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課程

高二數學：代數2

學習複數、多項式函數、有理函數、根式函數、指數函數、對數函數和三角函數，並用機率和統計做決定。

按順序學習各課，從母函數與變換一直到獨立解決問題。學完後，你能對函數做變換、複合，並求反函數。你能解帶複數解的二次方程式。你能畫多項式函數，做多項式除法，並找出全部零點。你能化簡有理式和根式，畫出有理函數和根式函數，並解有理方程式和根式方程式。你能用對數解指數方程式，並建立指數模型和對數模型。你能求等差級數和等比級數的和。你能用單位圓，畫出正弦和餘弦，並給週期現象建模。你能求條件機率，用常態分布，並從調查和實驗判斷結論。

這些課怎麼用

  • 從標著做這個的課開始。標題下面那一行你自己會了，再往下。
  • 先玩遊戲。再做測驗。10題裡對8題就通過。練習紙在紙上。答案在最下面。
  • 每一課都接在前一課後面。哪一課難，就退回一課。
  • 每學一類新函數，先認母函數的圖，再學變換。先用手畫，再用繪圖軟體核對。每個解都代回原方程式，因為有的步驟會多出增根。

每一課都有遊戲、測驗和練習紙。

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函數與變換

  1. 1母函數與變換由母函數畫出 y = a·f(b(x − h)) + k。
    • 認出一次、二次、絕對值和三次母函數的圖像。
    • 說出平移、拉伸和反射。
    • 區分偶函數和奇函數。
  2. 2函數運算與複合對函數做運算和複合：加、減、乘、除。
    • 求 (f + g)(x) 和 (fg)(x)。
    • 求 f(g(x)) 和 g(f(x))。
    • 求運算或複合後函數的定義域。
  3. 3反函數求出一個函數的反函數，並畫出反函數。
    • 交換 x 和 y，再解出 y。
    • 知道反函數是關於 y = x 的反射。
    • 用複合驗證反函數，並限制定義域。

二次方程式與複數

  1. 4複數對複數做加、減、乘、除。
    • 用 i² = −1。
    • 把答案寫成 a + bi。
    • 用共軛複數做除法。
  2. 5帶複數解的二次方程式解任意二次方程式，包括帶複數解的。
    • 判別式為負時用求根公式。
    • 知道複數解成共軛對出現。
    • 把沒有 x 截距和複數解聯繫起來。
  3. 6二次不等式與方程組解二次不等式和非線性方程組。
    • 用符號表解 x² − x − 6 > 0。
    • 畫出二次不等式。
    • 解一條直線和一個圓組成的方程組。

多項式函數

  1. 7畫多項式函數按次數、末端行為和零點畫出多項式函數。
    • 由首項判斷末端行為。
    • 知道重數怎樣改變零點處的圖像。
    • 找出轉折點和相對極值。
  2. 8多項式除法用長除法和綜合除法做多項式除法。
    • 用多項式長除法。
    • 對 x − c 用綜合除法。
    • 把結果寫成帶餘式的形式。
  3. 9餘式定理與因式定理用餘式定理和因式定理找因式。
    • 知道 p(a) 是除以 x − a 的餘式。
    • 知道 p(a) = 0 時，x − a 是因式。
    • 由一個已知零點分解三次多項式。
  4. 10找出全部零點找出多項式的全部實數零點和複數零點。
    • 用有理根定理列出候選。
    • 知道代數基本定理。
    • 由零點寫出多項式。
  5. 11多項式恆等式證明並使用多項式恆等式。
    • 分解立方和與立方差。
    • 展開來證明恆等式。
    • 用恆等式生成畢氏三元數。
  6. 12二項式定理用楊輝三角和二項式定理展開 (a + b)ⁿ。
    • 寫出楊輝三角。
    • 用組合數做係數。
    • 求出展開式中的一項。

有理函數

  1. 13化簡有理式化簡有理式，並寫出限制條件。
    • 分解分子和分母。
    • 約去公因式。
    • 列出不允許的值。
  2. 14有理式的乘法和除法做有理式的乘法和除法。
    • 相乘前先分解。
    • 除法改成乘倒數。
    • 化簡繁分式。
  3. 15有理式的加法和減法做分母不同的有理式的加法和減法。
    • 求最小公分母。
    • 改寫每個分式再合併。
    • 化簡結果。
  4. 16畫有理函數畫出有理函數，標出漸近線和洞。
    • 找出鉛直漸近線和洞。
    • 由次數找出水平漸近線。
    • 畫出 y = a/(x − h) + k。
  5. 17解有理方程式解有理方程式，並檢查增根。
    • 兩邊乘最小公分母。
    • 丟掉使分母為 0 的解。
    • 解工作效率題和平均成本題。

根式函數

  1. 18根式化簡根式，並合併 n 次根式。
    • 化簡 ∛54 和 √(50x³)。
    • 對根式做加、減、乘。
    • 把分母有理化。
  2. 19畫平方根函數和立方根函數畫出平方根函數和立方根函數，以及它們的變換。
    • 畫出 y = √x 和 y = ∛x。
    • 求出定義域和值域。
    • 把它們看成 x² 和 x³ 的反函數。
  3. 20解根式方程式解根式方程式，並檢查增根。
    • 先把根式單獨留在一邊。
    • 兩邊同時乘方。
    • 把每個解代回原方程式檢查。

指數函數與對數函數

  1. 21指數函數與 e畫出指數函數，並使用數 e。
    • 畫出 y = abˣ，並找出漸近線。
    • 用 A = Pe^(rt) 做連續增長。
    • 比較不同的複利期。
  2. 22對數在指數式和對數式之間改寫，並畫出對數函數。
    • 知道 log_b x = y 就是 bʸ = x。
    • 計算常用對數和自然對數。
    • 把 y = log_b x 畫成 bˣ 的反函數。
  3. 23對數的性質展開對數，並把對數合併。
    • 用積、商、冪法則。
    • 展開式子，也把式子合併。
    • 用換底公式。
  4. 24解指數方程式和對數方程式解指數方程式和對數方程式。
    • 兩邊取對數來解 3ˣ = 20。
    • 改寫成指數式來解對數方程式。
    • 丟掉定義域以外的解。
  5. 25指數模型與對數模型建立並使用指數模型和對數模型。
    • 求倍增時間和半衰期。
    • 使用 pH 和分貝刻度。
    • 給數據配一個指數模型。

數列與級數

  1. 26求和符號用求和符號寫出和，並算出這個和。
    • 讀出指標、上下限和通項。
    • 展開一個短的和並加起來。
    • 把一個和寫成求和符號。
  2. 27等差級數求等差級數的和。
    • 用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。
    • 求出項數。
    • 解座位題和儲蓄題。
  3. 28等比級數求有限等比級數和無窮等比級數的和。
    • 用 Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)。
    • 知道 |r| < 1 時無窮級數收斂。
    • 求貸款和房貸的還款。

三角函數

  1. 29單位圓用單位圓求任意角的正弦和餘弦。
    • 用角度和弧度畫標準位置的角。
    • 求特殊角的精確值。
    • 用參考角，並按象限定符號。
  2. 30畫正弦和餘弦按振幅、週期和位移畫出正弦和餘弦。
    • 求出振幅和週期。
    • 畫出相位移動和上下移動。
    • 畫出 y = tan x。
  3. 31給週期現象建模寫一個三角函數，給週期現象建模。
    • 給潮汐和摩天輪建模。
    • 從數據找出中線和振幅。
    • 用模型做預測。
  4. 32畢氏恆等式證明並使用畢氏恆等式 sin²θ + cos²θ = 1。
    • 用單位圓證明這個恆等式。
    • 由 sin θ 和象限求 cos θ。
    • 化簡三角式。

機率與統計

  1. 33排列與組合數出排列和組合。
    • 用計數原理。
    • 知道什麼時候順序有關。
    • 用 nPr 和 nCr 求機率。
  2. 34條件機率與獨立求條件機率，並檢驗是否獨立。
    • 用 P(A | B) = P(A 且 B) / P(B)。
    • 用加法公式。
    • 知道當 P(A 且 B) = P(A)P(B) 時，A 和 B 獨立。
  3. 35常態分布用常態分布估計百分比。
    • 用 68-95-99.7 規則。
    • 求 z 分數並說明它的意思。
    • 知道什麼時候常態模型合適。
  4. 36調查、實驗和研究區分調查、實驗和觀察研究。
    • 知道隨機化怎樣減少偏誤。
    • 知道只有實驗能說明因果。
    • 找出調查問題裡的偏誤。
  5. 37誤差範圍與推論用模擬和誤差範圍判斷結論。
    • 由樣本估計母體比例。
    • 解釋誤差範圍。
    • 用模擬判斷一個差異是否顯著。

複習、綜合練習與挑戰

  1. 38函數族複習解多項式函數、有理函數、根式函數和指數函數的綜合題。
    • 把圖像和函數族對上。
    • 解每一種方程式。
    • 檢查增根。
  2. 39級數、三角與統計複習解級數、三角函數和機率的綜合題。
    • 求等差級數和等比級數的和。
    • 用三角函數畫圖和建模。
    • 求機率並解釋統計結果。
  3. 40代數2挑戰完成覆蓋各大單元的代數2挑戰題。
    • 不看提示，做每個單元的題。
    • 選對的函數給情境建模。
    • 找出還需要多練的地方。
高二數學：代數2