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九年级数学：代数1

解方程和不等式，画一次函数和指数函数的图，分解多项式，并解二次方程。

按顺序学习各课，从表达式一直到独立解决问题。学完后，你能解一次方程，改写公式，还能解复合不等式和绝对值不等式。你能用函数记号，把一次方程写成几种形式，并用等差数列建模。你能解方程组和不等式组，并画分段函数的图。你能用有理指数，为指数增长和衰减建模，并比较一次模型和指数模型。你能做多项式的加法和乘法并分解因式，画二次函数的图，并用因式分解、配方法和求根公式解二次方程。你能用标准差、双向表和残差概括数据。

这些课怎么用

  • 从标着做这个的课开始。标题下面那一行你自己会了，再往下。
  • 先玩游戏。再做测验。10题里对8题就通过。练习纸在纸上。答案在最下面。
  • 每一课都接着上一课。哪一课难，就退回上一课。
  • 每一步都写下来。把解代回原来的方程，检查一下。绘图计算器或免费绘图软件能帮你看函数，但先用手画草图。

每一课都有游戏、测验和练习纸。

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表达式和方程

  1. 1表达式和性质用实数的性质化简表达式。
    • 使用交换律、结合律和分配律。
    • 说出表达式的项、因式和系数。
    • 在情境中解释表达式的各部分，比如 P(1 + r)^n。
  2. 2解一次方程解多步一次方程，并说明每一步的理由。
    • 解带分数、两边都有未知数的方程。
    • 用一条性质说明每一步。
    • 认出无解的方程，以及所有实数都是解的方程。
  3. 3字母方程和公式改写公式，求出另一个变量。
    • 从 A = 1/2 bh 中求出 h。
    • 从 d = rt 中求出 t。
    • 从 2x + 3y = 6 中求出 y。
  4. 4单位和建模用单位列出模型并检查。
    • 用量纲分析换算单位。
    • 选择合适的精确程度。
    • 为真实情境写一个方程。

不等式

  1. 5解一次不等式解多步一次不等式并画图。
    • 乘或除以负数时，把不等号反过来。
    • 在数轴上画出解。
    • 用区间记号写出解。
  2. 6复合不等式解复合不等式「并且」和「或者」并画图。
    • 解 −3 < 2x + 1 ≤ 7。
    • 解 x < −2 或者 x > 5。
    • 画出交集或并集。
  3. 7绝对值方程和不等式解带绝对值的方程和不等式。
    • 把 |x − 3| = 5 写成两个方程来解。
    • 把 |x + 1| < 4 当作「并且」不等式来解。
    • 知道什么时候没有解。

一次函数

  1. 8函数记号、定义域和值域用函数记号 f(x)，并求出函数的定义域和值域。
    • 求 f(3)，并解 f(x) = 7。
    • 从图像上找出定义域和值域。
    • 为真实情境选择合适的定义域。
  2. 9变化率求出并解释一段区间上的平均变化率。
    • 从表格、图像或方程求出变化率。
    • 知道一次函数的变化率是常数。
    • 解释变化率的单位，比如每小时多少元。
  3. 10一次方程的几种形式把一次方程写成斜截式、点斜式和一般式。
    • 由一个点和斜率写出 y − y₁ = m(x − x₁)。
    • 在几种形式之间转换。
    • 从一般式求出截距。
  4. 11平行线和垂直线写出平行线和垂直线的方程。
    • 知道平行线的斜率相等。
    • 知道垂直线的斜率相乘等于 −1。
    • 写出过一点、且与另一条线平行或垂直的直线。
  5. 12等差数列把等差数列写成一次函数。
    • 求出公差。
    • 写出通项公式 aₙ = a₁ + (n − 1)d。
    • 写出递推公式。

方程组和不等式组

  1. 13解方程组用画图、代入或加减消元解一次方程组。
    • 选择最省事的方法。
    • 说明加减消元为什么行得通。
    • 认出无解的方程组，以及有无穷多个解的方程组。
  2. 14一次不等式组画一次不等式组的图，并找出解的区域。
    • 用实线和阴影画出 y ≤ 2x + 1。
    • 找出阴影重叠的地方。
    • 代一个点来检查。
  3. 15用方程组建模为实际问题列出方程组并求解。
    • 解混合问题和费用比较问题。
    • 用限制条件找出可能的解。
    • 在情境里解释这个解。

绝对值和分段函数

  1. 16绝对值函数画绝对值函数及其变换的图。
    • 把 y = |x| 画成 V 形。
    • 画出 y = a|x − h| + k。
    • 找出顶点，以及开口的方向。
  2. 17分段函数和阶梯函数画分段函数和阶梯函数的图，并求值。
    • 在给定的自变量处求分段函数的值。
    • 在各自的定义域上画出每一段。
    • 用阶梯函数为停车费建模。

指数和指数函数

  1. 18指数性质和有理指数化简带整数指数和有理指数的表达式。
    • 把所有指数法则一起用。
    • 把 x^(1/2) 写成 √x，把 8^(2/3) 写成 4。
    • 用有理指数改写根式。
  2. 19指数增长和衰减写出指数增长和衰减函数并画图。
    • 增长写成 y = a(1 + r)^t。
    • 衰减写成 y = a(1 − r)^t。
    • 解复利和人口问题。
  3. 20等比数列把等比数列写成指数函数。
    • 求出公比。
    • 写出 aₙ = a₁ × r^(n − 1)。
    • 写出递推公式。
  4. 21一次模型和指数模型判断情境是一次的还是指数的，并比较它们的增长。
    • 检查差值是否相等，或比值是否相等。
    • 知道指数增长最终会超过一次增长。
    • 根据表格建立模型。

多项式和因式分解

  1. 22多项式的加减做多项式的加法和减法。
    • 说出次数和首项系数。
    • 把多项式写成标准形式。
    • 合并同类项来做加法和减法。
  2. 23多项式的乘法做多项式的乘法。
    • 用单项式乘多项式。
    • 用面积模型把两个二项式相乘。
    • 用二项式乘三项式。
  3. 24特殊乘法公式用二项式平方和平方差的公式。
    • 使用 (a + b)² = a² + 2ab + b²。
    • 使用 (a + b)(a − b) = a² − b²。
    • 用这些公式快速相乘。
  4. 25提取公因式和分组分解提取最大公因式，并用分组分解因式。
    • 把 6x³ + 9x² 分解成 3x²(2x + 3)。
    • 把四项用分组来分解。
    • 乘回去检查。
  5. 26分解三项式分解形如 ax² + bx + c 的三项式。
    • 分解 x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)。
    • 在 a ≠ 1 时分解。
    • 认出不能分解的三项式。
  6. 27分解特殊式分解完全平方式和平方差。
    • 分解 x² − 49。
    • 分解 4x² + 12x + 9。
    • 分几步完全分解。

二次函数和二次方程

  1. 28画二次函数的图画二次函数的图，并找出关键特征。
    • 找出顶点、对称轴和截距。
    • 用 x = −b/(2a) 求顶点。
    • 知道抛物线何时开口向上或向下。
  2. 29顶点式和变换画顶点式 y = a(x − h)² + k 的图，并描述变换。
    • 读出顶点 (h, k)。
    • 描述拉伸、压缩、反射和平移。
    • 根据图像写出二次函数。
  3. 30用因式分解解二次方程用因式分解解二次方程。
    • 使用零积性质。
    • 先把方程化成等于 0。
    • 把解和 x 轴截距连起来。
  4. 31用平方根解二次方程用开平方解二次方程。
    • 解 x² = 25，得到 x = ±5。
    • 解 (x − 3)² = 16。
    • 把答案里的平方根化简。
  5. 32配方法用配方法解二次方程并求顶点。
    • 两边都加上 (b/2)²。
    • 解 x² + 6x − 7 = 0。
    • 把标准形式改写成顶点式。
  6. 33求根公式用求根公式解任意二次方程。
    • 使用 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。
    • 用判别式数出实数解的个数。
    • 为给定的方程选择最好的方法。
  7. 34二次模型用二次函数为抛体和面积建模。
    • 求出扔出的球的最大高度。
    • 求出它落地的时刻。
    • 求出面积最大时的尺寸。
  8. 35一次与二次的方程组解由直线和抛物线组成的方程组。
    • 用代入法来解。
    • 知道解可以有 0 个、1 个或 2 个。
    • 用图像来检查。

统计

  1. 36数据分布和标准差用形状、中心和离散程度比较数据组。
    • 求出平均数和标准差。
    • 偏态数据选用中位数和四分位距。
    • 解释离群值的影响。
  2. 37双向表和相对频率求联合、边缘和条件相对频率。
    • 做出双向频数表。
    • 按行和按列求相对频率。
    • 描述可能的关联。
  3. 38相关和残差给数据拟合直线，求相关，并读残差。
    • 用工具求出最佳拟合直线。
    • 解释相关系数 r。
    • 用残差图判断拟合好坏，并知道相关不是因果。

复习、综合练习与挑战

  1. 39一次和指数复习解方程、不等式、方程组和指数模型的综合题。
    • 解方程和不等式。
    • 写出并画出一次函数和方程组。
    • 建立指数模型。
  2. 40多项式和二次复习解多项式、二次和数据的综合题。
    • 做多项式的乘法并分解因式。
    • 用最好的方法解二次方程。
    • 概括数据并建立模型。
  3. 41代数1挑战完成覆盖各主要单元的综合题。
    • 不看提示，做每个单元的题。
    • 为情境选择合适的模型。
    • 找出还需要多练的地方。
九年级数学：代数1