Wszystkie lekcje

Kurs

Matematyka klasy 10: Geometria

Pisz dowody, używaj przekształceń, dowódź przystawania i podobieństwa trójkątów, rozwiązuj trójkąty prostokątne trygonometrią i badaj okręgi oraz bryły.

Rób lekcje po kolei, od punktów i prostych aż do samodzielnego rozwiązywania zadań. Na końcu umiesz używać logiki i konstrukcji, dowodzić twierdzeń o prostych i kątach oraz opisywać przystawanie przez ruchy sztywne. Umiesz dowodzić przystawania trójkątów, używać własności trójkątów i czworokątów oraz dowodzić podobieństwa trójkątów za pomocą jednokładności. Umiesz rozwiązywać trójkąty prostokątne twierdzeniem Pitagorasa i trygonometrią oraz używać twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów. Umiesz znajdować długości łuków, pola wycinków i kąty wpisane oraz zapisywać równanie okręgu. Umiesz pisać dowody w układzie współrzędnych i znajdować objętości graniastosłupów, walców, ostrosłupów, stożków i kul.

Jak używać tych lekcji

  • Zacznij od lekcji oznaczonej Zrób to. Idź dalej, gdy potrafisz sam zrobić wiersz pod tytułem.
  • Najpierw zagraj w Gry. Potem zrób Quiz. 8 z 10 dobrych, żeby zaliczyć. Karty pracy są na papierze. Odpowiedzi są na dole.
  • Każda lekcja opiera się na poprzedniej. Jeśli lekcja jest trudna, cofnij się o jedną.
  • Narysuj i opisz rysunek do każdego zadania. Miej blisko cyrkiel, linijkę bez podziałki i kątomierz. W dowodzie podaj powód każdego zdania.

Każda lekcja ma gry, quiz i karty pracy.

0 z 43

Podstawy, konstrukcje i logika

  1. 1Punkty, proste i płaszczyznyNazywaj i opisuj punkty, proste, półproste, odcinki i płaszczyzny.
    • Używaj poprawnego zapisu prostych, półprostych i odcinków.
    • Znaj pojęcia pierwotne geometrii.
    • Opisuj, jak przecinają się proste i płaszczyzny.
  2. 2Odległość, środek i miara kątaZnajduj odległości, środki i miary kątów.
    • Używaj wzoru na odległość na płaszczyźnie współrzędnych.
    • Używaj wzoru na środek odcinka.
    • Używaj aksjomatów dodawania odcinków i dodawania kątów.
  3. 3KonstrukcjeKonstruuj kopie, dwusieczne i proste prostopadłe cyrklem i linijką bez podziałki.
    • Kopiuj odcinek i kąt.
    • Połów odcinek i kąt.
    • Konstruuj prostą prostopadłą i prostą równoległą.
  4. 4Logika i zdania warunkoweZapisuj zdania warunkowe, zdania odwrotne i kontrprzykłady.
    • Zapisz zdanie odwrotne, zdanie przeciwne i kontrapozycję.
    • Znajdź kontrprzykład do fałszywego zdania.
    • Odróżniaj rozumowanie indukcyjne od dedukcyjnego.

Proste, kąty i dowody

  1. 5Proste równoległe i poprzecznaUżywaj par kątów utworzonych przez proste równoległe i poprzeczną.
    • Nazywaj kąty odpowiadające, naprzemianległe wewnętrzne i jednostronne wewnętrzne.
    • Znajduj nieznane kąty.
    • Dowódź, że proste są równoległe, na podstawie par kątów.
  2. 6Pisanie dowodówPisz dowody w dwóch kolumnach i dowody w akapicie.
    • Używaj definicji, aksjomatów i twierdzeń jako powodów.
    • Używaj własności algebry w dowodach.
    • Napisz dowód w dwóch kolumnach i w akapicie.
  3. 7Dowodzenie twierdzeń o prostych i kątachDowódź twierdzeń o kątach wierzchołkowych i o symetralnych odcinków.
    • Udowodnij, że kąty wierzchołkowe są przystające.
    • Udowodnij, że punkty symetralnej są równo oddalone od końców odcinka.
    • Udowodnij twierdzenie o kątach naprzemianległych wewnętrznych.

Przekształcenia i przystawanie

  1. 8Ruchy sztywneOpisuj translacje, odbicia i obroty jako funkcje, czyli ruchy sztywne.
    • Zapisuj reguły takie jak (x, y) → (−y, x).
    • Opisuj ciąg przekształceń.
    • Wiedz, że ruchy sztywne zachowują długości i kąty.
  2. 9Przystawanie przez ruchy sztywnePokazuj, że figury są przystające, ciągiem ruchów sztywnych.
    • Określ przystawanie przez ruchy sztywne.
    • Znajdź ciąg, który przeprowadza jedną figurę na drugą.
    • Nazywaj odpowiadające sobie części.
  3. 10SymetriaZnajduj symetrię osiową i symetrię obrotową figur.
    • Znajduj osie symetrii wielokąta.
    • Znajduj kąt symetrii obrotowej.
    • Opisuj przekształcenia, które nakładają figurę na siebie.

Trójkąty

  1. 11Przystawanie trójkątówDowódź przystawania trójkątów za pomocą SSS, SAS, ASA, AAS i HL.
    • Wybierz właściwe kryterium przystawania.
    • Wiedz, dlaczego SSA nie działa.
    • Używaj CPCTC w dowodach.
  2. 12Twierdzenia o kątach trójkątaDowódź i stosuj twierdzenie o sumie kątów trójkąta oraz twierdzenie o kącie zewnętrznym.
    • Udowodnij, że kąty trójkąta sumują się do 180°.
    • Stosuj twierdzenie o kącie zewnętrznym.
    • Znajduj nieznane kąty za pomocą algebry.
  3. 13Trójkąty równoramienne i równoboczneStosuj twierdzenie o kątach przy podstawie i twierdzenie odwrotne w trójkątach równoramiennych i równobocznych.
    • Wiedz, że kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.
    • Użyj twierdzenia odwrotnego, aby znaleźć równe boki.
    • Wiedz, że trójkąt równoboczny jest równokątny.
  4. 14Dwusieczne, środkowe i wysokościUżywaj dwusiecznych, środkowych i wysokości, aby znaleźć środek okręgu opisanego, środek okręgu wpisanego, środek ciężkości i ortocentrum.
    • Konstruuj każdy środek trójkąta.
    • Wiedz, że środek ciężkości dzieli środkową w stosunku 2 do 1.
    • Stosuj twierdzenie o linii środkowej.
  5. 15Nierówności trójkątaUżywaj nierówności trójkąta, aby rozstrzygnąć, czy trzy długości tworzą trójkąt, i uporządkować jego boki i kąty.
    • Stosuj nierówność trójkąta.
    • Wiedz, że najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta.
    • Znajduj zakres możliwych długości trzeciego boku.

Wielokąty i czworokąty

  1. 16Suma kątów wielokątaZnajduj sumę kątów wewnętrznych i sumę kątów zewnętrznych wielokąta.
    • Używaj (n − 2) × 180° dla sumy kątów wewnętrznych.
    • Wiedz, że kąty zewnętrzne sumują się do 360°.
    • Znajduj każdy kąt wielokąta foremnego.
  2. 17Własności równoległobokówDowódź i stosuj własności równoległoboków.
    • Udowodnij, że przeciwległe boki i kąty są przystające.
    • Udowodnij, że przekątne dzielą się na połowy.
    • Pokaż, że czworokąt jest równoległobokiem.
  3. 18Prostokąty, romby i kwadratyStosuj własności prostokątów, rombów i kwadratów.
    • Wiedz, że przekątne prostokąta są przystające.
    • Wiedz, że przekątne rombu są prostopadłe.
    • Klasyfikuj czworokąt na podstawie jego własności.
  4. 19Trapezy i deltoidyStosuj własności trapezów i deltoidów.
    • Stosuj twierdzenie o linii środkowej trapezu.
    • Znaj własności trapezu równoramiennego.
    • Wiedz, że przekątne deltoidu są prostopadłe.

Podobieństwo

  1. 20JednokładnościStosuj jednokładności do figur i opisuj skutek skali.
    • Wykonaj jednokładność ze środka o skali k.
    • Wiedz, że jednokładność przeprowadza prostą na prostą równoległą.
    • Określ podobieństwo przez jednokładności i ruchy sztywne.
  2. 21Trójkąty podobneDowódź, że trójkąty są podobne, za pomocą AA, SAS i SSS.
    • Stosuj kryterium podobieństwa AA.
    • Zapisuj i rozwiązuj proporcje dla brakujących boków.
    • Rozwiązuj zadania na pomiar pośredni z cieniami.
  3. 22Proporcje w trójkątachStosuj proporcje w trójkątach: twierdzenie o proporcjonalności i twierdzenie o dwusiecznej.
    • Stosuj twierdzenie o proporcjonalności.
    • Stosuj twierdzenie o dwusiecznej.
    • Udowodnij twierdzenie Pitagorasa za pomocą trójkątów podobnych.

Trójkąty prostokątne i trygonometria

  1. 23Twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotneStosuj twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne oraz klasyfikuj trójkąty według boków.
    • Znajduj brakujące boki w trójkątach prostokątnych.
    • Użyj twierdzenia odwrotnego, aby sprawdzić trójkąt prostokątny.
    • Klasyfikuj trójkąty jako ostrokątne, prostokątne lub rozwartokątne.
  2. 24Szczególne trójkąty prostokątneZnajduj boki szczególnych trójkątów prostokątnych 45-45-90 i 30-60-90.
    • Używaj stosunku 1 : 1 : √2.
    • Używaj stosunku 1 : √3 : 2.
    • Zostawiaj dokładne odpowiedzi z pierwiastkami.
  3. 25Sinus, cosinus i tangensZnajduj stosunki sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym.
    • Używaj SOH CAH TOA.
    • Wiedz, że te stosunki biorą się z trójkątów podobnych.
    • Wiedz, że sin A = cos (90° − A).
  4. 26Rozwiązywanie trójkątów prostokątnychRozwiązuj trójkąty prostokątne: znajduj brakujące boki i kąty trygonometrią.
    • Używaj funkcji odwrotnych, aby znaleźć kąty.
    • Rozwiązuj zadania o kącie wzniesienia i kącie obniżenia.
    • Zaokrąglaj odpowiedzi rozsądnie.
  5. 27Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusówRozwiązuj dowolny trójkąt twierdzeniem sinusów albo twierdzeniem cosinusów.
    • Stosuj twierdzenie sinusów.
    • Stosuj twierdzenie cosinusów.
    • Znajduj pole wzorem 1/2 ab sin C.

Okręgi

  1. 28Części okręgu i łukiNazywaj części okręgu i znajduj miary łuków.
    • Nazywaj promienie, cięciwy, średnice, sieczne i styczne.
    • Znajduj miary łuków mniejszych i większych.
    • Wiedz, że wszystkie okręgi są podobne.
  2. 29Długość łuku i radianyZnajduj długość łuku i zamieniaj stopnie na radiany i odwrotnie.
    • Znajduj długość łuku jako ułamek obwodu.
    • Określ radian.
    • Zamieniaj stopnie na radiany i odwrotnie.
  3. 30Pole wycinkaZnajduj pole wycinka.
    • Znajduj pole wycinka jako ułamek pola koła.
    • Znajduj pole odcinka koła.
    • Rozwiązuj zadania o pizzy i zraszaczach.
  4. 31Kąty wpisaneStosuj związek między kątami wpisanymi a łukami.
    • Wiedz, że kąt wpisany jest połową swojego łuku.
    • Wiedz, że kąt wpisany w półkole jest kątem prostym.
    • Wiedz, że przeciwległe kąty czworokąta wpisanego sumują się do 180°.
  5. 32Styczne, cięciwy i sieczneStosuj własności stycznych, cięciw i siecznych.
    • Wiedz, że styczna jest prostopadła do promienia.
    • Używaj iloczynów odcinków dla cięciw i siecznych.
    • Znajduj kąty utworzone przez cięciwy, sieczne i styczne.
  6. 33Równania okręgówZapisuj i rysuj równanie okręgu.
    • Używaj (x − h)² + (y − k)² = r².
    • Znajduj środek i promień przez uzupełnianie do kwadratu.
    • Rozstrzygaj, czy punkt leży na okręgu.

Geometria analityczna

  1. 34Dowody w układzie współrzędnychDowódź faktów geometrycznych we współrzędnych.
    • Ustawiaj figury na płaszczyźnie współrzędnych w dogodny sposób.
    • Używaj nachylenia i odległości, aby sklasyfikować czworokąt.
    • Udowodnij, że linia środkowa jest równoległa do boku.
  2. 35Podział odcinkaZnajduj punkt, który dzieli odcinek w danym stosunku.
    • Znajdź punkt w 2/5 drogi od A do B.
    • Podziel odcinek w stosunku 1 : 3.
    • Połącz podział odcinka z jednokładnością.
  3. 36Obwód i pole we współrzędnychZnajduj obwód i pole wielokątów na płaszczyźnie współrzędnych.
    • Używaj wzoru na odległość do obwodu.
    • Znajduj pole przez rozkład albo zamknięcie w prostokącie.
    • Znajduj pole trójkąta z jego wierzchołków.

Objętość i modelowanie

  1. 37Objętość graniastosłupów i walcówZnajduj i objaśniaj objętości graniastosłupów i walców.
    • Używaj V = Bh.
    • Objaśnij zasadę Cavalieriego.
    • Znajduj objętość brył pochyłych.
  2. 38Ostrosłupy, stożki i kuleZnajduj objętość i pole powierzchni ostrosłupów, stożków i kul.
    • Używaj V = 1/3 Bh.
    • Używaj V = 4/3 πr³ i SA = 4πr².
    • Rozwiązuj zadania o bryłach złożonych.
  3. 39Przekroje i bryły obrotoweOpisuj przekroje i bryłę obrotową powstałą przez obrót kształtu.
    • Nazywaj przekroje graniastosłupów, walców i stożków.
    • Opisuj bryłę powstałą przez obrót prostokąta albo trójkąta.
    • Łącz figury płaskie z bryłami.
  4. 40Modele gęstości i projektuUżywaj geometrii, aby modelować zadania o gęstości i projekcie.
    • Znajduj gęstość zaludnienia na milę kwadratową.
    • Znajduj masę przedmiotu z jego gęstości.
    • Zaprojektuj pudełko spełniające warunek.

Powtórka, zadania mieszane i wyzwania

  1. 41Powtórka z dowodów i przystawaniaRozwiązuj zadania mieszane z dowodów, przekształceń, trójkątów i czworokątów.
    • Pisz dowody z powodami.
    • Dowódź przystawania i podobieństwa trójkątów.
    • Używaj własności czworokątów.
  2. 42Powtórka z trygonometrii, okręgów i objętościRozwiązuj zadania mieszane z trygonometrii, okręgów i objętości brył.
    • Rozwiązuj trójkąty prostokątne i ukośne.
    • Znajduj łuki, wycinki i równania okręgów.
    • Znajduj objętości brył.
  3. 43Wyzwanie geometryczneUkończ wyzwanie geometryczne: pytania mieszane z głównych działów.
    • Rozwiązuj zadania z każdego działu bez podpowiedzi.
    • Wyjaśniaj każdą odpowiedź twierdzeniem.
    • Znajduj miejsca, które potrzebują więcej ćwiczeń.