Wszystkie lekcje

Kurs

Matematyka klasy 12: Prekalkulus

Analizuj zachowanie funkcji, opanuj trygonometrię, pracuj z wektorami, współrzędnymi biegunowymi, krzywymi stożkowymi i macierzami, i rzuć pierwsze spojrzenie na granice.

Rób lekcje po kolei, od analizy zachowania funkcji aż do samodzielnego rozwiązywania zadań. Na końcu umiesz analizować zachowanie funkcji i łączyć funkcje, rozwiązywać nierówności wielomianowe i nierówności wymierne oraz modelować funkcjami wykładniczymi, logarytmicznymi i logistycznymi. Umiesz rysować wykres wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych i funkcji odwrotnych, dowodzić tożsamości i rozwiązywać równania trygonometryczne. Umiesz rozwiązać dowolny trójkąt i używać wektorów do sił i ruchu. Umiesz rysować wykresy we współrzędnych biegunowych, zapisywać liczby zespolone w postaci biegunowej i używać twierdzenia de Moivre’a. Umiesz rysować równania parametryczne i krzywe stożkowe oraz rozwiązywać układy macierzami. Umiesz dowodzić zdań indukcją i znajdować granice, pierwszy pomysł rachunku różniczkowego.

Jak używać tych lekcji

  • Zacznij od lekcji oznaczonej Zrób to. Idź dalej, gdy potrafisz sam zrobić linijkę pod tytułem.
  • Najpierw zagraj w Gry. Potem zrób Quiz. 8 z 10 dobrych, żeby zaliczyć. Karty pracy są na papierze. Odpowiedzi są na dole.
  • Każda lekcja opiera się na poprzedniej. Jeśli lekcja jest trudna, cofnij się o jedną.
  • Ten kurs przygotowuje cię do rachunku różniczkowego. Znaj okrąg jednostkowy na pamięć. Zapisuj listę tożsamości, gdy je poznajesz. Szkicuj każdy wykres ręcznie, potem sprawdź go w aplikacji do wykresów.

Każda lekcja ma gry, quiz i karty pracy.

0 z 42

Funkcje jeszcze raz

  1. 1Analizuj zachowanie funkcjiAnalizuj zachowanie funkcji: gdzie rośnie, maleje i osiąga ekstrema.
    • Znajdź przedziały, na których funkcja rośnie i maleje.
    • Znajdź ekstrema względne i bezwzględne.
    • Znajdź średnie tempo zmian na przedziale.
  2. 2Łącz i rozkładaj funkcjeŁącz stare funkcje w nowe i rozkładaj funkcję na złożenie.
    • Złóż funkcje i znajdź dziedzinę.
    • Zapisz h(x) = √(x² + 1) jako f(g(x)).
    • Modeluj sytuację funkcją złożoną.
  3. 3Funkcje odwrotne i ograniczenie dziedzinyOgranicz dziedzinę, żeby funkcja miała funkcję odwrotną.
    • Użyj testu prostej poziomej.
    • Ogranicz dziedzinę x², żeby znaleźć funkcję odwrotną.
    • Odczytaj wartości funkcji odwrotnej z tabeli lub wykresu.

Funkcje wielomianowe i wymierne

  1. 4Zachowanie wielomianów i nierównościRozwiązuj nierówności wielomianowe za pomocą miejsc zerowych i tabeli znaków.
    • Znajdź wszystkie miejsca zerowe i ich krotności.
    • Użyj tabeli znaków, żeby rozwiązać p(x) ≥ 0.
    • Modeluj objętość i zysk wielomianami.
  2. 5Funkcje wymierne i asymptoty ukośneRysuj wykresy funkcji wymiernych, także z asymptotą ukośną.
    • Znajdź asymptoty pionowe, poziome i ukośne.
    • Znajdź dziury i punkty przecięcia.
    • Opisz zachowanie na krańcach.
  3. 6Nierówności wymierneRozwiązuj nierówności wymierne.
    • Znajdź miejsca zerowe i punkty, w których funkcja nie jest określona.
    • Użyj tabeli znaków.
    • Zapisz rozwiązanie w zapisie przedziałowym.

Modele wykładnicze, logarytmiczne i logistyczne

  1. 7Funkcje wykładnicze i logarytmiczneRysuj wykresy, rozwiązuj i modeluj za pomocą funkcji wykładniczych i logarytmicznych.
    • Rysuj przekształcenia funkcji wykładniczych i logarytmicznych.
    • Rozwiązuj równania z logarytmami.
    • Modeluj wzrost złożony i ciągły.
  2. 8Wzrost logistycznyModeluj wzrost, który się wypłaszcza, funkcją logistyczną.
    • Odczytaj pojemność środowiska.
    • Znajdź punkt najszybszego wzrostu.
    • Porównaj wzrost logistyczny i wykładniczy.
  3. 9Wykresy półlogarytmiczne i prostowanie danychUżyj logarytmów do prostowania danych wykładniczych na wykresie półlogarytmicznym.
    • Nanieś log y względem x.
    • Wiedz, że dane wykładnicze wyglądają liniowo na wykresie półlogarytmicznym.
    • Znajdź model wykładniczy z tej prostej.

Funkcje trygonometryczne

  1. 10Radiany i okrąg jednostkowyZnajdź wszystkie sześć wartości trygonometrycznych dowolnego kąta w radianach.
    • Zamień stopnie na radiany i odwrotnie.
    • Znajdź wartości dokładne dla kątów szczególnych.
    • Znajdź długość łuku i prędkość kątową.
  2. 11Wykres sześciu funkcji trygonometrycznychRysuj wykres sześciu funkcji trygonometrycznych: sinusa, cosinusa, tangensa i ich odwrotności.
    • Rysuj tangens i cotangens z asymptotami.
    • Rysuj secans i cosecans z cosinusa i sinusa.
    • Znajdź okres, amplitudę i przesunięcia.
  3. 12Odwrotne funkcje trygonometryczneObliczaj i rysuj wykresy odwrotnego sinusa, cosinusa i tangensa.
    • Znaj ograniczoną dziedzinę każdej funkcji.
    • Znajdź wartości dokładne, takie jak arcsin(1/2).
    • Obliczaj złożenia, takie jak cos(arctan x).
  4. 13Modele sinusoidalneBuduj modele sinusoidalne z danych i używaj ich do przewidywania.
    • Modeluj godziny światła dziennego i fale dźwiękowe.
    • Znajdź częstotliwość fali.
    • Użyj modelu, żeby znaleźć czasy.

Tożsamości i równania trygonometryczne

  1. 14Tożsamości podstawoweUżywaj tożsamości odwrotności, ilorazu, Pitagorasa oraz parzystości i nieparzystości.
    • Użyj wszystkich trzech tożsamości Pitagorasa.
    • Użyj tożsamości parzystości i nieparzystości oraz tożsamości kofunkcji.
    • Upraszczaj wyrażenia trygonometryczne.
  2. 15Udowodnij tożsamośćUdowodnij tożsamość trygonometryczną krok po kroku.
    • Pracuj tylko nad jedną stroną.
    • Zapisz od nowa w sinusach i cosinusach.
    • Rozłóż na czynniki i połącz ułamki.
  3. 16Wzory na sumę i różnicęUżywaj wzorów na sumę i różnicę dla sinusa, cosinusa i tangensa.
    • Znajdź dokładną wartość sin 75°.
    • Udowodnij wzory.
    • Upraszczaj wyrażenia za ich pomocą.
  4. 17Wzory na kąt podwojony i kąt połowicznyUżywaj wzorów na kąt podwojony i kąt połowiczny.
    • Użyj sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
    • Użyj wszystkich trzech postaci cos 2θ.
    • Znajdź dokładne wartości kąta połowicznego.
  5. 18Rozwiązuj równania trygonometryczneRozwiązuj równania trygonometryczne na przedziale i w postaci ogólnej.
    • Znajdź wszystkie rozwiązania w [0, 2π).
    • Zapisz rozwiązanie ogólne.
    • Rozwiązuj przez rozkład na czynniki i tożsamości.

Trójkąty i wektory

  1. 19Twierdzenie sinusów i przypadek niejednoznacznyRozwiązuj trójkąty twierdzeniem sinusów, także w przypadku SSA.
    • Użyj twierdzenia sinusów.
    • Zdecyduj, czy SSA daje 0, 1 czy 2 trójkąty.
    • Rozwiązuj zadania z nawigacji.
  2. 20Twierdzenie cosinusów i wzór HeronaRozwiązuj trójkąty twierdzeniem cosinusów i znajdź pole wzorem Herona.
    • Użyj twierdzenia cosinusów dla SAS i SSS.
    • Użyj wzoru Herona.
    • Wybierz właściwe twierdzenie dla trójkąta.
  3. 21WektoryOpisuj wektory przez długość i kierunek oraz w postaci składowych.
    • Zapisz wektor w postaci składowych.
    • Znajdź długość i kąt kierunku.
    • Znajdź wektor jednostkowy.
  4. 22Działania na wektorach i iloczyn skalarnyDodawaj, skaluj i mnóż wektory iloczynem skalarnym.
    • Dodawaj wektory składowymi i na rysunku.
    • Znajdź iloczyn skalarny i kąt między wektorami.
    • Znajdź rzut jednego wektora na drugi.
  5. 23Zastosowania wektorówUżywaj wektorów do zadań o sile, prędkości i pracy.
    • Znajdź siłę wypadkową.
    • Znajdź prędkość samolotu względem ziemi na wietrze.
    • Znajdź pracę iloczynem skalarnym.

Współrzędne biegunowe i liczby zespolone

  1. 24Współrzędne biegunoweZaznaczaj punkty i zamieniaj postać biegunową i prostokątną.
    • Zaznacz (r, θ).
    • Zamień punkty między postacią biegunową a prostokątną.
    • Zamień równania między tymi postaciami.
  2. 25Wykresy biegunoweRysuj wykresy okręgów, róż, limakonów i kardioid.
    • Rysuj r = a cos θ i r = a sin θ.
    • Rysuj róże r = a cos(nθ).
    • Użyj symetrii, żeby rysować szybciej.
  3. 26Liczby zespolone w postaci biegunowejZapisuj liczby zespolone w postaci biegunowej i mnoż je.
    • Zaznacz liczby zespolone i znajdź ich moduł.
    • Zapisz z = r(cos θ + i sin θ).
    • Mnoż i dziel w postaci biegunowej.
  4. 27Twierdzenie de Moivre’aZnajdź potęgi i pierwiastki liczb zespolonych twierdzeniem de Moivre’a.
    • Użyj twierdzenia de Moivre’a do potęg.
    • Znajdź pierwiastki n-tego stopnia liczby zespolonej.
    • Zaznacz pierwiastki z jedności.

Równania parametryczne i krzywe stożkowe

  1. 28Równania parametryczneRysuj wykresy równań parametrycznych i modeluj nimi ruch.
    • Rysuj krzywą z x(t) i y(t).
    • Wyeliminuj parametr.
    • Modeluj ruch pocisku.
  2. 29ParaboleRysuj wykresy parabol z ogniska i kierownicy.
    • Użyj definicji ognisko–kierownica.
    • Zapisz równanie z ogniska i wierzchołka.
    • Wiedz, dlaczego anteny satelitarne są parabolami.
  3. 30ElipsyRysuj wykresy elips i znajdź ich ogniska.
    • Użyj (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1.
    • Znajdź ogniska ze wzoru c² = a² − b².
    • Modeluj orbity planet.
  4. 31HiperboleRysuj wykresy hiperbol z asymptotami i ogniskami.
    • Użyj (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
    • Znajdź asymptoty i ogniska.
    • Sklasyfikuj krzywą stożkową z równania ogólnego.

Macierze i układy

  1. 32Działania na macierzachDodawaj, skaluj i mnóż macierze.
    • Znaj wymiary potrzebne do mnożenia.
    • Pomnóż dwie macierze.
    • Wiedz, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.
  2. 33Wyznaczniki i macierze odwrotneZnajdź wyznacznik i macierz odwrotną.
    • Znajdź wyznacznik 2×2 i 3×3.
    • Znajdź macierz odwrotną 2×2.
    • Wiedz, że macierz o wyznaczniku 0 nie ma macierzy odwrotnej.
  3. 34Rozwiązuj układy macierzamiRozwiązuj układy równań macierzami.
    • Zapisz układ jako AX = B.
    • Rozwiąż macierzą odwrotną.
    • Użyj redukcji wierszowej na macierzy rozszerzonej.
  4. 35Macierze jako przekształceniaUżywaj macierzy do obrotów, odbić i skalowania figur.
    • Zapisz macierz obrotu.
    • Składaj przekształcenia przez mnożenie.
    • Wiedz, że wyznacznik daje współczynnik skali pola.

Indukcja i granice

  1. 36Indukcja matematycznaUdowodnij zdanie dla każdej liczby naturalnej indukcją.
    • Udowodnij przypadek bazowy.
    • Udowodnij krok indukcyjny.
    • Udowodnij wzór na sumę.
  2. 37Wstęp do granicZnajdź granice z wykresów, tabel i algebry.
    • Odczytaj granice jednostronne z wykresu.
    • Znajdź granice przez podstawienie i rozkład na czynniki.
    • Wiedz, kiedy granica nie istnieje.
  3. 38Granice w nieskończoności i ciągłośćZnajdź granice w nieskończoności i ustal, gdzie funkcja jest ciągła.
    • Połącz granice w nieskończoności z asymptotami poziomymi.
    • Znajdź granicę ciągu nieskończonego.
    • Nazwij nieciągłości usuwalne, skokowe i nieskończone.
  4. 39Tempo zmian i styczneZnajdź chwilowe tempo zmian za pomocą granicy.
    • Znajdź nachylenie siecznej.
    • Użyj granicy, żeby znaleźć nachylenie stycznej.
    • Połącz je z prędkością chwilową.

Powtórka, ćwiczenia mieszane i wyzwania

  1. 40Powtórka funkcji i trygonometriiRozwiązuj zadania mieszane z funkcji, tożsamości i równań trygonometrycznych.
    • Analizuj dowolną rodzinę funkcji.
    • Dowodź tożsamości i rozwiązuj równania trygonometryczne.
    • Rozwiązuj trójkąty.
  2. 41Powtórka wektorów, współrzędnych biegunowych, krzywych stożkowych i granicRozwiązuj zadania mieszane z wektorów, postaci biegunowej, krzywych stożkowych, macierzy i granic.
    • Używaj wektorów i współrzędnych biegunowych.
    • Rysuj krzywe stożkowe i rozwiązuj układy macierzami.
    • Znajdź granice.
  3. 42Wyzwanie z prekalkulusuRozwiąż pytania mieszane obejmujące główne działy.
    • Rozwiązuj zadania z każdego działu bez podpowiedzi.
    • Wyjaśnij każdy krok.
    • Znajdź miejsca, które potrzebują więcej ćwiczeń.