Alle lessen

Cursus

Wiskunde klas 12: Voorbereiding op calculus

Analyseer het gedrag van functies, beheers de goniometrie, werk met vectoren, poolcoördinaten, kegelsneden en matrices, en bekijk limieten voor het eerst.

Doe de lessen op volgorde, van de analyse van het gedrag van functies tot zelf sommen oplossen. Aan het eind kun je het gedrag van functies analyseren en functies combineren, polynoomongelijkheden en rationale ongelijkheden oplossen, en modelleren met exponentiële, logaritmische en logistische functies. Je kunt alle zes goniometrische functies en hun inverse functies tekenen, goniometrische identiteiten bewijzen en goniometrische vergelijkingen oplossen. Je kunt elke driehoek oplossen en vectoren gebruiken voor krachten en beweging. Je kunt grafieken tekenen in poolcoördinaten, complexe getallen in poolvorm schrijven en de stelling van De Moivre gebruiken. Je kunt parametervoorstellingen en kegelsneden tekenen en stelsels met matrices oplossen. Je kunt beweringen met inductie bewijzen en limieten vinden, het eerste idee van calculus.

Zo gebruik je deze lessen

  • Begin bij de les met Doe dit. Ga verder als je de regel onder de titel zelf kunt doen.
  • Speel eerst de Spelletjes. Maak daarna de Toets. 8 van 10 goed om te halen. De Werkbladen zijn op papier. De antwoorden staan onderaan.
  • Elke les bouwt voort op de les ervoor. Als een les moeilijk is, ga één les terug.
  • Deze cursus maakt je klaar voor calculus. Ken de eenheidscirkel uit je hoofd. Houd een lijst van identiteiten bij terwijl je ze leert. Schets elke grafiek met de hand en controleer hem daarna met een grafiek-app.

Elke les heeft spelletjes, een toets en werkbladen.

0 van 42

Functies opnieuw

  1. 1Analyseer het gedrag van functiesAnalyseer het gedrag van een functie: waar die stijgt, daalt en de extrema bereikt.
    • Vind intervallen van stijgen en dalen.
    • Vind relatieve en absolute extrema.
    • Vind de gemiddelde veranderingssnelheid op een interval.
  2. 2Combineer en ontbind functiesCombineer oude functies tot nieuwe en ontbind een functie in een samenstelling.
    • Stel functies samen en vind het domein.
    • Schrijf h(x) = √(x² + 1) als f(g(x)).
    • Modelleer een situatie met een samengestelde functie.
  3. 3Inverse functies en domeinbeperkingenBeperk een domein zodat een functie een inverse heeft.
    • Gebruik de horizontale-lijntest.
    • Beperk het domein van x² om de inverse te vinden.
    • Lees inverse waarden af uit een tabel of grafiek.

Polynoomfuncties en rationale functies

  1. 4Gedrag van polynomen en ongelijkhedenLos polynoomongelijkheden op met nulpunten en tekenschema’s.
    • Vind alle nulpunten en hun multipliciteiten.
    • Gebruik een tekenschema om p(x) ≥ 0 op te lossen.
    • Modelleer inhoud en winst met polynomen.
  2. 5Rationale functies en scheve asymptotenTeken rationale functies, ook met scheve asymptoten.
    • Vind verticale, horizontale en scheve asymptoten.
    • Vind gaten en snijpunten.
    • Beschrijf het eindgedrag.
  3. 6Rationale ongelijkhedenLos rationale ongelijkheden op.
    • Vind nulpunten en punten waar de functie niet bestaat.
    • Gebruik een tekenschema.
    • Schrijf de oplossing in intervalnotatie.

Exponentiële, logaritmische en logistische modellen

  1. 7Exponentiële en logaritmische functiesTeken, los op en modelleer met exponentiële en logaritmische functies.
    • Teken transformaties van exponentiële en logaritmische functies.
    • Los vergelijkingen met logaritmen op.
    • Modelleer samengestelde en continue groei.
  2. 8Logistische groeiModelleer groei die afvlakt met een logistische functie.
    • Lees de draagkracht af.
    • Vind het punt van snelste groei.
    • Vergelijk logistische en exponentiële groei.
  3. 9Semilogaritmische grafieken en data recht trekkenGebruik logaritmen om exponentiële data recht te trekken op een semilogaritmische grafiek.
    • Zet log y uit tegen x.
    • Weet dat exponentiële data lineair oogt op een semilogaritmische grafiek.
    • Vind een exponentieel model uit de lijn.

Goniometrische functies

  1. 10Radialen en de eenheidscirkelVind alle zes goniometrische waarden van elke hoek in radialen.
    • Reken om tussen graden en radialen.
    • Vind exacte waarden bij bijzondere hoeken.
    • Vind booglengte en hoeksnelheid.
  2. 11Teken alle zes goniometrische functiesTeken alle zes goniometrische functies: sinus, cosinus, tangens en hun reciproque functies.
    • Teken tangens en cotangens met asymptoten.
    • Teken secans en cosecans vanuit cosinus en sinus.
    • Vind periode, amplitude en verschuivingen.
  3. 12Inverse goniometrische functiesBereken en teken inverse sinus, cosinus en tangens.
    • Ken het beperkte domein van elke functie.
    • Vind exacte waarden zoals arcsin(1/2).
    • Bereken samenstellingen zoals cos(arctan x).
  4. 13SinusmodellenBouw sinusmodellen uit data en gebruik ze om te voorspellen.
    • Modelleer uren daglicht en geluidsgolven.
    • Vind de frequentie van een golf.
    • Gebruik het model om tijden te vinden.

Goniometrische identiteiten en vergelijkingen

  1. 14GrondidentiteitenGebruik reciproque, quotiënt-, Pythagoras- en even-oneven identiteiten.
    • Gebruik alle drie de Pythagoras-identiteiten.
    • Gebruik even-oneven en cofunctie-identiteiten.
    • Vereenvoudig goniometrische uitdrukkingen.
  2. 15Bewijs identiteitenBewijs een goniometrische identiteit stap voor stap.
    • Werk aan één kant.
    • Herschrijf in sinussen en cosinussen.
    • Ontbind in factoren en voeg breuken samen.
  3. 16Som- en verschilformulesGebruik som- en verschilformules voor sinus, cosinus en tangens.
    • Vind de exacte waarde van sin 75°.
    • Bewijs de formules.
    • Vereenvoudig uitdrukkingen ermee.
  4. 17Dubbele-hoek- en halve-hoekformulesGebruik dubbele-hoek- en halve-hoekformules.
    • Gebruik sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
    • Gebruik alle drie de vormen van cos 2θ.
    • Vind exacte halve-hoekwaarden.
  5. 18Los goniometrische vergelijkingen opLos goniometrische vergelijkingen op een interval en in het algemeen op.
    • Vind alle oplossingen in [0, 2π).
    • Schrijf de algemene oplossing.
    • Los op door ontbinden en met identiteiten.

Driehoeken en vectoren

  1. 19De sinusregel en het dubbelzinnige gevalLos driehoeken op met de sinusregel, ook het SSA-geval.
    • Gebruik de sinusregel.
    • Beslis of SSA 0, 1 of 2 driehoeken geeft.
    • Los navigatieproblemen op.
  2. 20De cosinusregel en de formule van HeronLos driehoeken op met de cosinusregel en vind de oppervlakte met de formule van Heron.
    • Gebruik de cosinusregel voor SAS en SSS.
    • Gebruik de formule van Heron.
    • Kies de juiste regel voor een driehoek.
  3. 21VectorenBeschrijf vectoren met grootte en richting en in componentvorm.
    • Schrijf een vector in componentvorm.
    • Vind grootte en richtingshoek.
    • Vind een eenheidsvector.
  4. 22Vectorbewerkingen en het inproductTel vectoren op, schaal ze en vermenigvuldig ze met het inproduct.
    • Tel vectoren op met componenten en diagrammen.
    • Vind het inproduct en de hoek tussen vectoren.
    • Vind de projectie van de ene vector op de andere.
  5. 23Toepassingen van vectorenGebruik vectoren om problemen over kracht, snelheid en arbeid op te lossen.
    • Vind de resulterende kracht.
    • Vind de grondsnelheid van een vliegtuig in wind.
    • Vind arbeid met het inproduct.

Poolcoördinaten en complexe getallen

  1. 24PoolcoördinatenTeken punten en reken om tussen poolvorm en rechthoekige vorm.
    • Teken (r, θ).
    • Reken punten om tussen pool en rechthoekig.
    • Reken vergelijkingen om tussen de vormen.
  2. 25PoolgrafiekenTeken cirkels, rozen, limaçons en cardioïden.
    • Teken r = a cos θ en r = a sin θ.
    • Teken rozen r = a cos(nθ).
    • Gebruik symmetrie om sneller te tekenen.
  3. 26Complexe getallen in poolvormSchrijf complexe getallen in poolvorm en vermenigvuldig ze.
    • Teken complexe getallen en vind hun modulus.
    • Schrijf z = r(cos θ + i sin θ).
    • Vermenigvuldig en deel in poolvorm.
  4. 27De stelling van De MoivreVind machten en wortels van complexe getallen met de stelling van De Moivre.
    • Gebruik de stelling van De Moivre voor machten.
    • Vind de n-de wortels van een complex getal.
    • Teken de eenheidswortels.

Parametervoorstellingen en kegelsneden

  1. 28ParametervoorstellingenTeken parametervoorstellingen en modelleer er beweging mee.
    • Teken een kromme uit x(t) en y(t).
    • Elimineer de parameter.
    • Modelleer een kogelbaan.
  2. 29ParabolenTeken parabolen vanuit hun brandpunt en richtlijn.
    • Gebruik de definitie met brandpunt en richtlijn.
    • Schrijf de vergelijking vanuit brandpunt en top.
    • Weet waarom schotelantennes parabolen zijn.
  3. 30EllipsenTeken ellipsen en vind hun brandpunten.
    • Gebruik (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1.
    • Vind de brandpunten met c² = a² − b².
    • Modelleer planeetbanen.
  4. 31HyperbolenTeken hyperbolen met hun asymptoten en brandpunten.
    • Gebruik (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
    • Vind de asymptoten en brandpunten.
    • Classificeer een kegelsnede uit de algemene vergelijking.

Matrices en stelsels

  1. 32MatrixbewerkingenTel matrices op, schaal ze en vermenigvuldig ze.
    • Ken de afmetingen die je nodig hebt om te vermenigvuldigen.
    • Vermenigvuldig twee matrices.
    • Weet dat matrixvermenigvuldiging niet commutatief is.
  2. 33Determinanten en inverse matricesVind de determinant en de inverse van een matrix.
    • Vind een 2×2- en een 3×3-determinant.
    • Vind een 2×2-inverse.
    • Weet dat een matrix met determinant 0 geen inverse heeft.
  3. 34Los stelsels op met matricesLos stelsels vergelijkingen op met matrices.
    • Schrijf een stelsel als AX = B.
    • Los op met een inverse matrix.
    • Gebruik rijreductie op een aangevulde matrix.
  4. 35Matrices als transformatiesGebruik matrices om figuren te draaien, te spiegelen en te schalen.
    • Schrijf de matrix van een draaiing.
    • Stel transformaties samen door te vermenigvuldigen.
    • Weet dat de determinant de schaalfactor van de oppervlakte geeft.

Inductie en limieten

  1. 36Wiskundige inductieBewijs een bewering voor elk natuurlijk getal met inductie.
    • Bewijs het basisgeval.
    • Bewijs de inductiestap.
    • Bewijs een formule voor een som.
  2. 37Inleiding tot limietenVind limieten uit grafieken, tabellen en algebra.
    • Lees eenzijdige limieten af uit een grafiek.
    • Vind limieten door invullen en ontbinden.
    • Weet wanneer een limiet niet bestaat.
  3. 38Limieten in het oneindige en continuïteitVind limieten in het oneindige en beslis waar een functie continu is.
    • Koppel limieten in het oneindige aan horizontale asymptoten.
    • Vind de limiet van een oneindige rij.
    • Noem ophefbare, sprong- en oneindige discontinuïteiten.
  4. 39Veranderingssnelheid en raaklijnenVind de ogenblikkelijke veranderingssnelheid met een limiet.
    • Vind de helling van een snijlijn.
    • Gebruik een limiet om de helling van een raaklijn te vinden.
    • Koppel die aan de ogenblikkelijke snelheid.

Herhaling, gemengd oefenen en uitdagingen

  1. 40Herhaling van functies en goniometrieLos gemengde opgaven op met functies, identiteiten en goniometrische vergelijkingen.
    • Analyseer elke familie van functies.
    • Bewijs identiteiten en los goniometrische vergelijkingen op.
    • Los driehoeken op.
  2. 41Herhaling van vectoren, pool, kegelsneden en limietenLos gemengde opgaven op met vectoren, poolvorm, kegelsneden, matrices en limieten.
    • Gebruik vectoren en poolcoördinaten.
    • Teken kegelsneden en los matrixstelsels op.
    • Vind limieten.
  3. 42Uitdaging voorbereiding op calculusMaak gemengde vragen over de belangrijkste eenheden.
    • Los opgaven uit elke eenheid op zonder hints.
    • Leg elke stap uit.
    • Vind de stukken die meer oefening nodig hebben.