Все уроки

Курс

Математика 9 класса: Алгебра 1

Решай уравнения и неравенства, строй графики линейных и показательных функций, раскладывай многочлены на множители и решай квадратные уравнения.

Проходи уроки по порядку: от выражений до самостоятельного решения задач. К концу ты умеешь решать линейные уравнения, преобразовывать формулы и решать составные неравенства и неравенства с модулем. Ты умеешь использовать обозначение функции, записывать линейные уравнения в нескольких видах и моделировать арифметическими прогрессиями. Ты умеешь решать системы уравнений и неравенств и строить графики кусочных функций. Ты умеешь использовать рациональные показатели, моделировать показательный рост и убывание и сравнивать линейные и показательные модели. Ты умеешь складывать, умножать и раскладывать многочлены на множители, строить графики квадратных функций и решать квадратные уравнения разложением на множители, выделением полного квадрата и квадратной формулой. Ты умеешь описывать данные с помощью стандартного отклонения, таблиц сопряжённости и остатков.

Как пользоваться этими уроками

  • Начни с урока, где написано Сделай это. Иди дальше, когда сам делаешь строку под названием.
  • Сначала играй: Игры. Потом сделай: Проверка. 8 из 10 верно для зачёта. Листы на бумаге. Ответы внизу.
  • Каждый урок опирается на предыдущий. Если урок трудный, вернись на один назад.
  • Записывай каждый шаг. Проверь решение: подставь его в исходное уравнение. Калькулятор графиков или бесплатное приложение помогает увидеть функции. Сначала набросай график от руки.

В каждом уроке есть игры, проверка и листы.

0 из 41

Выражения и уравнения

  1. 1Выражения и свойстваУпрощай выражения с помощью свойств действительных чисел.
    • Используй переместительное, сочетательное и распределительное свойства.
    • Называй слагаемые, множители и коэффициенты выражения.
    • Объясняй части выражения в задаче, например P(1 + r)^n.
  2. 2Решение линейных уравненийРешай многошаговые линейные уравнения и обосновывай каждый шаг.
    • Решай уравнения с дробями и переменными в обеих частях.
    • Объясняй каждый шаг свойством.
    • Узнавай уравнения без решений и уравнения, верные для всех действительных чисел.
  3. 3Буквенные уравнения и формулыПреобразуй формулу, чтобы выразить другую переменную.
    • Вырази h из A = 1/2 bh.
    • Вырази t из d = rt.
    • Вырази y из 2x + 3y = 6.
  4. 4Единицы и моделиИспользуй единицы, чтобы составить и проверить модель.
    • Переводи единицы с помощью анализа размерностей.
    • Выбирай разумную точность.
    • Составляй уравнение для реальной ситуации.

Неравенства

  1. 5Решение линейных неравенствРешай и строй графики многошаговых линейных неравенств.
    • Меняй знак, когда умножаешь или делишь на отрицательное число.
    • Строй решение на числовой прямой.
    • Записывай решение в интервальной записи.
  2. 6Составные неравенстваРешай и строй графики составных неравенств «и» и «или».
    • Реши −3 < 2x + 1 ≤ 7.
    • Реши x < −2 или x > 5.
    • Построй график пересечения или объединения.
  3. 7Уравнения и неравенства с модулемРешай уравнения и неравенства с модулем.
    • Реши |x − 3| = 5 как два уравнения.
    • Реши |x + 1| < 4 как неравенство «и».
    • Знай, когда решений нет.

Линейные функции

  1. 8Обозначение функции, область определения и область значенийИспользуй обозначение функции f(x) и находи область определения и область значений функции.
    • Вычисли f(3) и реши f(x) = 7.
    • Найди область определения и область значений по графику.
    • Выбери разумную область определения для реальной ситуации.
  2. 9Скорость измененияНаходи и объясняй среднюю скорость изменения на промежутке.
    • Найди скорость изменения по таблице, графику или уравнению.
    • Знай, что у линейной функции скорость изменения постоянна.
    • Объясни единицы скорости, например долларов в час.
  3. 10Виды линейных уравненийЗаписывай линейные уравнения в виде с угловым коэффициентом, через точку и наклон и в стандартном виде.
    • Запиши y − y₁ = m(x − x₁) по точке и угловому коэффициенту.
    • Переводи из одного вида в другой.
    • Найди пересечения с осями из стандартного вида.
  4. 11Параллельные и перпендикулярные прямыеЗаписывай уравнения параллельных и перпендикулярных прямых.
    • Знай, что у параллельных прямых угловые коэффициенты равны.
    • Знай, что угловые коэффициенты перпендикулярных прямых в произведении дают −1.
    • Запиши прямую через точку, параллельную или перпендикулярную другой.
  5. 12Арифметические прогрессииЗаписывай арифметические прогрессии как линейные функции.
    • Найди разность прогрессии.
    • Запиши явную формулу aₙ = a₁ + (n − 1)d.
    • Запиши рекуррентную формулу.

Системы уравнений и неравенств

  1. 13Решение систем уравненийРешай систему линейных уравнений графически, подстановкой или сложением.
    • Выбери самый удобный способ.
    • Объясни, почему метод сложения работает.
    • Узнавай системы без решений и с бесконечно многими решениями.
  2. 14Системы линейных неравенствСтрой график системы линейных неравенств и находи область решений.
    • Построй график y ≤ 2x + 1 сплошной линией и штриховкой.
    • Найди, где закрашенные области пересекаются.
    • Проверь точку подстановкой.
  3. 15Модели с системамиСоставляй и решай системы для задач из жизни.
    • Решай задачи на смеси и сравнение стоимости.
    • Используй ограничения, чтобы найти возможные решения.
    • Объясни решение в условии задачи.

Модуль и кусочные функции

  1. 16Функции с модулемСтрой графики функций с модулем и их преобразований.
    • Построй график y = |x| в форме буквы V.
    • Построй график y = a|x − h| + k.
    • Найди вершину и сторону, в которую график открыт.
  2. 17Кусочные и ступенчатые функцииСтрой графики и вычисляй значения кусочных и ступенчатых функций.
    • Вычисли значение кусочной функции при заданном аргументе.
    • Построй график каждого куска на своей области.
    • Смоделируй плату за парковку ступенчатой функцией.

Степени и показательные функции

  1. 18Свойства степеней и рациональные показателиУпрощай выражения с целыми и рациональными показателями.
    • Используй все правила степеней вместе.
    • Запиши x^(1/2) как √x и 8^(2/3) как 4.
    • Перепиши корни с рациональными показателями.
  2. 19Показательный рост и убываниеЗаписывай и строй графики функций показательного роста и убывания.
    • Запиши y = a(1 + r)^t для роста.
    • Запиши y = a(1 − r)^t для убывания.
    • Решай задачи на сложные проценты и численность населения.
  3. 20Геометрические прогрессииЗаписывай геометрические прогрессии как показательные функции.
    • Найди знаменатель прогрессии.
    • Запиши aₙ = a₁ × r^(n − 1).
    • Запиши рекуррентную формулу.
  4. 21Линейные и показательные моделиРешай, линейная ситуация или показательная, и сравнивай их рост.
    • Проверь равные разности или равные отношения.
    • Знай, что показательный рост со временем обгоняет линейный.
    • Составь модель по таблице.

Многочлены и разложение на множители

  1. 22Сложение и вычитание многочленовСкладывай и вычитай многочлены.
    • Назови степень и старший коэффициент.
    • Запиши многочлен в стандартном виде.
    • Сложи и вычти, объединяя подобные слагаемые.
  2. 23Умножение многочленовУмножай многочлены.
    • Умножь одночлен на многочлен.
    • Умножь два двучлена с помощью модели площади.
    • Умножь двучлен на трёхчлен.
  3. 24Формулы сокращённого умноженияИспользуй формулы квадрата двучлена и разности квадратов.
    • Используй (a + b)² = a² + 2ab + b².
    • Используй (a + b)(a − b) = a² − b².
    • Умножай быстро по этим формулам.
  4. 25Наибольший общий делитель и группировкаВыноси наибольший общий делитель и раскладывай на множители группировкой.
    • Разложи 6x³ + 9x² как 3x²(2x + 3).
    • Разложи четыре слагаемых группировкой.
    • Проверь умножением.
  5. 26Разложение трёхчленовРаскладывай на множители трёхчлены вида ax² + bx + c.
    • Разложи x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
    • Разложи, когда a ≠ 1.
    • Узнавай трёхчлен, который не раскладывается.
  6. 27Разложение особых случаевРаскладывай особые случаи: полные квадраты трёхчленов и разности квадратов.
    • Разложи x² − 49.
    • Разложи 4x² + 12x + 9.
    • Разложи полностью за несколько шагов.

Квадратные функции и уравнения

  1. 28Графики квадратных функцийСтрой график квадратной функции и находи её главные элементы.
    • Найди вершину, ось симметрии и пересечения с осями.
    • Используй x = −b/(2a), чтобы найти вершину.
    • Знай, когда парабола открыта вверх или вниз.
  2. 29Вершинная форма и преобразованияСтрой график вершинной формы y = a(x − h)² + k и описывай преобразования.
    • Прочитай вершину (h, k).
    • Опиши растяжения, сжатия, отражения и сдвиги.
    • Запиши квадратную функцию по её графику.
  3. 30Решение квадратных уравнений разложениемРешай квадратное уравнение разложением на множители.
    • Используй свойство нулевого произведения.
    • Сначала приравняй уравнение к 0.
    • Свяжи решения с пересечениями оси x.
  4. 31Решение квадратных уравнений извлечением корняРешай квадратные уравнения извлечением квадратного корня.
    • Реши x² = 25 и получи x = ±5.
    • Реши (x − 3)² = 16.
    • Упрости квадратные корни в ответах.
  5. 32Выделение полного квадратаВыделяй полный квадрат, чтобы решить квадратное уравнение и найти вершину.
    • Прибавь (b/2)² к обеим частям.
    • Реши x² + 6x − 7 = 0.
    • Перепиши стандартный вид в вершинную форму.
  6. 33Квадратная формулаРешай любое квадратное уравнение квадратной формулой.
    • Используй x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
    • По дискриминанту посчитай число действительных решений.
    • Выбери лучший способ для данного уравнения.
  7. 34Квадратные моделиИспользуй квадратные функции, чтобы моделировать полёт тела и площадь.
    • Найди наибольшую высоту брошенного мяча.
    • Найди, когда он упадёт на землю.
    • Найди размеры, которые дают наибольшую площадь.
  8. 35Линейно-квадратные системыРешай систему из прямой и параболы.
    • Реши подстановкой.
    • Знай, что решений может быть 0, 1 или 2.
    • Проверь по графику.

Статистика

  1. 36Распределения данных и стандартное отклонениеСравнивай наборы данных по форме, центру и разбросу.
    • Найди среднее и стандартное отклонение.
    • Для скошенных данных выбирай медиану и межквартильный размах.
    • Объясни влияние выбросов.
  2. 37Таблицы сопряжённости и относительная частотаНаходи совместные, маргинальные и условные относительные частоты.
    • Составь таблицу сопряжённости частот.
    • Найди относительные частоты по строкам и столбцам.
    • Опиши возможные связи.
  3. 38Корреляция и остаткиПодбирай прямую к данным, находи корреляцию и читай остатки.
    • Найди прямую наилучшего приближения с помощью техники.
    • Объясни коэффициент корреляции r.
    • По графику остатков оцени подбор и знай, что корреляция не означает причинность.

Повторение, смешанная практика и испытания

  1. 39Повторение: линейные и показательныеРешай смешанные задачи с уравнениями, неравенствами, системами и показательными моделями.
    • Решай уравнения и неравенства.
    • Записывай и строй графики линейных функций и систем.
    • Составляй показательные модели.
  2. 40Повторение: многочлены и квадратныеРешай смешанные задачи с многочленами, квадратными уравнениями и данными.
    • Умножай и раскладывай многочлены на множители.
    • Решай квадратные уравнения лучшим способом.
    • Описывай данные и строй модели.
  3. 41Испытание по алгебре 1Решай смешанные вопросы по главным разделам.
    • Решай задачи из каждого раздела без подсказок.
    • Выбирай подходящую модель для ситуации.
    • Найди темы, где нужно больше практики.