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कक्षा 10 गणित: ज्यामिति

प्रमाण लिखो, रूपांतरण इस्तेमाल करो, त्रिभुजों को सर्वांगसम और समरूप सिद्ध करो, त्रिकोणमिति से समकोण त्रिभुज हल करो, और वृत्त तथा ठोस आकृतियाँ पढ़ो।

पाठ क्रम से करो, बिंदुओं और रेखाओं से लेकर खुद सवाल हल करने तक। अंत में तुम तर्क और रचनाएँ इस्तेमाल कर सकोगे, रेखाओं और कोणों की प्रमेय सिद्ध कर सकोगे, और दृढ़ गतियों से सर्वांगसमता बता सकोगे। तुम त्रिभुजों को सर्वांगसम सिद्ध कर सकोगे, त्रिभुजों और चतुर्भुजों के गुण इस्तेमाल कर सकोगे, और प्रसार से त्रिभुजों को समरूप सिद्ध कर सकोगे। तुम पाइथागोरस प्रमेय और त्रिकोणमिति से समकोण त्रिभुज हल कर सकोगे, और ज्या तथा कोज्या के नियम इस्तेमाल कर सकोगे। तुम चाप की लंबाई, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और अंतर्लिखित कोण निकाल सकोगे, और वृत्त का समीकरण लिख सकोगे। तुम निर्देशांक प्रमाण लिख सकोगे, और प्रिज्म, बेलन, पिरामिड, शंकु और गोले के आयतन निकाल सकोगे।

इन पाठों का इस्तेमाल कैसे करो

  • जिस पाठ पर यह करो लिखा है, वहीं से शुरू करो। जब शीर्षक के नीचे की पंक्ति खुद कर सको, तब आगे बढ़ो।
  • पहले खेल खेलो। फिर प्रश्नोत्तरी करो। 8/10 सही पर पास। वर्कशीट कागज़ पर हैं। उत्तर नीचे हैं।
  • हर पाठ पिछले पाठ पर टिका है। अगर कोई पाठ कठिन हो, तो एक पाठ पीछे जाओ।
  • हर सवाल के लिए चित्र बनाओ और नाम लिखो। परकार, पटरी और चाँदा पास रखो। प्रमाण में हर कथन का कारण दो।

हर पाठ में खेल, प्रश्नोत्तरी और वर्कशीट हैं।

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आधार, रचनाएँ और तर्क

  1. 1बिंदु, रेखाएँ और तलबिंदुओं, रेखाओं, किरणों, रेखाखंडों और तलों के नाम बताओ और उनका वर्णन करो।
    • रेखाओं, किरणों और रेखाखंडों के सही चिह्न इस्तेमाल करो।
    • ज्यामिति के अपरिभाषित शब्द जानो।
    • बताओ कि रेखाएँ और तल कैसे कटते हैं।
  2. 2दूरी, मध्यबिंदु और कोण की मापदूरियाँ, मध्यबिंदु और कोणों की माप निकालो।
    • निर्देशांक तल पर दूरी का सूत्र इस्तेमाल करो।
    • मध्यबिंदु का सूत्र इस्तेमाल करो।
    • रेखाखंड और कोण के योग की अभिधारणाएँ इस्तेमाल करो।
  3. 3रचनाएँपरकार और पटरी से प्रतिलिपि, समद्विभाजक और लंब की रचनाएँ करो।
    • एक रेखाखंड और एक कोण की प्रतिलिपि बनाओ।
    • एक रेखाखंड और एक कोण का समद्विभाजन करो।
    • एक लंब रेखा और एक समांतर रेखा की रचना करो।
  4. 4तर्क और सशर्त कथनतर्क से सशर्त कथन, प्रतिलोम और प्रतिउदाहरण लिखो।
    • प्रतिलोम, व्युत्क्रम और प्रतिधनात्मक लिखो।
    • गलत कथन का प्रतिउदाहरण ढूँढो।
    • आगमनात्मक और निगमनात्मक तर्क में फ़र्क बताओ।

रेखाएँ, कोण और प्रमाण

  1. 5समांतर रेखाएँ और तिर्यकसमांतर रेखाओं और एक तिर्यक से बने कोणों के जोड़े इस्तेमाल करो।
    • संगत, एकांतर अंतः और एक ही ओर के कोणों के नाम बताओ।
    • अज्ञात कोण निकालो।
    • कोणों के जोड़ों से सिद्ध करो कि रेखाएँ समांतर हैं।
  2. 6प्रमाण लिखोदो स्तंभों में और अनुच्छेद में प्रमाण लिखो।
    • परिभाषा, अभिधारणा और प्रमेय को कारण मानो।
    • प्रमाणों में बीजगणित के गुण इस्तेमाल करो।
    • एक प्रमाण दो स्तंभों में और अनुच्छेद के रूप में लिखो।
  3. 7रेखाओं और कोणों की प्रमेय सिद्ध करोरेखाओं और कोणों की प्रमेय सिद्ध करो: शीर्षाभिमुख कोण और लंब समद्विभाजक।
    • सिद्ध करो कि शीर्षाभिमुख कोण सर्वांगसम होते हैं।
    • सिद्ध करो कि लंब समद्विभाजक के बिंदु सिरों से समान दूरी पर होते हैं।
    • एकांतर अंतः कोणों की प्रमेय सिद्ध करो।

रूपांतरण और सर्वांगसमता

  1. 8दृढ़ गतियाँस्थानांतरण, परावर्तन और घूर्णन जैसी दृढ़ गतियों को फलन की तरह बताओ।
    • (x, y) → (−y, x) जैसे नियम लिखो।
    • रूपांतरणों का एक क्रम बताओ।
    • जानो कि दृढ़ गतियाँ लंबाई और कोण वही रखती हैं।
  2. 9दृढ़ गतियों से सर्वांगसमतादृढ़ गतियों के एक क्रम से दिखाओ कि आकृतियाँ सर्वांगसम हैं।
    • दृढ़ गतियों से सर्वांगसमता की परिभाषा दो।
    • ऐसा क्रम ढूँढो जो एक आकृति को दूसरी पर ले जाए।
    • संगत भागों के नाम बताओ।
  3. 10सममितिआकृतियों में रेखा सममिति और घूर्णन सममिति निकालो।
    • एक बहुभुज की सममिति रेखाएँ निकालो।
    • घूर्णन सममिति का कोण निकालो।
    • ऐसे रूपांतरण बताओ जो आकृति को उसी पर ले जाएँ।

त्रिभुज

  1. 11त्रिभुजों की सर्वांगसमताSSS, SAS, ASA, AAS और HL से त्रिभुजों की सर्वांगसमता सिद्ध करो।
    • सही सर्वांगसमता नियम चुनो।
    • जानो कि SSA क्यों काम नहीं करता।
    • प्रमाणों में CPCTC इस्तेमाल करो।
  2. 12त्रिभुज के कोणों की प्रमेयत्रिभुज के कोणों के योग और बाह्य कोण की प्रमेय सिद्ध करो और इस्तेमाल करो।
    • सिद्ध करो कि त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।
    • बाह्य कोण की प्रमेय इस्तेमाल करो।
    • बीजगणित से अज्ञात कोण निकालो।
  3. 13समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुजसमद्विबाहु और समबाहु त्रिभुजों में आधार कोणों की प्रमेय और उसका विलोम इस्तेमाल करो।
    • जानो कि समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण बराबर होते हैं।
    • बराबर भुजाएँ निकालने के लिए विलोम इस्तेमाल करो।
    • जानो कि समबाहु त्रिभुज समानकोणीय होता है।
  4. 14समद्विभाजक, माध्यिकाएँ और शीर्षलंबसमद्विभाजक, माध्यिकाओं और शीर्षलंब से परिकेंद्र, अंतःकेंद्र, केन्द्रक और लंबकेंद्र निकालो।
    • त्रिभुज का हर केंद्र बनाओ।
    • जानो कि केन्द्रक माध्यिका को 2 से 1 में बाँटता है।
    • मध्य-रेखा प्रमेय इस्तेमाल करो।
  5. 15त्रिभुज की असमिकाएँत्रिभुज की असमिकाओं से तय करो कि तीन लंबाइयाँ त्रिभुज बनाती हैं या नहीं, और उसकी भुजाएँ तथा कोण क्रम में लगाओ।
    • त्रिभुज असमिका प्रमेय इस्तेमाल करो।
    • जानो कि सबसे लंबी भुजा सबसे बड़े कोण के सामने होती है।
    • तीसरी भुजा की संभव लंबाइयों की सीमा निकालो।

बहुभुज और चतुर्भुज

  1. 16बहुभुज के कोणों का योगबहुभुज के अंतः और बाह्य कोणों का योग निकालो।
    • अंतः योग के लिए (n − 2) × 180° इस्तेमाल करो।
    • जानो कि बाह्य कोणों का योग 360° होता है।
    • एक समबहुभुज का हर कोण निकालो।
  2. 17समांतर चतुर्भुजों के गुणसमांतर चतुर्भुजों के गुण सिद्ध करो और इस्तेमाल करो।
    • सिद्ध करो कि सम्मुख भुजाएँ और कोण सर्वांगसम होते हैं।
    • सिद्ध करो कि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
    • दिखाओ कि एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज है।
  3. 18आयत, समचतुर्भुज और वर्गआयत, समचतुर्भुज और वर्ग के गुण इस्तेमाल करो।
    • जानो कि आयत के विकर्ण सर्वांगसम होते हैं।
    • जानो कि समचतुर्भुज के विकर्ण लंब होते हैं।
    • गुणों से चतुर्भुज का प्रकार बताओ।
  4. 19समलंब और पतंगसमलंब और पतंग के गुण इस्तेमाल करो।
    • समलंब की मध्य-रेखा प्रमेय इस्तेमाल करो।
    • समद्विबाहु समलंब के गुण जानो।
    • जानो कि पतंग के विकर्ण लंब होते हैं।

समरूपता

  1. 20प्रसारआकृतियों का प्रसार करो और पैमाने गुणक का असर बताओ।
    • केंद्र से पैमाने गुणक k से प्रसार करो।
    • जानो कि प्रसार एक रेखा को समांतर रेखा पर ले जाता है।
    • प्रसार और दृढ़ गतियों से समरूपता की परिभाषा दो।
  2. 21समरूप त्रिभुजAA, SAS और SSS से त्रिभुजों को समरूप सिद्ध करो।
    • AA समरूपता नियम इस्तेमाल करो।
    • छूटी भुजाओं के लिए अनुपात लिखो और हल करो।
    • छाया से अप्रत्यक्ष माप के सवाल हल करो।
  3. 22त्रिभुजों में अनुपातभुजा-विभाजक प्रमेय और कोण समद्विभाजक प्रमेय से त्रिभुजों में अनुपात इस्तेमाल करो।
    • भुजा-विभाजक प्रमेय इस्तेमाल करो।
    • त्रिभुज के कोण समद्विभाजक प्रमेय इस्तेमाल करो।
    • समरूप त्रिभुजों से पाइथागोरस प्रमेय सिद्ध करो।

समकोण त्रिभुज और त्रिकोणमिति

  1. 23पाइथागोरस प्रमेय और उसका विलोमपाइथागोरस प्रमेय और उसका विलोम इस्तेमाल करो, और भुजाओं से त्रिभुजों का प्रकार बताओ।
    • समकोण त्रिभुजों में छूटी भुजाएँ निकालो।
    • विलोम से जाँचो कि त्रिभुज समकोण है या नहीं।
    • त्रिभुजों को न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण बताओ।
  2. 24विशेष समकोण त्रिभुजविशेष समकोण त्रिभुज 45-45-90 और 30-60-90 की भुजाएँ निकालो।
    • अनुपात 1 : 1 : √2 इस्तेमाल करो।
    • अनुपात 1 : √3 : 2 इस्तेमाल करो।
    • उत्तर मूल के साथ ठीक-ठीक छोड़ो।
  3. 25ज्या, कोज्या और स्पर्शज्यासमकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या निकालो।
    • SOH CAH TOA इस्तेमाल करो।
    • जानो कि ये अनुपात समरूप त्रिभुजों से आते हैं।
    • जानो कि sin A = cos (90° − A)।
  4. 26समकोण त्रिभुज हल करोसमकोण त्रिभुज हल करो: त्रिकोणमिति से छूटी भुजाएँ और कोण निकालो।
    • कोण निकालने के लिए प्रतिलोम त्रिकोणमिति इस्तेमाल करो।
    • उन्नयन कोण और अवनमन कोण के सवाल हल करो।
    • उत्तर समझदारी से पूर्णांकित करो।
  5. 27ज्या का नियम और कोज्या का नियमज्या के नियम या कोज्या के नियम से कोई भी त्रिभुज हल करो।
    • ज्या का नियम इस्तेमाल करो।
    • कोज्या का नियम इस्तेमाल करो।
    • क्षेत्रफल 1/2 ab sin C से निकालो।

वृत्त

  1. 28वृत्त के भाग और चापवृत्त के भागों के नाम बताओ और चापों की माप निकालो।
    • त्रिज्या, जीवा, व्यास, छेदक और स्पर्शरेखा के नाम बताओ।
    • लघु चाप और दीर्घ चाप की माप निकालो।
    • जानो कि सभी वृत्त समरूप होते हैं।
  2. 29चाप की लंबाई और रेडियनचाप की लंबाई निकालो और डिग्री तथा रेडियन के बीच बदलो।
    • चाप की लंबाई परिधि के भिन्न के रूप में निकालो।
    • रेडियन की परिभाषा दो।
    • डिग्री और रेडियन के बीच बदलो।
  3. 30त्रिज्यखंड का क्षेत्रफलएक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निकालो।
    • त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल के भिन्न के रूप में निकालो।
    • वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालो।
    • पिज़्ज़ा और फुहारे के सवाल हल करो।
  4. 31अंतर्लिखित कोणअंतर्लिखित कोण और चाप के संबंध का इस्तेमाल करो।
    • जानो कि अंतर्लिखित कोण अपने चाप का आधा होता है।
    • जानो कि अर्धवृत्त में अंतर्लिखित कोण समकोण होता है।
    • जानो कि वृत्तीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
  5. 32स्पर्शरेखा, जीवा और छेदकस्पर्शरेखा, जीवा और छेदक के गुण इस्तेमाल करो।
    • जानो कि स्पर्शरेखा त्रिज्या पर लंब होती है।
    • जीवा और छेदक के लिए खंडों का गुणनफल इस्तेमाल करो।
    • जीवा, छेदक और स्पर्शरेखा से बने कोण निकालो।
  6. 33वृत्तों के समीकरणएक वृत्त का समीकरण लिखो और उसका आलेख बनाओ।
    • (x − h)² + (y − k)² = r² इस्तेमाल करो।
    • पूर्ण वर्ग बनाकर केंद्र और त्रिज्या निकालो।
    • तय करो कि कोई बिंदु वृत्त पर है या नहीं।

निर्देशांक ज्यामिति

  1. 34निर्देशांक प्रमाणनिर्देशांकों से ज्यामिति के तथ्य सिद्ध करो।
    • आकृतियों को निर्देशांक तल पर सोच-समझकर रखो।
    • ढाल और दूरी से चतुर्भुज का प्रकार बताओ।
    • सिद्ध करो कि मध्य-रेखा एक भुजा के समांतर है।
  2. 35एक रेखाखंड बाँटोवह बिंदु निकालो जो रेखाखंड को दिए अनुपात में बाँटे।
    • वह बिंदु निकालो जो A से B के रास्ते का 2/5 हो।
    • एक रेखाखंड को अनुपात 1 : 3 में बाँटो।
    • रेखाखंड बाँटने को प्रसार से जोड़ो।
  3. 36निर्देशांकों से परिमाप और क्षेत्रफलनिर्देशांक तल पर बहुभुजों का परिमाप और क्षेत्रफल निकालो।
    • परिमाप के लिए दूरी का सूत्र इस्तेमाल करो।
    • तोड़कर या आयत में घेरकर क्षेत्रफल निकालो।
    • शीर्षों से त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालो।

आयतन और मॉडल

  1. 37प्रिज्म और बेलन का आयतनप्रिज्म और बेलन के आयतन निकालो और समझाओ।
    • V = Bh इस्तेमाल करो।
    • कैवलियरी का सिद्धांत समझाओ।
    • तिरछे ठोसों का आयतन निकालो।
  2. 38पिरामिड, शंकु और गोलेपिरामिड, शंकु और गोलों का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालो।
    • V = 1/3 Bh इस्तेमाल करो।
    • V = 4/3 πr³ और SA = 4πr² इस्तेमाल करो।
    • मिश्र ठोसों के सवाल हल करो।
  3. 39अनुप्रस्थ काट और घूर्णन ठोसअनुप्रस्थ काट बताओ और वह ठोस बताओ जो आकृति घुमाने से बनता है।
    • प्रिज्म, बेलन और शंकु की अनुप्रस्थ काट के नाम बताओ।
    • आयत या त्रिभुज घुमाने से बना ठोस बताओ।
    • 2D आकृतियों को 3D ठोसों से जोड़ो।
  4. 40घनत्व और डिज़ाइन के मॉडलज्यामिति से घनत्व और डिज़ाइन के सवालों के मॉडल बनाओ।
    • प्रति वर्ग मील जनसंख्या घनत्व निकालो।
    • घनत्व से वस्तु का द्रव्यमान निकालो।
    • एक शर्त पूरी करने वाला डिब्बा डिज़ाइन करो।

दोहराव, मिला-जुला अभ्यास और चुनौतियाँ

  1. 41प्रमाण और सर्वांगसमता का दोहरावप्रमाण, सर्वांगसमता, रूपांतरण, त्रिभुज और चतुर्भुज के मिले-जुले सवाल हल करो।
    • कारणों के साथ प्रमाण लिखो।
    • त्रिभुजों को सर्वांगसम और समरूप सिद्ध करो।
    • चतुर्भुजों के गुण इस्तेमाल करो।
  2. 42त्रिकोणमिति, वृत्त और आयतन का दोहरावत्रिकोणमिति, वृत्त और ठोसों के आयतन के मिले-जुले सवाल हल करो।
    • समकोण और तिर्यक् त्रिभुज हल करो।
    • चाप, त्रिज्यखंड और वृत्त के समीकरण निकालो।
    • ठोसों के आयतन निकालो।
  3. 43ज्यामिति चुनौतीमुख्य इकाइयों के मिले-जुले सवालों से ज्यामिति चुनौती पूरी करो।
    • हर इकाई के सवाल बिना संकेत हल करो।
    • हर उत्तर एक प्रमेय से समझाओ।
    • वे विषय ढूँढो जिन पर और अभ्यास चाहिए।