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高三數學：預備微積分

分析函數，把三角函數學熟，再用向量、極座標、圓錐曲線和矩陣做題，並第一次認識極限。

照順序把每一課走完，從分析函數走到能自己解題。學完以後，你會分析函數、組合函數，會解多項式不等式和有理不等式，也會用指數函數、對數函數和邏輯斯諦函數建立模型。你會畫出全部六個三角函數和反三角函數，驗證三角恆等式，解三角方程。你會解任意三角形，並用向量處理力和運動。你會在極座標裡畫圖，把複數寫成極座標形式，並使用棣美弗定理。你會畫出參數方程和圓錐曲線，並用矩陣解聯立方程。你會用歸納法證明命題，並求極限。極限是微積分的第一個想法。

這些課怎麼用

  • 從標著做這個的課開始。標題下面那一行你自己會了，再往下。
  • 先玩遊戲。再做測驗。10題裡對8題就通過。練習紙在紙上。答案在最下面。
  • 每一課都接在前一課後面。哪一課難，就退回前一課。
  • 這門課幫你準備微積分。把單位圓背熟。學到恆等式就記在一張表上。每張圖先用手畫，再用繪圖軟體核對。

每一課都有遊戲、測驗和練習紙。

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再看函數

  1. 1分析函數的變化說出函數的變化：它在哪裡遞增、遞減，以及在哪裡達到極值。
    • 找出遞增和遞減的區間。
    • 找出相對極值和絕對極值。
    • 求出一個區間上的平均變化率。
  2. 2組合函數與分解函數把舊函數組合成新函數，並把一個函數分解成複合函數。
    • 作複合函數並求出定義域。
    • 把 h(x) = √(x² + 1) 寫成 f(g(x))。
    • 用複合函數為一個情境建立模型。
  3. 3反函數與定義域限制限制定義域，讓函數有反函數。
    • 使用水平線檢驗。
    • 限制 x² 的定義域，求出它的反函數。
    • 從表格或圖形讀出反函數的值。

多項式函數與有理函數

  1. 4多項式的變化與不等式用零點和符號表解多項式不等式。
    • 找出全部零點及其重數。
    • 用符號表解 p(x) ≥ 0。
    • 用多項式為體積和利潤建立模型。
  2. 5有理函數與斜漸近線畫出有理函數的圖形，包括斜漸近線。
    • 找出鉛直、水平和斜漸近線。
    • 找出破洞和截距。
    • 描述兩端的變化。
  3. 6有理不等式解有理不等式。
    • 找出零點和沒有定義的點。
    • 使用符號表。
    • 用區間記法寫出解。

指數、對數與邏輯斯諦模型

  1. 7指數函數與對數函數畫出指數函數和對數函數的圖形，解方程，並用它們建立模型。
    • 畫出指數函數和對數函數的變換圖形。
    • 用對數解方程。
    • 為複利增長和連續增長建立模型。
  2. 8邏輯斯諦增長用邏輯斯諦函數為會趨於平穩的增長建立模型。
    • 讀出承載量。
    • 找出增長最快的點。
    • 比較邏輯斯諦增長和指數增長。
  3. 9半對數圖與把數據拉直用對數把指數型數據在半對數圖上拉成直線。
    • 以 x 為橫軸、log y 為縱軸描點。
    • 知道指數型數據在半對數圖上看起來是直線。
    • 從這條直線求出指數模型。

三角函數

  1. 10弳度與單位圓在單位圓上求出任意弳度角的六個三角函數值。
    • 在角度和弳度之間轉換。
    • 求出特殊角的精確值。
    • 求弧長和角速度。
  2. 11畫出全部六個三角函數畫出全部六個三角函數：正弦、餘弦、正切，以及它們的倒數函數。
    • 畫出帶漸近線的正切和餘切。
    • 由餘弦和正弦畫出正割和餘割。
    • 求出週期、振幅和平移。
  3. 12反三角函數求反三角函數的值，並畫出反正弦、反餘弦和反正切。
    • 知道每個函數被限制後的定義域。
    • 求出精確值，例如 arcsin(1/2)。
    • 求複合值，例如 cos(arctan x)。
  4. 13正弦模型根據數據建立正弦模型，並用它來預測。
    • 為日照時長和聲波建立模型。
    • 求出波的頻率。
    • 用模型求出時間。

三角恆等式與方程

  1. 14基本恆等式使用基本恆等式：倒數恆等式、商恆等式、畢氏恆等式和奇偶恆等式。
    • 使用全部三個畢氏恆等式。
    • 使用奇偶恆等式和餘函數恆等式。
    • 化簡三角式。
  2. 15驗證恆等式一步一步驗證三角恆等式。
    • 只改等式的一邊。
    • 改寫成正弦和餘弦。
    • 因式分解，並合併分式。
  3. 16和差公式使用正弦、餘弦和正切的和差公式。
    • 求出 sin 75° 的精確值。
    • 證明這些公式。
    • 用它們化簡式子。
  4. 17二倍角與半角公式使用二倍角公式和半角公式。
    • 使用 sin 2θ = 2 sin θ cos θ。
    • 使用 cos 2θ 的全部三種形式。
    • 求出半角的精確值。
  5. 18解三角方程在一個區間上解三角方程，並寫出通解。
    • 找出 [0, 2π) 中的全部解。
    • 寫出通解。
    • 用因式分解和恆等式來解。

三角形與向量

  1. 19正弦定理與兩解情形用正弦定理解三角形，包括 SSA 的兩解情形。
    • 使用正弦定理。
    • 判斷 SSA 給出 0 個、1 個還是 2 個三角形。
    • 解決航行問題。
  2. 20餘弦定理與海龍公式用餘弦定理解三角形，並用海龍公式求面積。
    • 對 SAS 和 SSS 使用餘弦定理。
    • 使用海龍公式。
    • 為一個三角形選擇合適的定理。
  3. 21向量用大小和方向描述向量，並寫成分量形式。
    • 把向量寫成分量形式。
    • 求出大小和方向角。
    • 求出單位向量。
  4. 22向量運算與內積把向量相加、數乘，並求內積。
    • 用分量和圖把向量相加。
    • 求出內積和向量之間的夾角。
    • 求出一個向量在另一個向量上的投影。
  5. 23向量的應用用向量解決力、速度和功的問題。
    • 求合力。
    • 求飛機在風中的對地速率。
    • 用內積求功。

極座標與複數

  1. 24極座標在極座標中描點，並與直角座標互化。
    • 描出點 (r, θ)。
    • 在極座標和直角座標之間轉換點。
    • 在兩種形式之間轉換方程。
  2. 25極座標圖形畫出極座標圖形：圓、玫瑰線、蚶線和心形線。
    • 畫出 r = a cos θ 和 r = a sin θ。
    • 畫出玫瑰線 r = a cos(nθ)。
    • 利用對稱更快地畫圖。
  3. 26複數的極座標形式把複數寫成極座標形式，並做乘法。
    • 描出複數並求出模。
    • 寫成 z = r(cos θ + i sin θ)。
    • 在極座標形式下做乘法和除法。
  4. 27棣美弗定理用棣美弗定理求複數的冪和根。
    • 用棣美弗定理求冪。
    • 求一個複數的 n 次根。
    • 描出單位根。

參數方程與圓錐曲線

  1. 28參數方程畫出參數方程的圖形，並用它們為運動建立模型。
    • 由 x(t) 和 y(t) 畫出曲線。
    • 消去參數。
    • 為拋體運動建立模型。
  2. 29拋物線根據焦點和準線畫出拋物線。
    • 使用焦點和準線的定義。
    • 由焦點和頂點寫出方程。
    • 知道為什麼衛星天線是拋物面。
  3. 30橢圓畫出橢圓並求出焦點。
    • 使用 (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1。
    • 用 c² = a² − b² 求焦點。
    • 為行星軌道建立模型。
  4. 31雙曲線畫出帶漸近線和焦點的雙曲線。
    • 使用 (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1。
    • 求出漸近線和焦點。
    • 由一般方程判斷是哪種圓錐曲線。

矩陣與聯立方程

  1. 32矩陣運算把矩陣相加、數乘，並把矩陣相乘。
    • 知道什麼尺寸才能相乘。
    • 把兩個矩陣相乘。
    • 知道矩陣乘法不能交換順序。
  2. 33行列式與反矩陣求矩陣的行列式和反矩陣。
    • 求 2×2 和 3×3 的行列式。
    • 求 2×2 的反矩陣。
    • 知道行列式為 0 的矩陣沒有反矩陣。
  3. 34用矩陣解聯立方程用矩陣解聯立方程。
    • 把聯立方程寫成 AX = B。
    • 用反矩陣來解。
    • 把增廣矩陣化成階梯形。
  4. 35矩陣作為變換用矩陣作為變換來旋轉、反射和縮放圖形。
    • 寫出旋轉的矩陣。
    • 用乘法把變換複合起來。
    • 知道行列式給出面積的縮放倍數。

歸納法與極限

  1. 36數學歸納法用數學歸納法證明一個命題對每一個非負整數都成立。
    • 證明基礎情形。
    • 證明歸納步驟。
    • 證明一個求和公式。
  2. 37極限入門從圖形、表格和代數中求極限。
    • 從圖形讀出單側極限。
    • 用代入和因式分解求極限。
    • 知道什麼時候極限不存在。
  3. 38無窮遠處的極限與連續性求無窮遠處的極限，並判斷函數在哪裡連續。
    • 把無窮遠處的極限和水平漸近線連起來。
    • 求無窮數列的極限。
    • 說出可去不連續、跳躍不連續和無窮不連續。
  4. 39變化率與切線用極限求瞬時變化率。
    • 求割線的斜率。
    • 用極限求切線的斜率。
    • 把它和瞬時速度連起來。

複習、綜合練習與挑戰

  1. 40函數與三角函數複習用函數、恆等式和三角方程解決綜合問題。
    • 分析任意一類函數。
    • 證明恆等式並解三角方程。
    • 解三角形。
  2. 41向量、極座標、圓錐曲線與極限複習用向量、極座標形式、圓錐曲線、矩陣和極限解決綜合問題。
    • 使用向量和極座標。
    • 畫出圓錐曲線並用矩陣解聯立方程。
    • 求極限。
  3. 42預備微積分挑戰完成覆蓋預備微積分主要單元的綜合題目。
    • 不看提示，做每個單元的題。
    • 講清每一步。
    • 找出還需要多練的地方。