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課程

高一數學：幾何

寫證明，用變換，證明三角形全等和相似，用三角解直角三角形，並學習圓和立體。

按順序學習各課，從點和直線一直到獨立解決問題。學完後，你能用邏輯和作圖，證明關於直線和角的定理，並用剛體變換說明全等。你能證明三角形全等，用三角形和四邊形的性質，並用位似證明三角形相似。你能用畢氏定理和三角解直角三角形，並用正弦定理和餘弦定理。你能求弧長、扇形面積和圓周角，並寫出圓的方程式。你能寫座標證明，並求稜柱、圓柱、稜錐、圓錐和球的體積。

這些課怎麼用

  • 從標著做這個的課開始。標題下面那一行你自己會了，再往下。
  • 先玩遊戲。再做測驗。10題裡對8題就通過。練習紙在紙上。答案在最下面。
  • 每一課都接在前一課後面。哪一課難，就退回上一課。
  • 每道題都畫圖並標好。把圓規、直尺和量角器放在手邊。寫證明時，每一步都要寫理由。

每一課都有遊戲、測驗和練習紙。

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基礎、作圖和邏輯

  1. 1點、直線和平面說出並描述點、直線、射線、線段和平面。
    • 正確使用直線、射線和線段的記號。
    • 知道幾何裡不定義的基本概念。
    • 描述直線和平面怎樣相交。
  2. 2距離、中點和角的度數求出長度、中點和角的度數。
    • 在座標平面上用距離公式。
    • 用中點公式。
    • 用線段加法公設和角的加法公設。
  3. 3作圖用圓規和直尺作複製圖、平分線和垂線。
    • 複製一條線段和一個角。
    • 平分一條線段和一個角。
    • 作一條垂線和一條平行線。
  4. 4邏輯和條件語句寫條件語句、逆命題和反例。
    • 寫出逆命題、否命題和逆否命題。
    • 給一句假話找一個反例。
    • 分辨歸納推理和演繹推理。

直線、角和證明

  1. 5平行線和截線用平行線和一條截線形成的角對。
    • 說出同位角、內錯角和同側內角。
    • 求出未知的角。
    • 由角對證明直線平行。
  2. 6寫證明寫兩欄證明和段落證明。
    • 用定義、公設和定理作為理由。
    • 在證明裡用代數性質。
    • 把一個證明寫成兩欄和段落兩種形式。
  3. 7證明直線和角的定理證明關於對頂角和垂直平分線的定理。
    • 證明對頂角全等。
    • 證明垂直平分線上的點到兩端距離相等。
    • 證明內錯角定理。

變換和全等

  1. 8剛體變換把平移、鏡射和旋轉說成函數。
    • 寫出這樣的規則，例如 (x, y) → (−y, x)。
    • 描述一串變換。
    • 知道剛體變換保持長度和角度。
  2. 9用剛體變換說明全等用一串剛體變換說明圖形全等。
    • 用剛體變換定義全等。
    • 找出把一個圖形變到另一個圖形的一串變換。
    • 說出對應部分。
  3. 10對稱找出圖形的軸對稱和旋轉對稱。
    • 找出多邊形的對稱軸。
    • 求出旋轉對稱的角度。
    • 描述把圖形變到自身的變換。

三角形

  1. 11三角形全等用 SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL 證明三角形全等。
    • 選對全等判定。
    • 知道為什麼 SSA 不行。
    • 在證明裡用 CPCTC。
  2. 12三角形的角定理證明並用三角形內角和定理和外角定理。
    • 證明三角形的角加起來是 180°。
    • 用外角定理。
    • 用代數求未知的角。
  3. 13等腰三角形和等邊三角形用底角定理和它的逆定理。
    • 知道等腰三角形的兩個底角相等。
    • 用逆定理找出相等的邊。
    • 知道等邊三角形是等角的。
  4. 14平分線、中線和高找出外心、內心、重心和垂心。
    • 作出每個三角形的中心。
    • 知道重心把中線分成 2 比 1。
    • 用中位線定理。
  5. 15三角形不等式判斷三條長度能不能組成三角形，並給邊和角排序。
    • 用三角形不等式定理。
    • 知道最長的邊對著最大的角。
    • 求出第三條邊可能的長度範圍。

多邊形和四邊形

  1. 16多邊形的內角和求多邊形的內角和與外角和。
    • 內角和用 (n − 2) × 180°。
    • 知道外角加起來是 360°。
    • 求出正多邊形的每一個角。
  2. 17平行四邊形的性質證明並用平行四邊形的性質。
    • 證明對邊和對角全等。
    • 證明對角線互相平分。
    • 說明一個四邊形是平行四邊形。
  3. 18矩形、菱形和正方形用特殊平行四邊形的性質。
    • 知道矩形的對角線全等。
    • 知道菱形的對角線互相垂直。
    • 根據性質給四邊形分類。
  4. 19梯形和箏形用梯形和箏形的性質。
    • 用梯形中位線定理。
    • 知道等腰梯形的性質。
    • 知道箏形的對角線互相垂直。

相似

  1. 20位似作圖形的位似，並說明比例係數的作用。
    • 從一點作比例係數為 k 的位似。
    • 知道位似把一條直線變成與它平行的直線。
    • 用位似和剛體變換定義相似。
  2. 21相似三角形用 AA、SAS 和 SSS 證明三角形相似。
    • 用 AA 相似判定。
    • 列出比例式，求出未知的邊。
    • 用影子解決間接測量問題。
  3. 22三角形中的比例用平行線分線段定理和角平分線定理。
    • 用平行線分線段定理。
    • 用三角形的角平分線定理。
    • 用相似三角形證明畢氏定理。

直角三角形和三角

  1. 23畢氏定理及其逆定理用畢氏定理，並按邊給三角形分類。
    • 求直角三角形裡未知的邊。
    • 用逆定理檢驗是不是直角三角形。
    • 把三角形分成銳角、直角或鈍角。
  2. 24特殊直角三角形求 45-45-90 和 30-60-90 三角形的邊。
    • 用比 1 : 1 : √2。
    • 用比 1 : √3 : 2。
    • 答案保留根式，寫準確值。
  3. 25正弦、餘弦和正切求直角三角形中的三角函數比。
    • 用 SOH CAH TOA。
    • 知道這些比來自相似三角形。
    • 知道 sin A = cos (90° − A)。
  4. 26解直角三角形用三角求未知的邊和角。
    • 用反三角函數求角。
    • 解仰角和俯角問題。
    • 答案要合理地四捨五入。
  5. 27正弦定理和餘弦定理用正弦定理或餘弦定理解任意三角形。
    • 用正弦定理。
    • 用餘弦定理。
    • 用 1/2 ab sin C 求面積。

圓

  1. 28圓的部分和弧說出圓的各部分，並求弧的度數。
    • 說出半徑、弦、直徑、割線和切線。
    • 求劣弧和優弧的度數。
    • 知道所有的圓都相似。
  2. 29弧長和弧度求弧長，並在度和弧度之間換算。
    • 把弧長求成圓周長的一部分。
    • 說明什麼是弧度。
    • 在度和弧度之間換算。
  3. 30扇形面積求扇形的面積。
    • 把扇形面積求成圓面積的一部分。
    • 求弓形的面積。
    • 解披薩和噴水器的問題。
  4. 31圓周角用圓周角和弧的關係。
    • 知道圓周角是它所對弧的一半。
    • 知道半圓上的圓周角是直角。
    • 知道圓內接四邊形的對角之和是 180°。
  5. 32切線、弦和割線用切線、弦和割線的性質。
    • 知道切線垂直於半徑。
    • 用弦和割線的線段乘積。
    • 求弦、割線和切線所成的角。
  6. 33圓的方程式寫出並畫出圓的方程式。
    • 用 (x − h)² + (y − k)² = r²。
    • 用配方法求圓心和半徑。
    • 判斷一個點在不在圓上。

座標幾何

  1. 34座標證明用座標證明幾何事實。
    • 把圖形合理地放在座標平面上。
    • 用斜率和距離給四邊形分類。
    • 證明一條中位線平行於一條邊。
  2. 35按比分線段找出按給定的比分線段的點。
    • 找出從 A 到 B 走了 2/5 的那個點。
    • 把線段按 1 : 3 來分。
    • 把分線段和位似聯繫起來。
  3. 36用座標求周長和面積求座標平面上多邊形的周長和面積。
    • 用距離公式求周長。
    • 把圖形拆開，或放進一個矩形裡，來求面積。
    • 由頂點求三角形的面積。

體積和建模

  1. 37稜柱和圓柱的體積求稜柱和圓柱的體積，並說明理由。
    • 用 V = Bh。
    • 說明卡瓦列里原理。
    • 求傾斜立體的體積。
  2. 38稜錐、圓錐和球求稜錐、圓錐和球的體積和表面積。
    • 用 V = 1/3 Bh。
    • 用 V = 4/3 πr³ 和 SA = 4πr²。
    • 解組合體的問題。
  3. 39截面和旋轉體描述截面，以及把一個圖形旋轉後得到的立體。
    • 說出稜柱、圓柱和圓錐的截面。
    • 描述把矩形或三角形旋轉後得到的立體。
    • 把平面圖形和立體聯繫起來。
  4. 40密度和設計建模用幾何為密度和設計問題建模。
    • 求每平方英里的人口密度。
    • 由密度求物體的質量。
    • 設計一個符合條件的盒子。

複習、綜合練習與挑戰

  1. 41證明和全等複習解關於證明、變換、三角形和四邊形的綜合題。
    • 寫帶理由的證明。
    • 證明三角形全等和相似。
    • 用四邊形的性質。
  2. 42三角、圓和體積複習解關於三角、圓和立體的綜合題。
    • 解直角三角形和斜三角形。
    • 求弧、扇形和圓的方程式。
    • 求立體的體積。
  3. 43幾何挑戰完成覆蓋各大單元的綜合題。
    • 不看提示，做每個單元的題。
    • 用一條定理說明每個答案。
    • 找出還要多練的地方。