से सर्वसमिका सिद्ध करो।
    • sin θ और चतुर्थांश से cos θ निकालो।
    • त्रिकोणमितीय व्यंजक सरल करो।

प्रायिकता और सांख्यिकी

  1. 33क्रमचय और संचयक्रमचय और संचय गिनो।
    • गणना सिद्धांत का उपयोग करो।
    • जानो कि क्रम कब मायने रखता है।
    • प्रायिकता निकालने के लिए nPr और nCr का उपयोग करो।
  2. 34सप्रतिबंध प्रायिकता और स्वतंत्रतासप्रतिबंध प्रायिकताएँ निकालो और स्वतंत्रता जाँचो।
    • P(A | B) = P(A और B) / P(B) का उपयोग करो।
    • योग नियम का उपयोग करो।
    • जानो कि A और B स्वतंत्र हैं जब P(A और B) = P(A)P(B)।
  3. 35प्रसामान्य बंटनप्रतिशत अनुमान के लिए प्रसामान्य बंटन का उपयोग करो।
    • 68-95-99.7 नियम का उपयोग करो।
    • z-अंक निकालो और उनका अर्थ बताओ।
    • जानो कि प्रसामान्य मॉडल कब फिट बैठता है।
  4. 36सर्वेक्षण, प्रयोग और अध्ययनसर्वेक्षण, प्रयोग और अवलोकन अध्ययन को अलग पहचानो।
    • जानो कि यादृच्छिकीकरण पक्षपात घटाता है।
    • जानो कि केवल प्रयोग कारण और प्रभाव दिखाते हैं।
    • सर्वेक्षण के प्रश्न में पक्षपात पकड़ो।
  5. 37त्रुटि सीमा और निष्कर्षनिष्कर्ष जाँचने के लिए अनुकरण और त्रुटि सीमा का उपयोग करो।
    • नमूने से जनसंख्या अनुपात का अनुमान लगाओ।
    • त्रुटि सीमा का अर्थ बताओ।
    • अंतर सार्थक है या नहीं, यह तय करने के लिए अनुकरण का उपयोग करो।

दोहराई, मिले-जुले अभ्यास और चुनौतियाँ

  1. 38फलन परिवारों की दोहराईबहुपदीय, परिमेय, करणी और चरघातांकी फलन परिवारों के मिले-जुले सवाल हल करो।
    • ग्राफ को उसके फलन परिवार से मिलाओ।
    • हर तरह की समीकरण हल करो।
    • अतिरिक्त हल जाँचो।
  2. 39श्रेणी, त्रिकोणमिति और सांख्यिकी की दोहराईश्रेणियों, त्रिकोणमितीय फलनों, प्रायिकता और सांख्यिकी के मिले-जुले सवाल हल करो।
    • समांतर और गुणोत्तर श्रेणियों का योग निकालो।
    • त्रिकोणमितीय फलनों से ग्राफ और मॉडल बनाओ।
    • प्रायिकताएँ निकालो और सांख्यिकी का अर्थ बताओ।
  3. 40बीजगणित 2 की चुनौतीबड़ी इकाइयों को कवर करने वाले मिले-जुले प्रश्न पूरे करो।
    • बिना संकेत हर इकाई के सवाल हल करो।
    • स्थिति का मॉडल बनाने के लिए सही फलन चुनो।
    • वे हिस्से निकालो जिन्हें और अभ्यास चाहिए।