Все уроки

Курс

Математика 12 класса: начала анализа

Анализируй функции, освой тригонометрию, работай с векторами, полярными координатами, коническими сечениями и матрицами и впервые посмотри на пределы.

Проходи уроки по порядку: от анализа функций до самостоятельного решения задач. К концу ты умеешь анализировать и комбинировать функции, решать неравенства с многочленами и рациональные неравенства и строить модели показательными, логарифмическими и логистическими функциями. Ты умеешь строить графики всех шести тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций, проверять тригонометрические тождества и решать тригонометрические уравнения. Ты умеешь решать любой треугольник и использовать векторы для сил и движения. Ты умеешь строить графики в полярных координатах, записывать комплексные числа в полярной форме и применять теорему Муавра. Ты умеешь строить графики параметрических уравнений и конических сечений и решать системы с помощью матриц. Ты умеешь доказывать утверждения индукцией и находить пределы — первую идею математического анализа.

Как пользоваться этими уроками

  • Начни с урока, где написано Сделай это. Иди дальше, когда сам делаешь строку под названием.
  • Сначала играй: Игры. Потом сделай: Проверка. 8 из 10 верно для зачёта. Листы на бумаге. Ответы внизу.
  • Каждый урок опирается на предыдущий. Если урок трудный, вернись на один назад.
  • Этот курс готовит тебя к математическому анализу. Выучи единичную окружность наизусть. Записывай тождества, когда их учишь. Каждый график сначала нарисуй от руки, потом проверь в приложении для графиков.

В каждом уроке есть игры, проверка и листы.

0 из 42

Функции ещё раз

  1. 1Анализ поведения функцииОпиши поведение функции: где она возрастает, убывает и достигает экстремумов.
    • Найди промежутки возрастания и убывания.
    • Найди относительные и абсолютные экстремумы.
    • Найди среднюю скорость изменения на промежутке.
  2. 2Комбинация и разложение функцийКомбинируй старые функции в новые и разлагай функцию в композицию.
    • Составь композицию функций и найди область определения.
    • Запиши h(x) = √(x² + 1) как f(g(x)).
    • Построй модель ситуации композицией функций.
  3. 3Обратные функции и ограничение областиОграничь область, чтобы у функции была обратная.
    • Используй тест горизонтальной прямой.
    • Ограничь область x² и найди обратную функцию.
    • Читай значения обратной функции по таблице или графику.

Многочлены и рациональные функции

  1. 4Поведение многочленов и неравенстваРешай неравенства с многочленами по нулям и таблице знаков.
    • Найди все нули и их кратности.
    • Реши p(x) ≥ 0 по таблице знаков.
    • Моделируй объём и прибыль многочленами.
  2. 5Рациональные функции и наклонные асимптотыСтрой графики рациональных функций, в том числе с наклонными асимптотами.
    • Найди вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
    • Найди выколотые точки и пересечения с осями.
    • Опиши поведение на концах.
  3. 6Рациональные неравенстваРешай рациональные неравенства.
    • Найди нули и точки, где функция не определена.
    • Используй таблицу знаков.
    • Запиши решение промежутками.

Показательные, логарифмические и логистические модели

  1. 7Показательные и логарифмические функцииСтрой графики, решай уравнения и строй модели с показательными и логарифмическими функциями.
    • Построй графики преобразований показательных и логарифмических функций.
    • Решай уравнения с логарифмами.
    • Моделируй рост со сложными процентами и непрерывный рост.
  2. 8Логистический ростМоделируй логистической функцией рост, который выходит на уровень.
    • Прочитай ёмкость среды.
    • Найди точку самого быстрого роста.
    • Сравни логистический и показательный рост.
  3. 9Полулогарифмические графики и спрямление данныхСпрямляй показательные данные логарифмами на полулогарифмическом графике.
    • Отложи log y против x.
    • Знай, что показательные данные выглядят как прямая на полулогарифмическом графике.
    • Найди показательную модель по этой прямой.

Тригонометрические функции

  1. 10Радианы и единичная окружностьПо единичной окружности находи все шесть тригонометрических значений любого угла в радианах.
    • Переводи градусы в радианы и обратно.
    • Найди точные значения в особых углах.
    • Найди длину дуги и угловую скорость.
  2. 11Графики всех шести тригонометрических функцийСтрой графики всех шести тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и обратных им по умножению.
    • Построй графики тангенса и котангенса с асимптотами.
    • Построй секанс и косеканс по косинусу и синусу.
    • Найди период, амплитуду и сдвиги.
  3. 12Обратные тригонометрические функцииВычисляй обратные тригонометрические функции и строй графики арксинуса, арккосинуса и арктангенса.
    • Знай ограниченную область каждой функции.
    • Найди точные значения, например arcsin(1/2).
    • Вычисли композиции, например cos(arctan x).
  4. 13Синусоидальные моделиСтрой синусоидальные модели по данным и предсказывай с их помощью.
    • Моделируй длину светового дня и звуковые волны.
    • Найди частоту волны.
    • По модели найди моменты времени.

Тригонометрические тождества и уравнения

  1. 14Основные тождестваИспользуй основные тождества: обратных величин, частного, Пифагора и чётности-нечётности.
    • Используй все три тождества Пифагора.
    • Используй тождества чётности-нечётности и кофункций.
    • Упрощай тригонометрические выражения.
  2. 15Проверка тождествПроверяй тригонометрическое тождество шаг за шагом.
    • Работай только с одной стороной.
    • Перепиши через синус и косинус.
    • Разложи на множители и сложи дроби.
  3. 16Формулы суммы и разностиИспользуй формулы суммы и разности для синуса, косинуса и тангенса.
    • Найди точное значение sin 75°.
    • Докажи формулы.
    • Упрощай выражения с их помощью.
  4. 17Формулы двойного и половинного углаИспользуй формулы двойного угла и половинного угла.
    • Используй sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
    • Используй все три вида cos 2θ.
    • Найди точные значения половинного угла.
  5. 18Решение тригонометрических уравненийРешай тригонометрические уравнения на промежутке и в общем виде.
    • Найди все решения на [0, 2π).
    • Запиши общее решение.
    • Решай разложением на множители и с помощью тождеств.

Треугольники и векторы

  1. 19Теорема синусов и неоднозначный случайРешай треугольники по теореме синусов, включая неоднозначный случай SSA.
    • Используй теорему синусов.
    • Реши, даёт ли SSA 0, 1 или 2 треугольника.
    • Решай задачи на навигацию.
  2. 20Теорема косинусов и формула ГеронаРешай треугольники по теореме косинусов и находи площадь по формуле Герона.
    • Используй теорему косинусов для SAS и SSS.
    • Используй формулу Герона.
    • Выбери нужную теорему для треугольника.
  3. 21ВекторыОписывай векторы длиной и направлением и в виде компонент.
    • Запиши вектор в виде компонент.
    • Найди длину и угол направления.
    • Найди единичный вектор.
  4. 22Действия с векторами и скалярное произведениеСкладывай векторы, умножай на число и находи скалярное произведение.
    • Складывай векторы по компонентам и по чертежу.
    • Найди скалярное произведение и угол между векторами.
    • Найди проекцию одного вектора на другой.
  5. 23Применение векторовПрименяй векторы, чтобы решать задачи про силу, скорость и работу.
    • Найди равнодействующую силу.
    • Найди путевую скорость самолёта при ветре.
    • Найди работу через скалярное произведение.

Полярные координаты и комплексные числа

  1. 24Полярные координатыОтмечай точки в полярных координатах и переводи их в прямоугольные и обратно.
    • Отметь точку (r, θ).
    • Переводи точки из полярных координат в прямоугольные и обратно.
    • Переводи уравнения из одной формы в другую.
  2. 25Полярные графикиСтрой полярные графики: окружности, розы, улитки и кардиоиды.
    • Построй r = a cos θ и r = a sin θ.
    • Построй розы r = a cos(nθ).
    • Используй симметрию, чтобы строить быстрее.
  3. 26Комплексные числа в полярной формеЗаписывай комплексные числа в полярной форме и умножай их.
    • Отметь комплексные числа и найди их модуль.
    • Запиши z = r(cos θ + i sin θ).
    • Умножай и дели в полярной форме.
  4. 27Теорема МуавраПо теореме Муавра находи степени и корни комплексных чисел.
    • Используй теорему Муавра для степеней.
    • Найди корни n-й степени комплексного числа.
    • Отметь корни из единицы.

Параметрические уравнения и конические сечения

  1. 28Параметрические уравненияСтрой графики параметрических уравнений и моделируй ими движение.
    • Построй кривую по x(t) и y(t).
    • Исключи параметр.
    • Моделируй полёт брошенного тела.
  2. 29ПараболыСтрой параболы по фокусу и директрисе.
    • Используй определение через фокус и директрису.
    • Запиши уравнение по фокусу и вершине.
    • Знай, почему спутниковые тарелки параболические.
  3. 30ЭллипсыСтрой эллипсы и находи их фокусы.
    • Используй (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1.
    • Найди фокусы по c² = a² − b².
    • Моделируй орбиты планет.
  4. 31ГиперболыСтрой гиперболы с асимптотами и фокусами.
    • Используй (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
    • Найди асимптоты и фокусы.
    • Определи вид конического сечения по общему уравнению.

Матрицы и системы

  1. 32Действия с матрицамиСкладывай матрицы, умножай на число и перемножай матрицы.
    • Знай размеры, нужные для умножения.
    • Перемножь две матрицы.
    • Знай, что умножение матриц не коммутативно.
  2. 33Определители и обратные матрицыНаходи определитель матрицы и обратную матрицу.
    • Найди определитель 2×2 и 3×3.
    • Найди обратную матрицу 2×2.
    • Знай, что у матрицы с определителем 0 нет обратной.
  3. 34Решение систем с помощью матрицРешай системы уравнений с помощью матриц.
    • Запиши систему как AX = B.
    • Реши с помощью обратной матрицы.
    • Сделай приведение строк расширенной матрицы.
  4. 35Матрицы как преобразованияПреобразуй фигуры матрицами: поворачивай, отражай и масштабируй.
    • Запиши матрицу поворота.
    • Составляй преобразования умножением.
    • Знай, что определитель даёт коэффициент изменения площади.

Индукция и пределы

  1. 36Математическая индукцияДоказывай утверждение для каждого целого неотрицательного числа математической индукцией.
    • Докажи базу.
    • Докажи шаг индукции.
    • Докажи формулу суммы.
  2. 37Введение в пределыНаходи пределы по графикам, таблицам и с помощью алгебры.
    • Читай односторонние пределы по графику.
    • Находи пределы подстановкой и разложением на множители.
    • Знай, когда предела нет.
  3. 38Пределы на бесконечности и непрерывностьНаходи пределы на бесконечности и решай, где функция непрерывна.
    • Свяжи пределы на бесконечности с горизонтальными асимптотами.
    • Найди предел бесконечной последовательности.
    • Назови устранимый разрыв, скачок и бесконечный разрыв.
  4. 39Скорость изменения и касательныеНаходи мгновенную скорость изменения с помощью предела.
    • Найди наклон секущей.
    • Пределом найди наклон касательной.
    • Свяжи это с мгновенной скоростью.

Повторение, смешанная практика и испытания

  1. 40Повторение функций и тригонометрииРешай смешанные задачи на функции, тождества и тригонометрические уравнения.
    • Проанализируй любое семейство функций.
    • Доказывай тождества и решай тригонометрические уравнения.
    • Решай треугольники.
  2. 41Повторение: векторы, полярные координаты, конические сечения и пределыРешай смешанные задачи на векторы, полярную форму, конические сечения, матрицы и пределы.
    • Используй векторы и полярные координаты.
    • Строй конические сечения и решай системы матрицами.
    • Находи пределы.
  3. 42Испытание: начала анализаРеши смешанные вопросы по главным разделам начал анализа.
    • Решай задачи из каждого раздела без подсказок.
    • Объясни каждый шаг.
    • Найди темы, где нужно ещё потренироваться.