Wszystkie lekcje

Kurs

Matematyka klasy 11: Algebra 2

Pracuj z liczbami zespolonymi oraz z funkcjami wielomianowymi, wymiernymi, pierwiastkowymi, wykładniczymi, logarytmicznymi i trygonometrycznymi, i używaj prawdopodobieństwa oraz statystyki, żeby podejmować decyzje.

Rób lekcje po kolei, od przekształceń funkcji aż do samodzielnego rozwiązywania zadań. Na końcu umiesz robić przekształcenia, składanie i funkcje odwrotne oraz rozwiązywać równania kwadratowe z rozwiązaniami zespolonymi. Umiesz rysować wykresy funkcji wielomianowych, dzielić wielomiany i znajdować wszystkie ich zera. Umiesz upraszczać wyrażenia wymierne i pierwiastkowe, rysować wykresy ich funkcji i rozwiązywać ich równania. Umiesz używać logarytmów, żeby rozwiązywać równania wykładnicze i budować modele wzrostu. Umiesz znajdować sumy szeregów arytmetycznych i geometrycznych. Umiesz używać okręgu jednostkowego, żeby rysować wykresy i modelować sinusem i cosinusem. Umiesz znajdować prawdopodobieństwa warunkowe, używać rozkładu normalnego i oceniać wnioski z ankiet i eksperymentów.

Jak używać tych lekcji

  • Zacznij od lekcji oznaczonej Zrób to. Idź dalej, gdy potrafisz sam zrobić linijkę pod tytułem.
  • Najpierw zagraj w Gry. Potem zrób Quiz. 8 z 10 dobrych, żeby zaliczyć. Karty pracy są na papierze. Odpowiedzi są na dole.
  • Każda lekcja opiera się na poprzedniej. Jeśli lekcja jest trudna, cofnij się o jedną.
  • Dla każdej nowej rodziny funkcji najpierw naucz się wykresu macierzystego, potem jego przekształceń. Szkicuj ręcznie, potem sprawdź aplikacją do wykresów. Sprawdź każde rozwiązanie w równaniu wyjściowym, bo niektóre kroki dodają dodatkowe rozwiązania.

Każda lekcja ma gry, quiz i karty pracy.

0 z 40

Funkcje i przekształcenia

  1. 1Funkcje macierzyste i przekształceniaNarysuj wykres y = a·f(b(x − h)) + k na podstawie funkcji macierzystej.
    • Rozpoznaj wykresy macierzyste: liniowy, kwadratowy, wartości bezwzględnej i sześcienny.
    • Opisz przesunięcia, rozciągnięcia i odbicia.
    • Odróżnij funkcje parzyste od nieparzystych.
  2. 2Działania na funkcjach i składanieDodawaj, odejmuj, mnóż, dziel i składaj funkcje.
    • Znajdź (f + g)(x) i (fg)(x).
    • Znajdź f(g(x)) i g(f(x)).
    • Znajdź dziedzinę funkcji połączonej.
  3. 3Funkcje odwrotneZnajdź i narysuj funkcję odwrotną.
    • Zamień x i y i wyznacz y.
    • Wiedz, że funkcja odwrotna to odbicie względem y = x.
    • Sprawdź funkcje odwrotne składaniem i ogranicz dziedziny.

Równania kwadratowe i liczby zespolone

  1. 4Liczby zespoloneDodawaj, odejmuj, mnóż i dziel liczby zespolone.
    • Użyj i² = −1.
    • Zapisuj odpowiedzi w postaci a + bi.
    • Dziel za pomocą sprzężenia zespolonego.
  2. 5Równania kwadratowe z rozwiązaniami zespolonymiRozwiąż dowolne równanie kwadratowe, także z rozwiązaniami zespolonymi.
    • Użyj wzoru na pierwiastki, gdy wyróżnik jest ujemny.
    • Wiedz, że rozwiązania zespolone występują parami sprzężonymi.
    • Połącz brak przecięć z osią x z rozwiązaniami zespolonymi.
  3. 6Nierówności kwadratowe i układyRozwiązuj nierówności kwadratowe i układy nieliniowe.
    • Rozwiąż x² − x − 6 > 0 tabelą znaków.
    • Narysuj wykres nierówności kwadratowej.
    • Rozwiąż układ z prostą i okręgiem.

Funkcje wielomianowe

  1. 7Wykresy funkcji wielomianowychNaszkicuj wykres wielomianu na podstawie stopnia, zachowania na krańcach i zer.
    • Znajdź zachowanie na krańcach z wyrazu wiodącego.
    • Wiedz, jak krotność zmienia wykres w zerze.
    • Znajdź punkty zwrotu i ekstrema lokalne.
  2. 8Dzielenie wielomianówDziel wielomiany dzieleniem pisemnym i dzieleniem syntetycznym.
    • Użyj dzielenia pisemnego wielomianów.
    • Użyj dzielenia syntetycznego dla x − c.
    • Zapisz wynik z resztą.
  3. 9Twierdzenie o reszcie i twierdzenie o czynnikuUżyj twierdzenia o reszcie i twierdzenia o czynniku, żeby znaleźć czynniki.
    • Wiedz, że p(a) jest resztą z dzielenia przez x − a.
    • Wiedz, że x − a jest czynnikiem, gdy p(a) = 0.
    • Rozłóż wielomian sześcienny na czynniki, znając jedno zero.
  4. 10Znajdź wszystkie zeraZnajdź wszystkie zera rzeczywiste i zespolone wielomianu.
    • Użyj twierdzenia o pierwiastkach wymiernych, żeby wypisać kandydatów.
    • Poznaj zasadnicze twierdzenie algebry.
    • Zapisz wielomian na podstawie jego zer.
  5. 11Tożsamości wielomianoweUdowodnij i stosuj tożsamości wielomianowe.
    • Rozłóż sumy i różnice sześcianów.
    • Udowodnij tożsamość, rozwijając.
    • Twórz trójki pitagorejskie za pomocą tożsamości.
  6. 12Twierdzenie o dwumianieRozwiń (a + b)ⁿ trójkątem Pascala i twierdzeniem o dwumianie.
    • Zbuduj trójkąt Pascala.
    • Użyj kombinacji jako współczynników.
    • Znajdź jeden wyraz rozwinięcia.

Funkcje wymierne

  1. 13Upraszczanie wyrażeń wymiernychUprość wyrażenie wymierne i podaj jego ograniczenia.
    • Rozłóż licznik i mianownik na czynniki.
    • Skróć wspólne czynniki.
    • Wypisz wartości, które są niedozwolone.
  2. 14Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernychMnoż i dziel wyrażenia wymierne.
    • Rozkładaj na czynniki przed mnożeniem.
    • Dziel, mnożąc przez odwrotność.
    • Upraszczaj ułamki piętrowe.
  3. 15Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernychDodawaj i odejmuj wyrażenia wymierne o różnych mianownikach.
    • Znajdź najmniejszy wspólny mianownik.
    • Przepisz każdy ułamek i połącz.
    • Uprość wynik.
  4. 16Wykresy funkcji wymiernychRysuj wykresy funkcji wymiernych z asymptotami i dziurami.
    • Znajdź asymptoty pionowe i dziury.
    • Znajdź asymptoty poziome ze stopni.
    • Narysuj wykres y = a/(x − h) + k.
  5. 17Rozwiązywanie równań wymiernychRozwiązuj równania wymierne i sprawdzaj rozwiązania obce.
    • Pomnóż przez najmniejszy wspólny mianownik.
    • Odrzuć rozwiązania, które dają mianownik 0.
    • Rozwiązuj zadania o tempie pracy i koszcie średnim.

Funkcje pierwiastkowe

  1. 18Wyrażenia pierwiastkoweUpraszczaj i łącz pierwiastki n-tego stopnia w wyrażeniach pierwiastkowych.
    • Uprość ∛54 i √(50x³).
    • Dodawaj, odejmuj i mnóż pierwiastki.
    • Usuń pierwiastek z mianownika.
  2. 19Wykresy funkcji pierwiastka kwadratowego i pierwiastka sześciennegoRysuj wykresy funkcji pierwiastka kwadratowego i pierwiastka sześciennego oraz ich przekształcenia.
    • Narysuj y = √x i y = ∛x.
    • Znajdź dziedzinę i zbiór wartości.
    • Połącz je jako funkcje odwrotne do x² i x³.
  3. 20Rozwiązywanie równań pierwiastkowychRozwiązuj równania pierwiastkowe i sprawdzaj rozwiązania obce.
    • Najpierw zostaw pierwiastek po jednej stronie.
    • Podnieś obie strony do potęgi.
    • Sprawdź każde rozwiązanie w równaniu wyjściowym.

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne

  1. 21Funkcje wykładnicze i eRysuj wykresy funkcji wykładniczych i używaj liczby e.
    • Narysuj y = abˣ i znajdź jej asymptotę.
    • Użyj wzrostu ciągłego: A = Pe^(rt).
    • Porównaj okresy kapitalizacji.
  2. 22LogarytmyPrzepisuj między postacią wykładniczą i logarytmiczną i rysuj wykresy funkcji logarytmicznych.
    • Wiedz, że log_b x = y znaczy bʸ = x.
    • Obliczaj logarytmy dziesiętne i naturalne.
    • Narysuj y = log_b x jako funkcję odwrotną do bˣ.
  3. 23Własności logarytmówRozwijaj i skracaj logarytmy.
    • Użyj reguł iloczynu, ilorazu i potęgi.
    • Rozwijaj i skracaj wyrażenia.
    • Użyj wzoru na zmianę podstawy.
  4. 24Rozwiązywanie równań wykładniczych i logarytmicznychRozwiązuj równania wykładnicze i logarytmiczne.
    • Weź logarytm obu stron, żeby rozwiązać 3ˣ = 20.
    • Przepisz na postać wykładniczą, żeby rozwiązać równania logarytmiczne.
    • Odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.
  5. 25Modele wykładnicze i logarytmiczneBuduj i stosuj modele wykładnicze i logarytmiczne.
    • Znajdź czas podwajania i czas połowicznego rozpadu.
    • Użyj skali pH i decybeli.
    • Dopasuj model wykładniczy do danych.

Ciągi i szeregi

  1. 26Notacja sigmaZapisuj i obliczaj sumy w notacji sigma.
    • Odczytaj wskaźnik, granice i regułę.
    • Rozwiń i dodaj krótką sumę.
    • Zapisz sumę w notacji sigma.
  2. 27Szeregi arytmetyczneZnajdź sumę szeregu arytmetycznego.
    • Użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
    • Znajdź liczbę wyrazów.
    • Rozwiązuj zadania o miejscach i oszczędnościach.
  3. 28Szeregi geometryczneZnajdź sumę skończonych i nieskończonych szeregów geometrycznych.
    • Użyj Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r).
    • Wiedz, że szereg nieskończony jest zbieżny, gdy |r| < 1.
    • Znajdź raty pożyczki i kredytu hipotecznego.

Funkcje trygonometryczne

  1. 29Okrąg jednostkowyZnajdź sinus i cosinus dowolnego kąta za pomocą okręgu jednostkowego.
    • Rysuj kąty w położeniu standardowym w stopniach i radianach.
    • Znajdź dokładne wartości dla kątów szczególnych.
    • Użyj kątów odniesienia i znaków według ćwiartki.
  2. 30Wykresy sinusa i cosinusaRysuj wykresy sinusa i cosinusa z amplitudą, okresem i przesunięciami.
    • Znajdź amplitudę i okres.
    • Rysuj przesunięcia fazowe i przesunięcia pionowe.
    • Narysuj y = tan x.
  3. 31Modelowanie zachowania okresowegoNapisz funkcję trygonometryczną, która modeluje zachowanie okresowe.
    • Modeluj pływy i diabelskie młyny.
    • Znajdź linię środkową i amplitudę z danych.
    • Użyj modelu do przewidywania.
  4. 32Tożsamość PitagorasaUdowodnij i stosuj tożsamość Pitagorasa sin²θ + cos²θ = 1.
    • Udowodnij tożsamość okręgiem jednostkowym.
    • Znajdź cos θ z sin θ i z ćwiartki.
    • Upraszczaj wyrażenia trygonometryczne.

Prawdopodobieństwo i statystyka

  1. 33Permutacje i kombinacjeLicz ustawienia i wybory za pomocą permutacji i kombinacji.
    • Użyj reguły mnożenia.
    • Wiedz, kiedy kolejność ma znaczenie.
    • Użyj nPr i nCr, żeby znaleźć prawdopodobieństwa.
  2. 34Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależnośćZnajduj prawdopodobieństwa warunkowe i sprawdzaj niezależność.
    • Użyj P(A | B) = P(A i B) / P(B).
    • Użyj reguły dodawania.
    • Wiedz, że A i B są niezależne, gdy P(A i B) = P(A)P(B).
  3. 35Rozkład normalnyUżyj rozkładu normalnego, żeby oszacować procenty.
    • Użyj reguły 68-95-99.7.
    • Znajdź i interpretuj wyniki z.
    • Wiedz, kiedy model normalny pasuje.
  4. 36Ankiety, eksperymenty i badaniaOdróżniaj ankiety, eksperymenty i badania obserwacyjne.
    • Wiedz, jak losowanie zmniejsza obciążenie.
    • Wiedz, że tylko eksperymenty pokazują przyczynę i skutek.
    • Wychwyć obciążenie w pytaniu ankiety.
  5. 37Margines błędu i wnioskowanieUżyj symulacji i marginesu błędu, żeby ocenić wnioski.
    • Oszacuj odsetek w populacji na podstawie próby.
    • Zinterpretuj margines błędu.
    • Użyj symulacji, żeby zdecydować, czy różnica jest istotna.

Powtórka, ćwiczenia mieszane i wyzwania

  1. 38Powtórka rodzin funkcjiRozwiązuj zadania mieszane z rodzin funkcji wielomianowych, wymiernych, pierwiastkowych i wykładniczych.
    • Dopasuj wykres do rodziny funkcji.
    • Rozwiązuj równania każdego typu.
    • Sprawdzaj rozwiązania obce.
  2. 39Powtórka szeregów, trygonometrii i statystykiRozwiązuj zadania mieszane z szeregów, funkcji trygonometrycznych i prawdopodobieństwa.
    • Sumuj szeregi arytmetyczne i geometryczne.
    • Rysuj wykresy i modeluj funkcjami trygonometrycznymi.
    • Znajduj prawdopodobieństwa i interpretuj statystykę.
  3. 40Wyzwanie z algebry 2Rozwiąż pytania mieszane obejmujące główne działy.
    • Rozwiązuj zadania z każdego działu bez podpowiedzi.
    • Wybierz właściwą funkcję, żeby zamodelować sytuację.
    • Znajdź miejsca, które potrzebują więcej ćwiczeń.
Matematyka klasy 11: Algebra 2