Totes les lliçons

Curs

Matemàtiques de 12è: Precàlcul

Analitza funcions, domina la trigonometria, treballa amb vectors, coordenades polars, seccions còniques i matrius, i fes una primera ullada als límits.

Fes les lliçons en ordre, des de l’anàlisi de funcions fins a resoldre problemes tu sol. Al final, pots analitzar i combinar funcions, resoldre inequacions polinòmiques i racionals, i modelar amb funcions exponencials, logarítmiques i logístiques. Pots dibuixar les sis funcions trigonomètriques i les seves inverses, verificar identitats trigonomètriques i resoldre equacions trigonomètriques. Pots resoldre qualsevol triangle i usar vectors per a forces i moviment. Pots dibuixar en coordenades polars, escriure nombres complexos en forma polar i usar el teorema de De Moivre. Pots dibuixar equacions paramètriques i seccions còniques i resoldre sistemes amb matrius. Pots demostrar enunciats per inducció i trobar límits, la primera idea del càlcul.

Com fer servir aquestes lliçons

  • Comença a la lliçó que diu Fes això. Passa endavant quan puguis fer tu sol la línia de sota el títol.
  • Primer juga als Jocs. Després fes les Proves. 8 de 10 encerts per aprovar. Les Fitxes són en paper. Les respostes són a baix.
  • Cada lliçó es basa en l’anterior. Si una lliçó és difícil, torna’n una enrere.
  • Aquest curs et prepara per al càlcul. Aprèn la circumferència unitat de memòria. Fes una llista d’identitats a mesura que les aprens. Dibuixa cada gràfica a mà i després comprova-la amb una app de gràfiques.

Cada lliçó té jocs, proves i fitxes.

0 de 42

Les funcions, una altra vegada

  1. 1Analitza el comportament de funcionsAnalitza el comportament d’una funció: on creix, decreix i assoleix els seus extrems.
    • Troba els intervals de creixement i decreixement.
    • Troba els extrems relatius i absoluts.
    • Troba la taxa de canvi mitjana en un interval.
  2. 2Combina i descompon funcionsCombina funcions velles en funcions noves i descompon una funció en una composició.
    • Compon funcions i troba el domini.
    • Escriu h(x) = √(x² + 1) com a f(g(x)).
    • Modela una situació amb una funció composta.
  3. 3Inverses i restriccions del dominiRestringeix el domini perquè una funció tingui inversa.
    • Usa el criteri de la recta horitzontal.
    • Restringeix el domini de x² per trobar-ne la inversa.
    • Llegeix valors de la inversa en una taula o una gràfica.

Funcions polinòmiques i racionals

  1. 4Comportament i inequacions de polinomisResol inequacions de polinomis amb zeros i taules de signes.
    • Troba tots els zeros i les seves multiplicitats.
    • Usa una taula de signes per resoldre p(x) ≥ 0.
    • Modela volum i guany amb polinomis.
  2. 5Funcions racionals i asímptotes obliqüesDibuixa funcions racionals, incloses les asímptotes obliqües.
    • Troba asímptotes verticals, horitzontals i obliqües.
    • Troba forats i interseccions.
    • Descriu el comportament a l’infinit.
  3. 6Inequacions racionalsResol inequacions racionals.
    • Troba els zeros i els punts on no està definida.
    • Usa una taula de signes.
    • Escriu la solució en notació d’intervals.

Models exponencials, logarítmics i logístics

  1. 7Funcions exponencials i logarítmiquesDibuixa, resol i modela amb funcions exponencials i logarítmiques.
    • Dibuixa transformacions de funcions exponencials i logarítmiques.
    • Resol equacions amb logaritmes.
    • Modela el creixement compost i el continu.
  2. 8Creixement logísticModela un creixement que s’estabilitza amb una funció logística.
    • Llegeix la capacitat de càrrega.
    • Troba el punt de creixement més ràpid.
    • Compara el creixement logístic i l’exponencial.
  3. 9Gràfiques semilogarítmiques i dades en línia rectaUsa logaritmes i gràfiques semilogarítmiques per posar dades exponencials en línia recta.
    • Representa log y enfront de x.
    • Reconeix que les dades exponencials es veuen lineals en una gràfica semilogarítmica.
    • Troba un model exponencial a partir de la recta.

Funcions trigonomètriques

  1. 10Radians i la circumferència unitatTroba els sis valors trigonomètrics de qualsevol angle en radians a la circumferència unitat.
    • Converteix entre graus i radians.
    • Troba valors exactes en angles especials.
    • Troba la longitud d’arc i la velocitat angular.
  2. 11Dibuixa les sis funcions trigonomètriquesDibuixa les sis funcions trigonomètriques: sinus, cosinus, tangent i les seves recíproques.
    • Dibuixa la tangent i la cotangent amb asímptotes.
    • Dibuixa la secant i la cosecant a partir del cosinus i el sinus.
    • Troba el període, l’amplitud i els desplaçaments.
  3. 12Funcions trigonomètriques inversesAvalua i dibuixa les funcions trigonomètriques inverses: sinus, cosinus i tangent.
    • Coneix el domini restringit de cada funció.
    • Troba valors exactes com arcsin(1/2).
    • Avalua composicions com cos(arctan x).
  4. 13Models sinusoidalsConstrueix models sinusoidals a partir de dades i usa’ls per predir.
    • Modela les hores de llum i les ones de so.
    • Troba la freqüència d’una ona.
    • Usa el model per trobar temps.

Identitats i equacions trigonomètriques

  1. 14Identitats fonamentalsUsa les identitats fonamentals: recíproques, de quocient, pitagòriques i parell-senar.
    • Usa les tres identitats pitagòriques.
    • Usa les identitats parell-senar i de cofunció.
    • Simplifica expressions trigonomètriques.
  2. 15Verifica identitatsVerifica una identitat trigonomètrica pas a pas.
    • Treballa només en un costat.
    • Reescriu en sinus i cosinus.
    • Factoritza i combina fraccions.
  3. 16Fórmules de suma i diferènciaUsa les fórmules de suma i diferència del sinus, el cosinus i la tangent.
    • Troba el valor exacte de sin 75°.
    • Demostra les fórmules.
    • Simplifica expressions amb elles.
  4. 17Fórmules de l’angle doble i de l’angle meitatUsa les fórmules de l’angle doble i de l’angle meitat.
    • Usa sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
    • Usa les tres formes de cos 2θ.
    • Troba valors exactes de l’angle meitat.
  5. 18Resol equacions trigonomètriquesResol equacions trigonomètriques en un interval i en general.
    • Troba totes les solucions a [0, 2π).
    • Escriu la solució general.
    • Resol factoritzant i amb identitats.

Triangles i vectors

  1. 19La llei dels sinus i el cas ambiguResol triangles amb la llei dels sinus, inclòs el cas ambigu SSA.
    • Usa la llei dels sinus.
    • Decideix si SSA dona 0, 1 o 2 triangles.
    • Resol problemes de navegació.
  2. 20La llei dels cosinus i la fórmula d’HeróResol triangles amb la llei dels cosinus i troba l’àrea amb la fórmula d’Heró.
    • Usa la llei dels cosinus per a SAS i SSS.
    • Usa la fórmula d’Heró.
    • Tria la llei correcta per a un triangle.
  3. 21VectorsDescriu vectors pel mòdul i la direcció i en forma de components.
    • Escriu un vector en forma de components.
    • Troba el mòdul i l’angle de direcció.
    • Troba un vector unitari.
  4. 22Operacions amb vectors i el producte escalarSuma, escala i multiplica vectors amb el producte escalar.
    • Suma vectors amb components i amb diagrames.
    • Troba el producte escalar i l’angle entre vectors.
    • Troba la projecció d’un vector sobre un altre.
  5. 23Aplicacions dels vectorsUsa vectors per resoldre problemes de força, velocitat i treball.
    • Troba la força resultant.
    • Troba la velocitat d’un avió respecte a terra amb vent.
    • Troba el treball amb el producte escalar.

Coordenades polars i nombres complexos

  1. 24Coordenades polarsRepresenta punts en coordenades polars i converteix entre forma polar i rectangular.
    • Representa (r, θ).
    • Converteix punts entre polar i rectangular.
    • Converteix equacions entre les dues formes.
  2. 25Gràfiques polarsFes gràfiques polars de circumferències, roses, limaçons i cardioides.
    • Dibuixa r = a cos θ i r = a sin θ.
    • Dibuixa roses r = a cos(nθ).
    • Usa la simetria per dibuixar més de pressa.
  3. 26Nombres complexos en forma polarEscriu nombres complexos en forma polar i multiplica’ls.
    • Representa nombres complexos i troba’n el mòdul.
    • Escriu z = r(cos θ + i sin θ).
    • Multiplica i divideix en forma polar.
  4. 27Teorema de De MoivreUsa el teorema de De Moivre per trobar potències i arrels de nombres complexos.
    • Usa el teorema de De Moivre per a potències.
    • Troba les arrels n-èsimes d’un nombre complex.
    • Representa les arrels de la unitat.

Equacions paramètriques i seccions còniques

  1. 28Equacions paramètriquesDibuixa equacions paramètriques i modela el moviment amb elles.
    • Dibuixa una corba a partir de x(t) i y(t).
    • Elimina el paràmetre.
    • Modela el moviment d’un projectil.
  2. 29ParàbolesDibuixa paràboles a partir del focus i la directriu.
    • Usa la definició de focus i directriu.
    • Escriu l’equació a partir del focus i el vèrtex.
    • Explica per què les antenes parabòliques són paràboles.
  3. 30El·lipsesDibuixa el·lipses i troba’n els focus.
    • Usa (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1.
    • Troba els focus amb c² = a² − b².
    • Modela òrbites de planetes.
  4. 31HipèrbolesDibuixa hipèrboles amb les asímptotes i els focus.
    • Usa (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
    • Troba les asímptotes i els focus.
    • Classifica una cònica a partir de l’equació general.

Matrius i sistemes

  1. 32Operacions amb matriusSuma, escala i multiplica matrius.
    • Coneix les dimensions necessàries per multiplicar.
    • Multiplica dues matrius.
    • Reconeix que la multiplicació de matrius no és commutativa.
  2. 33Determinants i matrius inversesTroba el determinant i la matriu inversa.
    • Troba un determinant 2×2 i un 3×3.
    • Troba una inversa 2×2.
    • Reconeix que una matriu amb determinant 0 no té inversa.
  3. 34Resol sistemes amb matriusResol sistemes d’equacions amb matrius.
    • Escriu un sistema com AX = B.
    • Resol amb una matriu inversa.
    • Usa la reducció per files en una matriu ampliada.
  4. 35Les matrius com a transformacionsUsa matrius com a transformacions per girar, reflectir i escalar figures.
    • Escriu la matriu d’un gir.
    • Compon transformacions multiplicant.
    • Reconeix que el determinant dona el factor d’escala de l’àrea.

Inducció i límits

  1. 36Inducció matemàticaDemostra un enunciat per a tot nombre natural amb inducció matemàtica.
    • Demostra el cas base.
    • Demostra el pas inductiu.
    • Demostra una fórmula d’una suma.
  2. 37Introducció als límitsTroba límits a partir de gràfiques, taules i àlgebra.
    • Llegeix límits laterals en una gràfica.
    • Troba límits per substitució i factorització.
    • Reconeix quan un límit no existeix.
  3. 38Límits a l’infinit i continuïtatTroba límits a l’infinit i decideix on una funció és contínua.
    • Relaciona els límits a l’infinit amb les asímptotes horitzontals.
    • Troba el límit d’una successió infinita.
    • Anomena discontinuïtats evitables, de salt i infinites.
  4. 39Taxes de canvi i rectes tangentsTroba la taxa de canvi instantània amb un límit i el pendent de la recta tangent.
    • Troba el pendent d’una recta secant.
    • Usa un límit per trobar el pendent d’una recta tangent.
    • Relaciona-la amb la velocitat instantània.

Repàs, pràctica mixta i reptes

  1. 40Repàs de funcions i trigonometriaResol problemes mixtos de funcions i trigonometria, amb identitats i equacions trigonomètriques.
    • Analitza qualsevol família de funcions.
    • Verifica identitats i resol equacions trigonomètriques.
    • Resol triangles.
  2. 41Repàs de vectors, polars, còniques i límitsResol problemes mixtos amb vectors, formes polars, còniques, matrius i límits.
    • Usa vectors i coordenades polars.
    • Dibuixa còniques i resol sistemes amb matrius.
    • Troba límits.
  3. 42Repte de precàlculCompleta el repte de precàlcul amb preguntes mixtes de les unitats principals.
    • Resol problemes de cada unitat sense pistes.
    • Explica cada pas.
    • Troba els temes que necessiten més pràctica.