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Maths de 12e année : Précalcul

Analyse les fonctions, maîtrise la trigonométrie, travaille avec les vecteurs, les coordonnées polaires, les coniques et les matrices, et jette un premier regard sur les limites.

Fais les leçons dans l’ordre, de l’analyse des fonctions jusqu’à résoudre des problèmes tout seul. À la fin, tu peux analyser et combiner des fonctions, résoudre des inéquations polynomiales et rationnelles, et modéliser avec des fonctions exponentielles, logarithmiques et logistiques. Tu peux tracer les six fonctions trigonométriques et leurs réciproques, vérifier des identités trigonométriques et résoudre des équations trigonométriques. Tu peux résoudre n’importe quel triangle et utiliser des vecteurs pour des forces et des mouvements. Tu peux tracer en coordonnées polaires, écrire des nombres complexes sous forme polaire et utiliser le théorème de De Moivre. Tu peux tracer des équations paramétriques et des coniques et résoudre des systèmes avec des matrices. Tu peux démontrer des énoncés par récurrence et trouver des limites, la première idée du calcul.

Comment utiliser ces leçons

  • Commence à la leçon qui dit Fais ça. Passe à la suite quand tu peux faire tout seul la ligne sous le titre.
  • Joue d’abord aux Jeux. Ensuite fais les Quiz. 8 sur 10 justes pour réussir. Les Fiches sont sur papier. Les réponses sont en bas.
  • Chaque leçon s’appuie sur la précédente. Si une leçon est dure, reviens d’une leçon.
  • Ce cours te prépare au calcul. Apprends le cercle unité par cœur. Garde une liste des identités au fur et à mesure. Trace chaque courbe à la main, puis vérifie-la avec une appli de graphiques.

Chaque leçon a des jeux, des quiz et des fiches.

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Les fonctions, à nouveau

  1. 1Analyse le comportement des fonctionsAnalyse où une fonction croît, décroît et atteint ses extremums.
    • Trouve les intervalles de croissance et de décroissance.
    • Trouve les extremums relatifs et absolus.
    • Trouve le taux de variation moyen sur un intervalle.
  2. 2Combine et décompose des fonctionsCombine d’anciennes fonctions pour en faire de nouvelles et décompose une fonction en une composition.
    • Compose des fonctions et trouve le domaine.
    • Écris h(x) = √(x² + 1) sous la forme f(g(x)).
    • Modélise une situation avec une fonction composée.
  3. 3Réciproques et restrictions du domaineRestreins le domaine pour qu’une fonction ait une réciproque.
    • Utilise le test de la droite horizontale.
    • Restreins le domaine de x² pour trouver sa réciproque.
    • Lis des valeurs de la réciproque dans un tableau ou un graphe.

Fonctions polynomiales et rationnelles

  1. 4Comportement et inéquations des polynômesRésous des inéquations de polynômes avec les zéros et des tableaux de signes.
    • Trouve tous les zéros et leurs multiplicités.
    • Utilise un tableau de signes pour résoudre p(x) ≥ 0.
    • Modélise un volume et un profit avec des polynômes.
  2. 5Fonctions rationnelles et asymptotes obliquesTrace des fonctions rationnelles, y compris les asymptotes obliques.
    • Trouve les asymptotes verticales, horizontales et obliques.
    • Trouve les trous et les intersections.
    • Décris le comportement à l’infini.
  3. 6Inéquations rationnellesRésous des inéquations rationnelles.
    • Trouve les zéros et les points où elle n’est pas définie.
    • Utilise un tableau de signes.
    • Écris la solution en notation d’intervalles.

Modèles exponentiels, logarithmiques et logistiques

  1. 7Fonctions exponentielles et logarithmiquesTrace, résous et modélise avec des fonctions exponentielles et logarithmiques.
    • Trace des transformations de fonctions exponentielles et logarithmiques.
    • Résous des équations avec des logarithmes.
    • Modélise une croissance composée et une croissance continue.
  2. 8Croissance logistiqueModélise une croissance qui se stabilise avec une fonction logistique.
    • Lis la capacité limite.
    • Trouve le point de croissance la plus rapide.
    • Compare la croissance logistique et la croissance exponentielle.
  3. 9Graphiques semi-log et données en ligne droiteUtilise des logarithmes et des graphiques semi-log pour mettre des données exponentielles en ligne droite.
    • Trace log y en fonction de x.
    • Sache que des données exponentielles paraissent linéaires sur un graphique semi-log.
    • Trouve un modèle exponentiel à partir de la droite.

Fonctions trigonométriques

  1. 10Radians et le cercle unitéTrouve les six valeurs trigonométriques de n’importe quel angle en radians sur le cercle unité.
    • Convertis entre degrés et radians.
    • Trouve des valeurs exactes pour les angles remarquables.
    • Trouve une longueur d’arc et une vitesse angulaire.
  2. 11Trace les six fonctions trigonométriquesTrace les six fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante et cosécante.
    • Trace la tangente et la cotangente avec leurs asymptotes.
    • Trace la sécante et la cosécante à partir du cosinus et du sinus.
    • Trouve la période, l’amplitude et les décalages.
  3. 12Fonctions trigonométriques réciproquesÉvalue et trace les fonctions trigonométriques réciproques : sinus, cosinus et tangente.
    • Connais le domaine restreint de chaque fonction.
    • Trouve des valeurs exactes comme arcsin(1/2).
    • Évalue des compositions comme cos(arctan x).
  4. 13Modèles sinusoïdauxConstruis des modèles sinusoïdaux à partir de données et utilise-les pour prédire.
    • Modélise les heures de jour et les ondes sonores.
    • Trouve la fréquence d’une onde.
    • Utilise le modèle pour trouver des instants.

Identités et équations trigonométriques

  1. 14Identités fondamentalesUtilise les identités fondamentales : réciproques, de quotient, de Pythagore et paires-impaires.
    • Utilise les trois identités de Pythagore.
    • Utilise les identités paires-impaires et de cofonction.
    • Simplifie des expressions trigonométriques.
  2. 15Vérifie des identitésVérifie une identité trigonométrique étape par étape.
    • Travaille d’un seul côté.
    • Réécris en sinus et en cosinus.
    • Factorise et combine des fractions.
  3. 16Formules de somme et de différenceUtilise les formules de somme et de différence du sinus, du cosinus et de la tangente.
    • Trouve la valeur exacte de sin 75°.
    • Démontre les formules.
    • Simplifie des expressions avec elles.
  4. 17Formules de l’angle double et de l’angle moitiéUtilise les formules de l’angle double et de l’angle moitié.
    • Utilise sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
    • Utilise les trois formes de cos 2θ.
    • Trouve des valeurs exactes de l’angle moitié.
  5. 18Résous des équations trigonométriquesRésous des équations trigonométriques sur un intervalle et dans le cas général.
    • Trouve toutes les solutions dans [0, 2π).
    • Écris la solution générale.
    • Résous en factorisant et avec des identités.

Triangles et vecteurs

  1. 19La loi des sinus et le cas ambiguRésous des triangles avec la loi des sinus, y compris le cas ambigu SSA.
    • Utilise la loi des sinus.
    • Décide si SSA donne 0, 1 ou 2 triangles.
    • Résous des problèmes de navigation.
  2. 20La loi des cosinus et la formule de HéronRésous des triangles avec la loi des cosinus et trouve l’aire avec la formule de Héron.
    • Utilise la loi des cosinus pour SAS et SSS.
    • Utilise la formule de Héron.
    • Choisis la bonne loi pour un triangle.
  3. 21VecteursDécris des vecteurs par leur norme et leur direction, et sous forme de composantes.
    • Écris un vecteur sous forme de composantes.
    • Trouve la norme et l’angle de direction.
    • Trouve un vecteur unitaire.
  4. 22Opérations sur les vecteurs et le produit scalaireAdditionne, change d’échelle et multiplie des vecteurs avec le produit scalaire.
    • Additionne des vecteurs avec les composantes et avec des schémas.
    • Trouve le produit scalaire et l’angle entre des vecteurs.
    • Trouve la projection d’un vecteur sur un autre.
  5. 23Applications des vecteursUtilise des vecteurs pour résoudre des problèmes de force, de vitesse et de travail.
    • Trouve la force résultante.
    • Trouve la vitesse d’un avion par rapport au sol dans le vent.
    • Trouve le travail avec le produit scalaire.

Coordonnées polaires et nombres complexes

  1. 24Coordonnées polairesPlace des points en coordonnées polaires et convertis entre forme polaire et rectangulaire.
    • Place (r, θ).
    • Convertis des points entre polaire et rectangulaire.
    • Convertis des équations entre les deux formes.
  2. 25Courbes polairesTrace des courbes polaires : cercles, rosaces, limaçons et cardioïdes.
    • Trace r = a cos θ et r = a sin θ.
    • Trace des rosaces r = a cos(nθ).
    • Utilise la symétrie pour tracer plus vite.
  3. 26Nombres complexes sous forme polaireÉcris des nombres complexes sous forme polaire et multiplie-les.
    • Place des nombres complexes et trouve leur module.
    • Écris z = r(cos θ + i sin θ).
    • Multiplie et divise sous forme polaire.
  4. 27Théorème de De MoivreUtilise le théorème de De Moivre pour trouver des puissances et des racines de nombres complexes.
    • Utilise le théorème de De Moivre pour les puissances.
    • Trouve les racines n-ièmes d’un nombre complexe.
    • Place les racines de l’unité.

Équations paramétriques et coniques

  1. 28Équations paramétriquesTrace des équations paramétriques et modélise un mouvement avec elles.
    • Trace une courbe à partir de x(t) et y(t).
    • Élimine le paramètre.
    • Modélise le mouvement d’un projectile.
  2. 29ParabolesTrace des paraboles à partir de leur foyer et de leur directrice.
    • Utilise la définition foyer-directrice.
    • Écris l’équation à partir du foyer et du sommet.
    • Explique pourquoi les antennes paraboliques sont des paraboles.
  3. 30EllipsesTrace des ellipses et trouve leurs foyers.
    • Utilise (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1.
    • Trouve les foyers avec c² = a² − b².
    • Modélise des orbites de planètes.
  4. 31HyperbolesTrace des hyperboles avec leurs asymptotes et leurs foyers.
    • Utilise (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
    • Trouve les asymptotes et les foyers.
    • Classe une conique à partir de son équation générale.

Matrices et systèmes

  1. 32Opérations sur les matricesAdditionne, change d’échelle et multiplie des matrices.
    • Connais les dimensions nécessaires pour multiplier.
    • Multiplie deux matrices.
    • Sache que la multiplication des matrices n’est pas commutative.
  2. 33Déterminants et matrices inversesTrouve le déterminant et la matrice inverse.
    • Trouve un déterminant 2×2 et un 3×3.
    • Trouve une inverse 2×2.
    • Sache qu’une matrice de déterminant 0 n’a pas d’inverse.
  3. 34Résous des systèmes avec des matricesRésous des systèmes d’équations avec des matrices.
    • Écris un système sous la forme AX = B.
    • Résous avec une matrice inverse.
    • Utilise la réduction par lignes sur une matrice augmentée.
  4. 35Les matrices comme transformationsUtilise des matrices comme transformations pour tourner, refléter et changer l’échelle de figures.
    • Écris la matrice d’une rotation.
    • Compose des transformations en multipliant.
    • Sache que le déterminant donne le facteur d’échelle de l’aire.

Récurrence et limites

  1. 36Récurrence mathématiqueDémontre un énoncé pour tout entier naturel par récurrence mathématique.
    • Démontre le cas de base.
    • Démontre le pas de récurrence.
    • Démontre une formule de somme.
  2. 37Introduction aux limitesTrouve des limites à partir de graphes, de tableaux et d’algèbre.
    • Lis des limites à gauche et à droite sur un graphe.
    • Trouve des limites par substitution et par factorisation.
    • Sache quand une limite n’existe pas.
  3. 38Limites à l’infini et continuitéTrouve des limites à l’infini et décide où une fonction est continue.
    • Relie les limites à l’infini aux asymptotes horizontales.
    • Trouve la limite d’une suite infinie.
    • Nomme les discontinuités réductibles, par saut et infinies.
  4. 39Taux de variation et tangentesTrouve le taux de variation instantané avec une limite et la pente de la tangente.
    • Trouve la pente d’une sécante.
    • Utilise une limite pour trouver la pente d’une tangente.
    • Relie-la à la vitesse instantanée.

Révision, pratique mixte et défis

  1. 40Révision des fonctions et de la trigonométrieRésous des problèmes mixtes de fonctions et de trigonométrie, avec des identités et des équations trigonométriques.
    • Analyse n’importe quelle famille de fonctions.
    • Vérifie des identités et résous des équations trigonométriques.
    • Résous des triangles.
  2. 41Révision des vecteurs, du polaire, des coniques et des limitesRésous des problèmes mixtes avec des vecteurs, des formes polaires, des coniques, des matrices et des limites.
    • Utilise des vecteurs et des coordonnées polaires.
    • Trace des coniques et résous des systèmes de matrices.
    • Trouve des limites.
  3. 42Défi de précalculTermine le défi de précalcul avec des questions mixtes sur les grandes unités.
    • Résous des problèmes de chaque unité sans indices.
    • Explique chaque étape.
    • Trouve les sujets qui demandent plus de pratique.