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高二数学：代数2

学习复数、多项式函数、有理函数、根式函数、指数函数、对数函数和三角函数，并用概率和统计做决定。

按顺序学习各课，从母函数与变换一直到独立解决问题。学完后，你能对函数做变换、复合，并求反函数。你能解带复数解的二次方程。你能画多项式函数，做多项式除法，并找出全部零点。你能化简有理式和根式，画出有理函数和根式函数，并解有理方程和根式方程。你能用对数解指数方程，并建立指数模型和对数模型。你能求等差级数和等比级数的和。你能用单位圆，画出正弦和余弦，并给周期现象建模。你能求条件概率，用正态分布，并从调查和实验判断结论。

这些课怎么用

  • 从标着做这个的课开始。标题下面那一行你自己会了，再往下。
  • 先玩游戏。再做测验。10题里对8题就通过。练习纸在纸上。答案在最下面。
  • 每一课都接在前一课后面。哪一课难，就退回一课。
  • 每学一类新函数，先认母函数的图，再学变换。先用手画，再用绘图软件核对。每个解都代回原方程，因为有的步骤会多出增根。

每一课都有游戏、测验和练习纸。

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函数与变换

  1. 1母函数与变换由母函数画出 y = a·f(b(x − h)) + k。
    • 认出一次、二次、绝对值和三次母函数的图像。
    • 说出平移、拉伸和反射。
    • 区分偶函数和奇函数。
  2. 2函数运算与复合对函数做运算和复合：加、减、乘、除。
    • 求 (f + g)(x) 和 (fg)(x)。
    • 求 f(g(x)) 和 g(f(x))。
    • 求运算或复合后函数的定义域。
  3. 3反函数求出一个函数的反函数，并画出反函数。
    • 交换 x 和 y，再解出 y。
    • 知道反函数是关于 y = x 的反射。
    • 用复合验证反函数，并限制定义域。

二次方程与复数

  1. 4复数对复数做加、减、乘、除。
    • 用 i² = −1。
    • 把答案写成 a + bi。
    • 用共轭复数做除法。
  2. 5带复数解的二次方程解任意二次方程，包括带复数解的。
    • 判别式为负时用求根公式。
    • 知道复数解成共轭对出现。
    • 把没有 x 截距和复数解联系起来。
  3. 6二次不等式与方程组解二次不等式和非线性方程组。
    • 用符号表解 x² − x − 6 > 0。
    • 画出二次不等式。
    • 解一条直线和一个圆组成的方程组。

多项式函数

  1. 7画多项式函数按次数、端点行为和零点画出多项式函数。
    • 由首项判断端点行为。
    • 知道重数怎样改变零点处的图像。
    • 找出转折点和相对极值。
  2. 8多项式除法用长除法和综合除法做多项式除法。
    • 用多项式长除法。
    • 对 x − c 用综合除法。
    • 把结果写成带余式的形式。
  3. 9余式定理与因式定理用余式定理和因式定理找因式。
    • 知道 p(a) 是除以 x − a 的余式。
    • 知道 p(a) = 0 时，x − a 是因式。
    • 由一个已知零点分解三次多项式。
  4. 10找出全部零点找出多项式的全部实数零点和复数零点。
    • 用有理根定理列出候选。
    • 知道代数基本定理。
    • 由零点写出多项式。
  5. 11多项式恒等式证明并使用多项式恒等式。
    • 分解立方和与立方差。
    • 展开来证明恒等式。
    • 用恒等式生成勾股数。
  6. 12二项式定理用杨辉三角和二项式定理展开 (a + b)ⁿ。
    • 写出杨辉三角。
    • 用组合数做系数。
    • 求出展开式中的一项。

有理函数

  1. 13化简有理式化简有理式，并写出限制条件。
    • 分解分子和分母。
    • 约去公因式。
    • 列出不允许的值。
  2. 14有理式的乘法和除法做有理式的乘法和除法。
    • 相乘前先分解。
    • 除法改成乘倒数。
    • 化简繁分式。
  3. 15有理式的加法和减法做分母不同的有理式的加法和减法。
    • 求最小公分母。
    • 改写每个分式再合并。
    • 化简结果。
  4. 16画有理函数画出有理函数，标出渐近线和洞。
    • 找出垂直渐近线和洞。
    • 由次数找出水平渐近线。
    • 画出 y = a/(x − h) + k。
  5. 17解有理方程解有理方程，并检查增根。
    • 两边乘最小公分母。
    • 丢掉使分母为 0 的解。
    • 解工作效率题和平均成本题。

根式函数

  1. 18根式化简根式，并合并 n 次根式。
    • 化简 ∛54 和 √(50x³)。
    • 对根式做加、减、乘。
    • 把分母有理化。
  2. 19画平方根函数和立方根函数画出平方根函数和立方根函数，以及它们的变换。
    • 画出 y = √x 和 y = ∛x。
    • 求出定义域和值域。
    • 把它们看成 x² 和 x³ 的反函数。
  3. 20解根式方程解根式方程，并检查增根。
    • 先把根式单独留在一边。
    • 两边同时乘方。
    • 把每个解代回原方程检查。

指数函数与对数函数

  1. 21指数函数与 e画出指数函数，并使用数 e。
    • 画出 y = abˣ，并找出渐近线。
    • 用 A = Pe^(rt) 做连续增长。
    • 比较不同的复利期。
  2. 22对数在指数式和对数式之间改写，并画出对数函数。
    • 知道 log_b x = y 就是 bʸ = x。
    • 计算常用对数和自然对数。
    • 把 y = log_b x 画成 bˣ 的反函数。
  3. 23对数的性质展开对数，并把对数合并。
    • 用积、商、幂法则。
    • 展开式子，也把式子合并。
    • 用换底公式。
  4. 24解指数方程和对数方程解指数方程和对数方程。
    • 两边取对数来解 3ˣ = 20。
    • 改写成指数式来解对数方程。
    • 丢掉定义域以外的解。
  5. 25指数模型与对数模型建立并使用指数模型和对数模型。
    • 求倍增时间和半衰期。
    • 使用 pH 和分贝标度。
    • 给数据配一个指数模型。

数列与级数

  1. 26求和符号用求和符号写出和，并算出这个和。
    • 读出指标、上下限和通项。
    • 展开一个短的和并加起来。
    • 把一个和写成求和符号。
  2. 27等差级数求等差级数的和。
    • 用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。
    • 求出项数。
    • 解座位题和储蓄题。
  3. 28等比级数求有限等比级数和无穷等比级数的和。
    • 用 Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)。
    • 知道 |r| < 1 时无穷级数收敛。
    • 求贷款和房贷的还款。

三角函数

  1. 29单位圆用单位圆求任意角的正弦和余弦。
    • 用角度和弧度画标准位置的角。
    • 求特殊角的精确值。
    • 用参考角，并按象限定符号。
  2. 30画正弦和余弦按振幅、周期和位移画出正弦和余弦。
    • 求出振幅和周期。
    • 画出相位移动和上下移动。
    • 画出 y = tan x。
  3. 31给周期现象建模写一个三角函数，给周期现象建模。
    • 给潮汐和摩天轮建模。
    • 从数据找出中线和振幅。
    • 用模型做预测。
  4. 32勾股恒等式证明并使用勾股恒等式 sin²θ + cos²θ = 1。
    • 用单位圆证明这个恒等式。
    • 由 sin θ 和象限求 cos θ。
    • 化简三角式。

概率与统计

  1. 33排列与组合数出排列和组合。
    • 用计数原理。
    • 知道什么时候顺序有关。
    • 用 nPr 和 nCr 求概率。
  2. 34条件概率与独立求条件概率，并检验是否独立。
    • 用 P(A | B) = P(A 且 B) / P(B)。
    • 用加法公式。
    • 知道当 P(A 且 B) = P(A)P(B) 时，A 和 B 独立。
  3. 35正态分布用正态分布估计百分比。
    • 用 68-95-99.7 规则。
    • 求 z 分数并说明它的意思。
    • 知道什么时候正态模型合适。
  4. 36调查、实验和研究区分调查、实验和观察研究。
    • 知道随机化怎样减少偏差。
    • 知道只有实验能说明因果。
    • 找出调查问题里的偏差。
  5. 37误差范围与推断用模拟和误差范围判断结论。
    • 由样本估计总体比例。
    • 解释误差范围。
    • 用模拟判断一个差异是否显著。

复习、综合练习与挑战

  1. 38函数族复习解多项式函数、有理函数、根式函数和指数函数的综合题。
    • 把图像和函数族对上。
    • 解每一种方程。
    • 检查增根。
  2. 39级数、三角与统计复习解级数、三角函数和概率的综合题。
    • 求等差级数和等比级数的和。
    • 用三角函数画图和建模。
    • 求概率并解释统计结果。
  3. 40代数2挑战完成覆盖各大单元的代数2挑战题。
    • 不看提示，做每个单元的题。
    • 选对的函数给情境建模。
    • 找出还需要多练的地方。
高二数学：代数2