Все уроки

Курс

Математика 11 класса: Алгебра 2

Работай с комплексными числами, с многочленами, с рациональными, радикальными, показательными, логарифмическими и тригонометрическими функциями. Принимай решения с помощью вероятности и статистики.

Иди по урокам по порядку: от базовых функций и преобразований до самостоятельного решения задач. В конце ты умеешь преобразовывать функции, строить композицию и находить обратную функцию. Ты решаешь квадратные уравнения с комплексными решениями. Ты строишь график многочлена, делишь многочлены и находишь все нули. Ты упрощаешь рациональные выражения и радикальные выражения, строишь их графики и решаешь их уравнения. Ты пользуешься логарифмами, чтобы решать показательные уравнения, и строишь показательные и логарифмические модели. Ты находишь суммы арифметического ряда и геометрического ряда. Ты пользуешься единичной окружностью, строишь графики синуса и косинуса и моделируешь периодическое поведение. Ты находишь условную вероятность, пользуешься нормальным распределением и судишь о выводах из опросов и экспериментов.

Как пользоваться этими уроками

  • Начни с урока, где стоит Сделай это. Строку под названием сделай сам, потом иди дальше.
  • Сначала Игры. Потом Проверка. 8 из 10 верно для зачёта. Листы на бумаге. Ответы внизу.
  • Каждый урок опирается на предыдущий. Если урок трудный, вернись на один назад.
  • Для каждого нового семейства функций сначала выучи базовый график, потом преобразования. Набросай от руки, потом проверь в приложении для графиков. Каждое решение подставь в исходное уравнение: некоторые шаги добавляют посторонние решения.

В каждом уроке есть игры, проверка и листы.

0 из 40

Функции и преобразования

  1. 1Базовые функции и преобразованияПострой график y = a·f(b(x − h)) + k по базовой функции.
    • Узнай базовые графики: линейный, квадратичный, модуль и кубический.
    • Опиши сдвиги, растяжения и отражения.
    • Отличай чётные и нечётные функции.
  2. 2Операции с функциями и композицияДелай операции с функциями и композицию: сложение, вычитание, умножение и деление.
    • Найди (f + g)(x) и (fg)(x).
    • Найди f(g(x)) и g(f(x)).
    • Найди область определения составной функции.
  3. 3Обратные функцииНайди обратную функцию и построй её график.
    • Поменяй x и y местами и вырази y.
    • Знай: обратная функция — это отражение относительно y = x.
    • Проверь обратные функции композицией и сузь область определения.

Квадратные уравнения и комплексные числа

  1. 4Комплексные числаСкладывай, вычитай, умножай и дели комплексные числа.
    • Пользуйся i² = −1.
    • Пиши ответы в виде a + bi.
    • Дели с помощью комплексно-сопряжённого.
  2. 5Квадратные уравнения с комплексными решениямиРеши любое квадратное уравнение, в том числе с комплексными решениями.
    • Если дискриминант отрицательный, пользуйся формулой корней.
    • Знай: комплексные решения идут сопряжёнными парами.
    • Свяжи отсутствие пересечений с осью x с комплексными решениями.
  3. 6Квадратные неравенства и системыРешай квадратные неравенства и нелинейные системы.
    • Реши x² − x − 6 > 0 с помощью таблицы знаков.
    • Построй график квадратного неравенства.
    • Реши систему из прямой и окружности.

Функции-многочлены

  1. 7Графики многочленовНабросай многочлен по степени, поведению на концах и нулям.
    • Найди поведение на концах по старшему члену.
    • Знай, как кратность меняет график в нуле.
    • Найди точки поворота и локальные экстремумы.
  2. 8Деление многочленовДели многочлены уголком и синтетическим делением.
    • Дели многочлен уголком.
    • Для x − c пользуйся синтетическим делением.
    • Запиши результат с остатком.
  3. 9Теорема об остатке и теорема о множителеПользуйся теоремой об остатке и теоремой о множителе, чтобы найти множители.
    • Знай: p(a) — это остаток при делении на x − a.
    • Знай: если p(a) = 0, то x − a — множитель.
    • Разложи кубический многочлен по одному известному нулю.
  4. 10Найди все нулиНайди все действительные и комплексные нули многочлена.
    • По теореме о рациональных корнях выпиши кандидатов.
    • Знай основную теорему алгебры.
    • Запиши многочлен по его нулям.
  5. 11Тождества многочленовДоказывай и применяй тождества многочленов.
    • Разложи сумму и разность кубов.
    • Докажи тождество раскрытием скобок.
    • Получи пифагоровы тройки из тождества.
  6. 12Бином НьютонаРаскрой (a + b)ⁿ с помощью треугольника Паскаля и бинома Ньютона.
    • Построй треугольник Паскаля.
    • Возьми коэффициенты из сочетаний.
    • Найди один член разложения.

Рациональные функции

  1. 13Упрощение рациональных выраженийУпрости рациональное выражение и укажи ограничения.
    • Разложи числитель и знаменатель на множители.
    • Сократи общие множители.
    • Выпиши значения, которые нельзя подставлять.
  2. 14Умножение и деление рациональных выраженийУмножай и дели рациональные выражения.
    • Перед умножением разложи на множители.
    • Деление замени умножением на обратную дробь.
    • Упрости сложную дробь.
  3. 15Сложение и вычитание рациональных выраженийСкладывай и вычитай рациональные выражения с разными знаменателями.
    • Найди наименьший общий знаменатель.
    • Перепиши каждую дробь и сложи.
    • Упрости результат.
  4. 16Графики рациональных функцийПострой график рациональной функции с асимптотами и выколотыми точками.
    • Найди вертикальные асимптоты и выколотые точки.
    • Найди горизонтальные асимптоты по степеням.
    • Построй график y = a/(x − h) + k.
  5. 17Решение рациональных уравненийРешай рациональные уравнения и проверяй посторонние решения.
    • Умножь на наименьший общий знаменатель.
    • Отбрось решения, при которых знаменатель равен 0.
    • Реши задачи на работу и на среднюю стоимость.

Радикальные функции

  1. 18Радикальные выраженияУпрощай радикальные выражения и объединяй корни n-й степени.
    • Упрости ∛54 и √(50x³).
    • Складывай, вычитай и умножай радикалы.
    • Убери корень из знаменателя.
  2. 19Графики квадратного и кубического корняСтрой графики квадратного и кубического корня и их преобразования.
    • Построй графики y = √x и y = ∛x.
    • Найди область определения и область значений.
    • Свяжи их как обратные функции к x² и x³.
  3. 20Решение радикальных уравненийРешай радикальные уравнения и проверяй посторонние решения.
    • Сначала оставь радикал один.
    • Возведи обе части в степень.
    • Проверь каждое решение в исходном уравнении.

Показательные и логарифмические функции

  1. 21Показательные функции и число eСтрой график показательной функции и пользуйся числом e.
    • Построй график y = abˣ и найди асимптоту.
    • Для непрерывного роста пользуйся A = Pe^(rt).
    • Сравни периоды начисления процентов.
  2. 22ЛогарифмыПереходи между показательной и логарифмической формой и строй график логарифма.
    • Знай: log_b x = y значит bʸ = x.
    • Считай десятичные и натуральные логарифмы.
    • Построй график y = log_b x как обратную функцию к bˣ.
  3. 23Свойства логарифмовРаскладывай логарифмы и собирай логарифмы обратно.
    • Пользуйся правилами произведения, частного и степени.
    • Раскладывай выражения и собирай их.
    • Пользуйся формулой перехода к другому основанию.
  4. 24Решение показательных и логарифмических уравненийРешай показательные и логарифмические уравнения.
    • Возьми логарифм обеих частей, чтобы решить 3ˣ = 20.
    • Чтобы решить логарифмическое уравнение, перейди к показательной форме.
    • Отбрось решения вне области определения.
  5. 25Показательные и логарифмические моделиСтрой и применяй показательные и логарифмические модели.
    • Найди время удвоения и период полураспада.
    • Пользуйся шкалами pH и децибел.
    • Подбери показательную модель к данным.

Последовательности и ряды

  1. 26Сигма-обозначениеЗаписывай и считай суммы в сигма-обозначении.
    • Прочитай индекс, границы и правило.
    • Раскрой короткую сумму и сложи.
    • Запиши сумму в сигма-обозначении.
  2. 27Арифметический рядНайди сумму арифметического ряда.
    • Пользуйся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
    • Найди число членов.
    • Реши задачи про места в зале и про накопления.
  3. 28Геометрический рядНайди сумму конечного и бесконечного геометрического ряда.
    • Пользуйся Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r).
    • Знай: бесконечный ряд сходится, когда |r| < 1.
    • Найди платежи по кредиту и ипотеке.

Тригонометрические функции

  1. 29Единичная окружностьНайди синус и косинус любого угла по единичной окружности.
    • Рисуй углы в стандартном положении в градусах и радианах.
    • Найди точные значения для особых углов.
    • Пользуйся опорными углами и знаками по четвертям.
  2. 30Графики синуса и косинусаСтрой графики синуса и косинуса с амплитудой, периодом и сдвигами.
    • Найди амплитуду и период.
    • Построй сдвиг фазы и вертикальный сдвиг.
    • Построй график y = tan x.
  3. 31Модель периодического поведенияЗапиши тригонометрическую функцию как модель периодического поведения.
    • Смоделируй приливы и колесо обозрения.
    • Найди среднюю линию и амплитуду по данным.
    • Пользуйся моделью, чтобы предсказать.
  4. 32Пифагорово тождествоДокажи и применяй пифагорово тождество sin²θ + cos²θ = 1.
    • Докажи тождество с помощью единичной окружности.
    • Найди cos θ по sin θ и четверти.
    • Упрости тригонометрические выражения.

Вероятность и статистика

  1. 33Перестановки и сочетанияСчитай перестановки и сочетания.
    • Пользуйся правилом умножения.
    • Знай, когда порядок важен.
    • С помощью nPr и nCr найди вероятности.
  2. 34Условная вероятность и независимостьНайди условную вероятность и проверь независимость.
    • Пользуйся P(A | B) = P(A и B) / P(B).
    • Пользуйся правилом сложения.
    • Знай: A и B независимы, когда P(A и B) = P(A)P(B).
  3. 35Нормальное распределениеОценивай проценты с помощью нормального распределения.
    • Пользуйся правилом 68-95-99.7.
    • Найди z-оценку и объясни её.
    • Знай, когда нормальная модель подходит.
  4. 36Опросы, эксперименты и исследованияОтличай опросы, эксперименты и наблюдательные исследования.
    • Знай, как случайный выбор уменьшает смещение.
    • Знай: только эксперименты показывают причину и следствие.
    • Заметь смещение в вопросе опроса.
  5. 37Предел погрешности и статистический выводПользуйся симуляцией и пределом погрешности, чтобы судить о статистическом выводе.
    • Оцени долю в совокупности по выборке.
    • Объясни предел погрешности.
    • С помощью симуляции реши, значима ли разница.

Повторение, смешанная практика и вызовы

  1. 38Повторение семейств функцийРешай смешанные задачи про многочлены, рациональные, радикальные и показательные функции.
    • Сопоставь график с семейством функций.
    • Реши уравнения каждого вида.
    • Проверь посторонние решения.
  2. 39Повторение: ряды, тригонометрия и статистикаРешай смешанные задачи про ряды, тригонометрию и статистику.
    • Найди суммы арифметического и геометрического ряда.
    • Строй графики и модели с тригонометрическими функциями.
    • Найди вероятности и объясни статистику.
  3. 40Вызов по алгебре 2Выполни смешанные вопросы вызова по главным разделам алгебры 2.
    • Решай задачи из каждого раздела без подсказок.
    • Выбери подходящую функцию для модели ситуации.
    • Найди темы, где нужно ещё попрактиковаться.