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高三数学：预备微积分

分析函数，掌握三角函数，学习向量、极坐标、圆锥曲线和矩阵，并初步认识极限。

按顺序学习各课，从分析函数一直到独立解决问题。学完后，你能分析函数、组合函数，解多项式不等式和有理不等式，并用指数函数、对数函数和逻辑斯蒂函数建立模型。你能画出全部六个三角函数和反三角函数，验证三角恒等式，解三角方程。你能解任意三角形，并用向量处理力和运动。你能在极坐标中画图，把复数写成极坐标形式，并使用棣莫弗定理。你能画出参数方程和圆锥曲线，并用矩阵解方程组。你能用归纳法证明命题，并求极限。极限是微积分的第一个想法。

这些课怎么用

  • 从标着做这个的课开始。标题下面那一行你自己会了，再往下。
  • 先玩游戏。再做测验。10题里对8题就通过。练习纸在纸上。答案在最下面。
  • 每一课都接在前一课后面。哪一课难，就退回前一课。
  • 这门课帮你准备微积分。把单位圆背熟。学到恒等式就记在一张表上。每张图先用手画，再用绘图软件核对。

每一课都有游戏、测验和练习纸。

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再看函数

  1. 1分析函数的变化描述函数的变化：它在哪里递增、递减，以及在哪里达到极值。
    • 找出递增和递减的区间。
    • 找出相对极值和绝对极值。
    • 求出一个区间上的平均变化率。
  2. 2组合函数与分解函数把旧函数组合成新函数，并把一个函数分解成复合函数。
    • 复合函数并求出定义域。
    • 把 h(x) = √(x² + 1) 写成 f(g(x))。
    • 用复合函数为一个情境建立模型。
  3. 3反函数与定义域限制限制定义域，使函数有反函数。
    • 使用水平线检验。
    • 限制 x² 的定义域，求出它的反函数。
    • 从表格或图像读出反函数的值。

多项式函数与有理函数

  1. 4多项式的变化与不等式用零点和符号表解多项式不等式。
    • 找出全部零点及其重数。
    • 用符号表解 p(x) ≥ 0。
    • 用多项式为体积和利润建立模型。
  2. 5有理函数与斜渐近线画出有理函数的图像，包括斜渐近线。
    • 找出垂直、水平和斜渐近线。
    • 找出空洞和截距。
    • 描述两端的变化。
  3. 6有理不等式解有理不等式。
    • 找出零点和没有定义的点。
    • 使用符号表。
    • 用区间记号写出解。

指数、对数与逻辑斯蒂模型

  1. 7指数函数与对数函数画出指数函数和对数函数的图像，解方程，并用它们建立模型。
    • 画出指数函数和对数函数的变换图像。
    • 用对数解方程。
    • 为复利增长和连续增长建立模型。
  2. 8逻辑斯蒂增长用逻辑斯蒂函数为会趋于平稳的增长建立模型。
    • 读出环境容纳量。
    • 找出增长最快的点。
    • 比较逻辑斯蒂增长和指数增长。
  3. 9半对数图与数据拉直用对数把指数型数据在半对数图上拉成直线。
    • 以 x 为横轴、log y 为纵轴描点。
    • 知道指数型数据在半对数图上看起来是直线。
    • 从这条直线求出指数模型。

三角函数

  1. 10弧度与单位圆在单位圆上求出任意弧度角的六个三角函数值。
    • 在角度和弧度之间转换。
    • 求出特殊角的精确值。
    • 求弧长和角速度。
  2. 11画出全部六个三角函数画出全部六个三角函数：正弦、余弦、正切，以及它们的倒数函数。
    • 画出带渐近线的正切和余切。
    • 由余弦和正弦画出正割和余割。
    • 求出周期、振幅和平移。
  3. 12反三角函数求反三角函数的值，并画出反正弦、反余弦和反正切。
    • 知道每个函数被限制后的定义域。
    • 求出精确值，例如 arcsin(1/2)。
    • 求复合值，例如 cos(arctan x)。
  4. 13正弦模型根据数据建立正弦模型，并用它来预测。
    • 为日照时长和声波建立模型。
    • 求出波的频率。
    • 用模型求出时间。

三角恒等式与方程

  1. 14基本恒等式使用基本恒等式：倒数恒等式、商恒等式、勾股恒等式和奇偶恒等式。
    • 使用全部三个勾股恒等式。
    • 使用奇偶恒等式和余函数恒等式。
    • 化简三角式。
  2. 15验证恒等式一步一步验证三角恒等式。
    • 只改等式的一边。
    • 改写成正弦和余弦。
    • 因式分解，并合并分式。
  3. 16和差公式使用正弦、余弦和正切的和差公式。
    • 求出 sin 75° 的精确值。
    • 证明这些公式。
    • 用它们化简式子。
  4. 17二倍角与半角公式使用二倍角公式和半角公式。
    • 使用 sin 2θ = 2 sin θ cos θ。
    • 使用 cos 2θ 的全部三种形式。
    • 求出半角的精确值。
  5. 18解三角方程在一个区间上解三角方程，并写出通解。
    • 找出 [0, 2π) 中的全部解。
    • 写出通解。
    • 用因式分解和恒等式来解。

三角形与向量

  1. 19正弦定理与两解情况用正弦定理解三角形，包括 SSA 的两解情况。
    • 使用正弦定理。
    • 判断 SSA 给出 0 个、1 个还是 2 个三角形。
    • 解决航行问题。
  2. 20余弦定理与海伦公式用余弦定理解三角形，并用海伦公式求面积。
    • 对 SAS 和 SSS 使用余弦定理。
    • 使用海伦公式。
    • 为一个三角形选择合适的定理。
  3. 21向量用大小和方向描述向量，并写成分量形式。
    • 把向量写成分量形式。
    • 求出大小和方向角。
    • 求出单位向量。
  4. 22向量运算与点积把向量相加、数乘，并求点积。
    • 用分量和图把向量相加。
    • 求出点积和向量之间的夹角。
    • 求出一个向量在另一个向量上的投影。
  5. 23向量的应用用向量解决力、速度和功的问题。
    • 求合力。
    • 求飞机在风中的地速。
    • 用点积求功。

极坐标与复数

  1. 24极坐标在极坐标中描点，并与直角坐标互化。
    • 描出点 (r, θ)。
    • 在极坐标和直角坐标之间转换点。
    • 在两种形式之间转换方程。
  2. 25极坐标图像画出极坐标图像：圆、玫瑰线、蚶线和心形线。
    • 画出 r = a cos θ 和 r = a sin θ。
    • 画出玫瑰线 r = a cos(nθ)。
    • 利用对称更快地画图。
  3. 26复数的极坐标形式把复数写成极坐标形式，并做乘法。
    • 描出复数并求出模。
    • 写成 z = r(cos θ + i sin θ)。
    • 在极坐标形式下做乘法和除法。
  4. 27棣莫弗定理用棣莫弗定理求复数的幂和根。
    • 用棣莫弗定理求幂。
    • 求一个复数的 n 次根。
    • 描出单位根。

参数方程与圆锥曲线

  1. 28参数方程画出参数方程的图像，并用它们为运动建立模型。
    • 由 x(t) 和 y(t) 画出曲线。
    • 消去参数。
    • 为抛体运动建立模型。
  2. 29抛物线根据焦点和准线画出抛物线。
    • 使用焦点和准线的定义。
    • 由焦点和顶点写出方程。
    • 知道为什么卫星天线是抛物面。
  3. 30椭圆画出椭圆并求出焦点。
    • 使用 (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1。
    • 用 c² = a² − b² 求焦点。
    • 为行星轨道建立模型。
  4. 31双曲线画出带渐近线和焦点的双曲线。
    • 使用 (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1。
    • 求出渐近线和焦点。
    • 由一般方程判断是哪种圆锥曲线。

矩阵与方程组

  1. 32矩阵运算把矩阵相加、数乘，并把矩阵相乘。
    • 知道相乘需要的行列数。
    • 把两个矩阵相乘。
    • 知道矩阵乘法不能交换顺序。
  2. 33行列式与逆矩阵求矩阵的行列式和逆矩阵。
    • 求 2×2 和 3×3 的行列式。
    • 求 2×2 的逆矩阵。
    • 知道行列式为 0 的矩阵没有逆矩阵。
  3. 34用矩阵解方程组用矩阵解方程组。
    • 把方程组写成 AX = B。
    • 用逆矩阵来解。
    • 把增广矩阵化成阶梯形。
  4. 35矩阵作为变换用矩阵作为变换来旋转、反射和缩放图形。
    • 写出旋转的矩阵。
    • 用乘法把变换复合起来。
    • 知道行列式给出面积的缩放倍数。

归纳法与极限

  1. 36数学归纳法用数学归纳法证明一个命题对每一个非负整数都成立。
    • 证明基础情形。
    • 证明归纳步骤。
    • 证明一个求和公式。
  2. 37极限入门从图像、表格和代数中求极限。
    • 从图像读出单侧极限。
    • 用代入和因式分解求极限。
    • 知道什么时候极限不存在。
  3. 38无穷远处的极限与连续性求无穷远处的极限，并判断函数在哪里连续。
    • 把无穷远处的极限和水平渐近线联系起来。
    • 求无穷数列的极限。
    • 说出可去间断、跳跃间断和无穷间断。
  4. 39变化率与切线用极限求瞬时变化率。
    • 求割线的斜率。
    • 用极限求切线的斜率。
    • 把它和瞬时速度联系起来。

复习、综合练习与挑战

  1. 40函数与三角函数复习用函数、恒等式和三角方程解决综合问题。
    • 分析任意一类函数。
    • 证明恒等式并解三角方程。
    • 解三角形。
  2. 41向量、极坐标、圆锥曲线与极限复习用向量、极坐标形式、圆锥曲线、矩阵和极限解决综合问题。
    • 使用向量和极坐标。
    • 画出圆锥曲线并用矩阵解方程组。
    • 求极限。
  3. 42预备微积分挑战完成覆盖预备微积分主要单元的综合题目。
    • 不看提示，做每个单元的题。
    • 讲清每一步。
    • 找出还需要多练的地方。