Все уроки

Курс

Математика 10 класса: геометрия

Пиши доказательства, используй преобразования, доказывай конгруэнтность и подобие треугольников, решай прямоугольные треугольники с помощью тригонометрии и изучай окружности и тела.

Проходи уроки по порядку: от точек и прямых до самостоятельного решения задач. К концу ты умеешь использовать логику и построения, доказывать теоремы о прямых и углах и описывать конгруэнтность через жёсткие движения. Ты умеешь доказывать конгруэнтность треугольников, использовать свойства треугольников и четырёхугольников и доказывать подобие треугольников с помощью гомотетий. Ты умеешь решать прямоугольные треугольники с помощью теоремы Пифагора и тригонометрии и использовать теорему синусов и теорему косинусов. Ты умеешь находить длины дуг, площади секторов и вписанные углы и записывать уравнение окружности. Ты умеешь писать координатные доказательства и находить объёмы призм, цилиндров, пирамид, конусов и шаров.

Как пользоваться этими уроками

  • Начни с урока, где написано Сделай это. Иди дальше, когда сам делаешь строку под названием.
  • Сначала играй: Игры. Потом сделай: Проверка. 8 из 10 верно для зачёта. Листы на бумаге. Ответы внизу.
  • Каждый урок опирается на предыдущий. Если урок трудный, вернись на один назад.
  • Для каждой задачи нарисуй и подпиши чертёж. Держи рядом циркуль, линейку и транспортир. В доказательстве дай причину для каждого утверждения.

В каждом уроке есть игры, проверка и листы.

0 из 43

Основы, построения и логика

  1. 1Точки, прямые и плоскостиНазывай и описывай точки, прямые, лучи, отрезки и плоскости.
    • Используй верные обозначения прямых, лучей и отрезков.
    • Знай неопределяемые понятия геометрии.
    • Опиши, как пересекаются прямые и плоскости.
  2. 2Расстояние, середина и мера углаНаходи длины, середины и меры углов.
    • Используй формулу расстояния на координатной плоскости.
    • Используй формулу середины.
    • Используй постулаты сложения отрезков и углов.
  3. 3ПостроенияСтрой копии, биссектрисы и перпендикуляры циркулем и линейкой.
    • Скопируй отрезок и угол.
    • Раздели пополам отрезок и угол.
    • Построй перпендикуляр и параллельную прямую.
  4. 4Логика и условные высказыванияПиши условные высказывания, обратные и контрпримеры.
    • Запиши обратное, противоположное и контрапозитивное высказывание.
    • Найди контрпример к ложному утверждению.
    • Отличи индуктивное рассуждение от дедуктивного.

Прямые, углы и доказательства

  1. 5Параллельные прямые и секущаяИспользуй пары углов, которые дают параллельные прямые и секущая.
    • Назови соответственные, накрест лежащие внутренние и односторонние углы.
    • Найди неизвестные углы.
    • Докажи, что прямые параллельны, по парам углов.
  2. 6Пиши доказательстваПиши двухколоночные доказательства и доказательства абзацем.
    • Бери определения, постулаты и теоремы как причины.
    • Используй свойства алгебры в доказательствах.
    • Напиши доказательство в двух колонках и абзацем.
  3. 7Докажи теоремы о прямых и углахДоказывай теоремы о вертикальных углах и серединных перпендикулярах.
    • Докажи, что вертикальные углы конгруэнтны.
    • Докажи, что точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка.
    • Докажи теорему о накрест лежащих внутренних углах.

Преобразования и конгруэнтность

  1. 8Жёсткие движенияОписывай параллельные переносы, отражения и повороты как функции.
    • Запиши правила, например (x, y) → (−y, x).
    • Опиши последовательность преобразований.
    • Знай, что жёсткие движения сохраняют длины и углы.
  2. 9Конгруэнтность через жёсткие движенияПокажи, что фигуры конгруэнтны, последовательностью жёстких движений.
    • Определи конгруэнтность через жёсткие движения.
    • Найди последовательность, которая переводит одну фигуру в другую.
    • Назови соответственные части.
  3. 10СимметрияНаходи осевую и поворотную симметрию фигур.
    • Найди оси симметрии многоугольника.
    • Найди угол поворотной симметрии.
    • Опиши преобразования, которые переводят фигуру саму в себя.

Треугольники

  1. 11Конгруэнтность треугольниковДоказывай конгруэнтность треугольников с помощью SSS, SAS, ASA, AAS и HL.
    • Выбери нужный признак конгруэнтности.
    • Объясни, почему SSA не работает.
    • Используй CPCTC в доказательствах.
  2. 12Теоремы об углах треугольникаДоказывай и используй теорему о сумме углов треугольника и теорему о внешнем угле.
    • Докажи, что углы треугольника в сумме дают 180°.
    • Используй теорему о внешнем угле.
    • Найди неизвестные углы с помощью алгебры.
  3. 13Равнобедренные и равносторонние треугольникиИспользуй теорему об углах при основании и обратную к ней.
    • Знай, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.
    • По обратной теореме найди равные стороны.
    • Знай, что равносторонний треугольник равноугольный.
  4. 14Биссектрисы, медианы и высотыНаходи центр описанной окружности, центр вписанной окружности, центроид и ортоцентр.
    • Построй каждый центр треугольника.
    • Знай, что центроид делит медиану в отношении 2 к 1.
    • Используй теорему о средней линии.
  5. 15Неравенства треугольникаРеши, дают ли три длины треугольник, и упорядочь его стороны и углы.
    • Используй теорему о неравенстве треугольника.
    • Знай, что против наибольшего угла лежит наибольшая сторона.
    • Найди, в каких пределах может быть длина третьей стороны.

Многоугольники и четырёхугольники

  1. 16Суммы углов многоугольникаНаходи суммы внутренних и внешних углов многоугольников.
    • Для суммы внутренних углов используй (n − 2) × 180°.
    • Знай, что внешние углы в сумме дают 360°.
    • Найди каждый угол правильного многоугольника.
  2. 17Свойства параллелограммовДоказывай и используй свойства параллелограммов.
    • Докажи, что противоположные стороны и углы конгруэнтны.
    • Докажи, что диагонали делят друг друга пополам.
    • Покажи, что четырёхугольник — параллелограмм.
  3. 18Прямоугольники, ромбы и квадратыИспользуй свойства особых параллелограммов.
    • Знай, что диагонали прямоугольника конгруэнтны.
    • Знай, что диагонали ромба перпендикулярны.
    • Классифицируй четырёхугольник по его свойствам.
  4. 19Трапеции и дельтоидыИспользуй свойства трапеций и дельтоидов.
    • Используй теорему о средней линии трапеции.
    • Знай свойства равнобедренной трапеции.
    • Знай, что диагонали дельтоида перпендикулярны.

Подобие

  1. 20ГомотетииСтрой гомотетии фигур и опиши, что делает коэффициент k.
    • Построй гомотетию из центра с коэффициентом k.
    • Знай, что гомотетия переводит прямую в параллельную прямую.
    • Определи подобие через гомотетии и жёсткие движения.
  2. 21Подобные треугольникиДоказывай подобие треугольников с помощью AA, SAS и SSS.
    • Используй признак подобия AA.
    • Составь и реши пропорции для неизвестных сторон.
    • Решай задачи на косвенное измерение по теням.
  3. 22Пропорции в треугольникахИспользуй теорему Фалеса и теорему о биссектрисе угла.
    • Используй теорему Фалеса.
    • Используй теорему о биссектрисе угла треугольника.
    • Докажи теорему Пифагора с помощью подобных треугольников.

Прямоугольные треугольники и тригонометрия

  1. 23Теорема Пифагора и обратная к нейИспользуй теорему Пифагора и классифицируй треугольники по сторонам.
    • Найди неизвестные стороны прямоугольных треугольников.
    • По обратной теореме проверь, прямоугольный ли треугольник.
    • Классифицируй треугольники: остроугольные, прямоугольные или тупоугольные.
  2. 24Особые прямоугольные треугольникиНаходи стороны треугольников 45-45-90 и 30-60-90.
    • Используй отношение 1 : 1 : √2.
    • Используй отношение 1 : √3 : 2.
    • Оставляй точные ответы с радикалами.
  3. 25Синус, косинус и тангенсНаходи тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике.
    • Используй SOH CAH TOA.
    • Знай, что отношения берутся из подобных треугольников.
    • Знай, что sin A = cos (90° − A).
  4. 26Решай прямоугольные треугольникиНаходи неизвестные стороны и углы с помощью тригонометрии.
    • Находи углы с помощью обратных тригонометрических функций.
    • Решай задачи на угол подъёма и угол снижения.
    • Округляй ответы разумно.
  5. 27Теорема синусов и теорема косинусовРешай любой треугольник с помощью теоремы синусов или теоремы косинусов.
    • Используй теорему синусов.
    • Используй теорему косинусов.
    • Найди площадь по формуле 1/2 ab sin C.

Окружности

  1. 28Части окружности и дугиНазывай части окружности и находи меры дуг.
    • Назови радиусы, хорды, диаметры, секущие и касательные.
    • Найди меры меньшей и большей дуги.
    • Знай, что все окружности подобны.
  2. 29Длина дуги и радианыНаходи длину дуги и переводи градусы в радианы.
    • Найди длину дуги как долю длины окружности.
    • Дай определение радиана.
    • Переводи градусы в радианы и обратно.
  3. 30Площадь сектораНаходи площадь сектора.
    • Найди площадь сектора как долю площади круга.
    • Найди площадь сегмента круга.
    • Решай задачи про пиццу и поливалку.
  4. 31Вписанные углыИспользуй связь вписанных углов и дуг.
    • Знай, что вписанный угол равен половине своей дуги.
    • Знай, что угол, вписанный в полуокружность, прямой.
    • Знай, что противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°.
  5. 32Касательные, хорды и секущиеИспользуй свойства касательных, хорд и секущих.
    • Знай, что касательная перпендикулярна радиусу.
    • Используй произведения отрезков для хорд и секущих.
    • Найди углы, которые образуют хорды, секущие и касательные.
  6. 33Уравнения окружностейЗаписывай и строй уравнение окружности.
    • Используй (x − h)² + (y − k)² = r².
    • Найди центр и радиус выделением полного квадрата.
    • Реши, лежит ли точка на окружности.

Координатная геометрия

  1. 34Координатные доказательстваДоказывай геометрические факты с помощью координат.
    • Удобно располагай фигуры на координатной плоскости.
    • По угловому коэффициенту и расстоянию классифицируй четырёхугольник.
    • Докажи, что средняя линия параллельна стороне.
  2. 35Раздели отрезокНайди точку, которая делит отрезок в заданном отношении.
    • Найди точку, которая прошла 2/5 пути от A до B.
    • Раздели отрезок в отношении 1 : 3.
    • Свяжи деление отрезка с гомотетиями.
  3. 36Периметр и площадь по координатамНаходи периметр и площадь многоугольников на координатной плоскости.
    • Для периметра используй формулу расстояния.
    • Найди площадь разбиением или описанием прямоугольником.
    • Найди площадь треугольника по его вершинам.

Объём и моделирование

  1. 37Объём призм и цилиндровНаходи и объясняй объёмы призм и цилиндров.
    • Используй V = Bh.
    • Объясни принцип Кавальери.
    • Найди объём наклонных тел.
  2. 38Пирамиды, конусы и шарыНаходи объём и площадь поверхности пирамид, конусов и шаров.
    • Используй V = 1/3 Bh.
    • Используй V = 4/3 πr³ и SA = 4πr².
    • Решай задачи про составные тела.
  3. 39Сечения и тела вращенияОписывай сечения и тело, которое получается вращением фигуры.
    • Назови сечения призм, цилиндров и конусов.
    • Опиши тело, которое получается вращением прямоугольника или треугольника.
    • Свяжи плоские фигуры с объёмными телами.
  4. 40Плотность и моделирование конструкцийИспользуй геометрию, чтобы моделировать задачи про плотность и конструкции.
    • Найди плотность населения на квадратную милю.
    • Найди массу предмета по его плотности.
    • Спроектируй коробку под заданное условие.

Повторение, смешанная практика и задачи

  1. 41Повторение: доказательства и конгруэнтностьРешай смешанные задачи на доказательства, преобразования, треугольники и четырёхугольники.
    • Пиши доказательства с причинами.
    • Доказывай конгруэнтность и подобие треугольников.
    • Используй свойства четырёхугольников.
  2. 42Повторение: тригонометрия, окружности и объёмРешай смешанные задачи на тригонометрию, окружности и тела.
    • Решай прямоугольные и косоугольные треугольники.
    • Находи дуги, секторы и уравнения окружностей.
    • Находи объёмы тел.
  3. 43Испытание по геометрииРеши смешанные вопросы по главным разделам.
    • Решай задачи из каждого раздела без подсказок.
    • Объясни каждый ответ теоремой.
    • Найди темы, которые нужно ещё потренировать.