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高一数学：几何

写证明，用变换，证明三角形全等和相似，用三角学解直角三角形，并学习圆和立体。

按顺序学习各课，从点和直线一直到独立解决问题。学完后，你能用逻辑和作图，证明关于直线和角的定理，并用刚体变换说明全等。你能证明三角形全等，用三角形和四边形的性质，并用位似证明三角形相似。你能用勾股定理和三角学解直角三角形，并用正弦定理和余弦定理。你能求弧长、扇形面积和圆周角，并写出圆的方程。你能写坐标证明，并求棱柱、圆柱、棱锥、圆锥和球的体积。

这些课怎么用

  • 从标着做这个的课开始。标题下面那一行你自己会了，再往下。
  • 先玩游戏。再做测验。10题里对8题就通过。练习纸在纸上。答案在最下面。
  • 每一课都接在前一课后面。哪一课难，就退回上一课。
  • 每道题都画图并标好。把圆规、直尺和量角器放在手边。写证明时，每一步都要写理由。

每一课都有游戏、测验和练习纸。

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基础、作图和逻辑

  1. 1点、直线和平面说出并描述点、直线、射线、线段和平面。
    • 正确使用直线、射线和线段的记号。
    • 知道几何里不定义的基本概念。
    • 描述直线和平面怎样相交。
  2. 2距离、中点和角的度数求出长度、中点和角的度数。
    • 在坐标平面上用距离公式。
    • 用中点公式。
    • 用线段加法公设和角的加法公设。
  3. 3作图用圆规和直尺作复制图、平分线和垂线。
    • 复制一条线段和一个角。
    • 平分一条线段和一个角。
    • 作一条垂线和一条平行线。
  4. 4逻辑和条件语句写条件语句、逆命题和反例。
    • 写出逆命题、否命题和逆否命题。
    • 给一句假话找一个反例。
    • 分辨归纳推理和演绎推理。

直线、角和证明

  1. 5平行线和截线用平行线和一条截线形成的角对。
    • 说出同位角、内错角和同旁内角。
    • 求出未知的角。
    • 由角对证明直线平行。
  2. 6写证明写两栏证明和段落证明。
    • 用定义、公设和定理作为理由。
    • 在证明里用代数性质。
    • 把一个证明写成两栏和段落两种形式。
  3. 7证明直线和角的定理证明关于对顶角和垂直平分线的定理。
    • 证明对顶角全等。
    • 证明垂直平分线上的点到两端距离相等。
    • 证明内错角定理。

变换和全等

  1. 8刚体变换把平移、反射和旋转说成函数。
    • 写出这样的规则，例如 (x, y) → (−y, x)。
    • 描述一串变换。
    • 知道刚体变换保持长度和角度。
  2. 9用刚体变换说明全等用一串刚体变换说明图形全等。
    • 用刚体变换定义全等。
    • 找出把一个图形变到另一个图形的一串变换。
    • 说出对应部分。
  3. 10对称找出图形的轴对称和旋转对称。
    • 找出多边形的对称轴。
    • 求出旋转对称的角度。
    • 描述把图形变到自身的变换。

三角形

  1. 11三角形全等用 SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL 证明三角形全等。
    • 选对全等判定。
    • 知道为什么 SSA 不行。
    • 在证明里用 CPCTC。
  2. 12三角形的角定理证明并用三角形内角和定理和外角定理。
    • 证明三角形的角加起来是 180°。
    • 用外角定理。
    • 用代数求未知的角。
  3. 13等腰三角形和等边三角形用底角定理和它的逆定理。
    • 知道等腰三角形的两个底角相等。
    • 用逆定理找出相等的边。
    • 知道等边三角形是等角的。
  4. 14平分线、中线和高找出外心、内心、重心和垂心。
    • 作出每个三角形的中心。
    • 知道重心把中线分成 2 比 1。
    • 用中位线定理。
  5. 15三角形不等式判断三条长度能不能组成三角形，并给边和角排序。
    • 用三角形不等式定理。
    • 知道最长的边对着最大的角。
    • 求出第三条边可能的长度范围。

多边形和四边形

  1. 16多边形的内角和求多边形的内角和与外角和。
    • 内角和用 (n − 2) × 180°。
    • 知道外角加起来是 360°。
    • 求出正多边形的每一个角。
  2. 17平行四边形的性质证明并用平行四边形的性质。
    • 证明对边和对角全等。
    • 证明对角线互相平分。
    • 说明一个四边形是平行四边形。
  3. 18矩形、菱形和正方形用特殊平行四边形的性质。
    • 知道矩形的对角线全等。
    • 知道菱形的对角线互相垂直。
    • 根据性质给四边形分类。
  4. 19梯形和筝形用梯形和筝形的性质。
    • 用梯形中位线定理。
    • 知道等腰梯形的性质。
    • 知道筝形的对角线互相垂直。

相似

  1. 20位似作图形的位似，并说明比例系数的作用。
    • 从一点作比例系数为 k 的位似。
    • 知道位似把一条直线变成与它平行的直线。
    • 用位似和刚体变换定义相似。
  2. 21相似三角形用 AA、SAS 和 SSS 证明三角形相似。
    • 用 AA 相似判定。
    • 列出比例式，求出未知的边。
    • 用影子解决间接测量问题。
  3. 22三角形中的比例用平行线分线段定理和角平分线定理。
    • 用平行线分线段定理。
    • 用三角形的角平分线定理。
    • 用相似三角形证明勾股定理。

直角三角形和三角学

  1. 23勾股定理及其逆定理用勾股定理，并按边给三角形分类。
    • 求直角三角形里未知的边。
    • 用逆定理检验是不是直角三角形。
    • 把三角形分成锐角、直角或钝角。
  2. 24特殊直角三角形求 45-45-90 和 30-60-90 三角形的边。
    • 用比 1 : 1 : √2。
    • 用比 1 : √3 : 2。
    • 答案保留根式，写准确值。
  3. 25正弦、余弦和正切求直角三角形中的三角函数比。
    • 用 SOH CAH TOA。
    • 知道这些比来自相似三角形。
    • 知道 sin A = cos (90° − A)。
  4. 26解直角三角形用三角学求未知的边和角。
    • 用反三角函数求角。
    • 解仰角和俯角问题。
    • 答案要合理地四舍五入。
  5. 27正弦定理和余弦定理用正弦定理或余弦定理解任意三角形。
    • 用正弦定理。
    • 用余弦定理。
    • 用 1/2 ab sin C 求面积。

圆

  1. 28圆的部分和弧说出圆的各部分，并求弧的度数。
    • 说出半径、弦、直径、割线和切线。
    • 求劣弧和优弧的度数。
    • 知道所有的圆都相似。
  2. 29弧长和弧度求弧长，并在度和弧度之间换算。
    • 把弧长求成圆周长的一部分。
    • 说明什么是弧度。
    • 在度和弧度之间换算。
  3. 30扇形面积求扇形的面积。
    • 把扇形面积求成圆面积的一部分。
    • 求弓形的面积。
    • 解比萨和喷水器的问题。
  4. 31圆周角用圆周角和弧的关系。
    • 知道圆周角是它所对弧的一半。
    • 知道半圆上的圆周角是直角。
    • 知道圆内接四边形的对角之和是 180°。
  5. 32切线、弦和割线用切线、弦和割线的性质。
    • 知道切线垂直于半径。
    • 用弦和割线的线段乘积。
    • 求弦、割线和切线所成的角。
  6. 33圆的方程写出并画出圆的方程。
    • 用 (x − h)² + (y − k)² = r²。
    • 用配方法求圆心和半径。
    • 判断一个点在不在圆上。

坐标几何

  1. 34坐标证明用坐标证明几何事实。
    • 把图形合理地放在坐标平面上。
    • 用斜率和距离给四边形分类。
    • 证明一条中位线平行于一条边。
  2. 35按比分线段找出按给定的比分线段的点。
    • 找出从 A 到 B 走了 2/5 的那个点。
    • 把线段按 1 : 3 来分。
    • 把分线段和位似联系起来。
  3. 36用坐标求周长和面积求坐标平面上多边形的周长和面积。
    • 用距离公式求周长。
    • 把图形拆开，或放进一个矩形里，来求面积。
    • 由顶点求三角形的面积。

体积和建模

  1. 37棱柱和圆柱的体积求棱柱和圆柱的体积，并说明理由。
    • 用 V = Bh。
    • 说明卡瓦列里原理。
    • 求倾斜立体的体积。
  2. 38棱锥、圆锥和球求棱锥、圆锥和球的体积和表面积。
    • 用 V = 1/3 Bh。
    • 用 V = 4/3 πr³ 和 SA = 4πr²。
    • 解组合体的问题。
  3. 39截面和旋转体描述截面，以及把一个图形旋转后得到的立体。
    • 说出棱柱、圆柱和圆锥的截面。
    • 描述把矩形或三角形旋转后得到的立体。
    • 把平面图形和立体联系起来。
  4. 40密度和设计建模用几何为密度和设计问题建模。
    • 求每平方英里的人口密度。
    • 由密度求物体的质量。
    • 设计一个符合条件的盒子。

复习、综合练习与挑战

  1. 41证明和全等复习解关于证明、变换、三角形和四边形的综合题。
    • 写带理由的证明。
    • 证明三角形全等和相似。
    • 用四边形的性质。
  2. 42三角学、圆和体积复习解关于三角学、圆和立体的综合题。
    • 解直角三角形和斜三角形。
    • 求弧、扇形和圆的方程。
    • 求立体的体积。
  3. 43几何挑战完成覆盖各大单元的综合题。
    • 不看提示，做每个单元的题。
    • 用一条定理说明每个答案。
    • 找出还要多练的地方。
高一数学：几何