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12학년 수학: 프리칼큘러스

함수의 행동을 분석하고, 삼각법을 익히고, 벡터, 극좌표, 원뿔곡선, 행렬을 다루고, 극한을 처음 봐요.

레슨을 차례대로 해요. 함수의 행동 분석에서 시작해 혼자 문제를 푸는 데까지 가요. 끝나면 함수의 행동을 분석하고 함수를 합칠 수 있어요. 다항식 부등식과 유리 부등식을 풀고, 지수함수, 로그함수, 로지스틱 함수로 모델을 만들 수 있어요. 여섯 삼각함수와 역삼각함수의 그래프를 그리고, 삼각 항등식을 증명하고, 삼각방정식을 풀 수 있어요. 어떤 삼각형이든 풀고, 힘과 운동에 벡터를 쓸 수 있어요. 극좌표로 그래프를 그리고, 복소수를 극형식으로 쓰고, 드 무아브르 정리를 쓸 수 있어요. 매개변수 방정식과 원뿔곡선의 그래프를 그리고, 행렬로 연립을 풀 수 있어요. 귀납법으로 명제를 증명하고, 극한을 구할 수 있어요. 극한은 미적분의 첫 생각이에요.

이 레슨을 쓰는 방법

  • 이것을 해요라고 표시된 레슨에서 시작해요. 제목 아래 줄을 혼자 할 수 있으면 다음으로 가요.
  • 먼저 게임을 해요. 그다음 퀴즈를 해요. 10개 중 8개 정답이면 통과. 학습지는 종이예요. 정답은 아래에 있어요.
  • 각 레슨은 앞 레슨 위에 쌓여요. 레슨이 어려우면 하나 앞으로 돌아가요.
  • 이 코스는 미적분을 준비해요. 단위원은 외워요. 항등식은 배울 때마다 목록에 적어요. 그래프는 먼저 손으로 스케치하고, 그다음 그래프 앱으로 확인해요.

각 수업에는 게임, 퀴즈, 학습지가 있습니다.

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함수를 다시 보기

  1. 1함수의 행동 분석함수의 행동을 분석해요. 증가하고, 감소하고, 극값에 이르는 곳을 말해요.
    • 증가 구간과 감소 구간을 구해요.
    • 상대 극값과 절대 극값을 구해요.
    • 한 구간에서 평균변화율을 구해요.
  2. 2함수 합치기와 분해옛 함수를 새 함수로 합치고, 함수를 합성으로 분해해요.
    • 함수를 합성하고 정의역을 구해요.
    • h(x) = √(x² + 1)을 f(g(x))로 써요.
    • 상황을 합성함수로 모델해요.
  3. 3역함수와 정의역 제한함수가 역함수를 갖도록 정의역을 제한해요.
    • 수평선 판정을 써요.
    • x²의 정의역을 제한해 역함수를 구해요.
    • 표나 그래프에서 역함수 값을 읽어요.

다항함수와 유리함수

  1. 4다항식의 행동과 부등식영점과 부호표로 다항식 부등식을 풀어요.
    • 모든 영점과 중복도를 구해요.
    • 부호표로 p(x) ≥ 0을 풀어요.
    • 부피와 이익을 다항식으로 모델해요.
  2. 5유리함수와 사선 점근선사선 점근선을 포함해 유리함수의 그래프를 그려요.
    • 수직, 수평, 사선 점근선을 구해요.
    • 구멍과 절편을 구해요.
    • 끝 행동을 말해요.
  3. 6유리 부등식유리 부등식을 풀어요.
    • 영점과 정의되지 않는 점을 구해요.
    • 부호표를 써요.
    • 해를 구간 표기로 써요.

지수, 로그, 로지스틱 모델

  1. 7지수함수와 로그함수지수함수와 로그함수로 그래프를 그리고, 풀고, 모델해요.
    • 지수함수와 로그함수의 변환 그래프를 그려요.
    • 로그로 방정식을 풀어요.
    • 복리 성장과 연속 성장을 모델해요.
  2. 8로지스틱 성장어느 선에서 멈추는 성장을 로지스틱 함수로 모델해요.
    • 환경 수용력을 읽어요.
    • 성장이 가장 빠른 점을 구해요.
    • 로지스틱 성장과 지수 성장을 비교해요.
  3. 9세미로그 그래프와 데이터 직선화로그를 써서 세미로그 그래프에서 지수 데이터를 직선화해요.
    • log y를 x에 대해 그려요.
    • 지수 데이터는 세미로그 그래프에서 직선으로 보인다는 것을 알아요.
    • 그 직선에서 지수 모델을 구해요.

삼각함수

  1. 10라디안과 단위원라디안의 어떤 각이든 여섯 삼각비의 값을 구해요.
    • 도와 라디안을 서로 바꿔요.
    • 특수각에서 정확한 값을 구해요.
    • 호의 길이와 각속도를 구해요.
  2. 11여섯 삼각함수의 그래프여섯 삼각함수의 그래프를 그려요. 사인, 코사인, 탄젠트와 그 역수예요.
    • 점근선과 함께 탄젠트와 코탄젠트를 그려요.
    • 코사인과 사인으로 시컨트와 코시컨트를 그려요.
    • 주기, 진폭, 평행이동을 구해요.
  3. 12역삼각함수역사인, 역코사인, 역탄젠트를 계산하고 그래프를 그려요.
    • 각 함수의 제한된 정의역을 알아요.
    • arcsin(1/2) 같은 정확한 값을 구해요.
    • cos(arctan x) 같은 합성을 계산해요.
  4. 13사인 모델데이터로 사인 모델을 만들고 예측에 써요.
    • 낮의 길이와 소리 파동을 모델해요.
    • 파동의 진동수를 구해요.
    • 모델로 시각을 구해요.

삼각 항등식과 방정식

  1. 14기본 항등식역수, 몫, 피타고라스, 짝함수-홀함수 항등식을 써요.
    • 피타고라스 항등식 세 가지를 모두 써요.
    • 짝함수-홀함수 항등식과 여함수 항등식을 써요.
    • 삼각식을 간단히 해요.
  2. 15항등식 증명삼각 항등식을 한 단계씩 증명해요.
    • 한쪽에만 손을 대요.
    • 사인과 코사인으로 다시 써요.
    • 인수분해하고 분수를 합쳐요.
  3. 16합과 차 공식사인, 코사인, 탄젠트의 합과 차 공식을 써요.
    • sin 75°의 정확한 값을 구해요.
    • 공식을 증명해요.
    • 공식으로 식을 간단히 해요.
  4. 17배각과 반각 공식배각 공식과 반각 공식을 써요.
    • sin 2θ = 2 sin θ cos θ를 써요.
    • cos 2θ의 세 형태를 모두 써요.
    • 반각의 정확한 값을 구해요.
  5. 18삼각방정식 풀기구간 위에서와 일반적으로 삼각방정식을 풀어요.
    • [0, 2π)의 해를 모두 구해요.
    • 일반해를 써요.
    • 인수분해와 항등식으로 풀어요.

삼각형과 벡터

  1. 19사인 법칙과 모호한 경우SSA 경우를 포함해 사인 법칙으로 삼각형을 풀어요.
    • 사인 법칙을 써요.
    • SSA가 삼각형을 0개, 1개, 2개 중 무엇으로 주는지 정해요.
    • 항해 문제를 풀어요.
  2. 20코사인 법칙과 헤론 공식코사인 법칙으로 삼각형을 풀고 헤론 공식으로 넓이를 구해요.
    • SAS와 SSS에 코사인 법칙을 써요.
    • 헤론 공식을 써요.
    • 삼각형에 맞는 법칙을 골라요.
  3. 21벡터크기와 방향, 그리고 성분 형태로 벡터를 나타내요.
    • 벡터를 성분 형태로 써요.
    • 크기와 방향각을 구해요.
    • 단위벡터를 구해요.
  4. 22벡터 연산과 내적벡터를 더하고, 스칼라배하고, 내적으로 곱해요.
    • 성분과 그림으로 벡터를 더해요.
    • 내적과 벡터 사이의 각을 구해요.
    • 한 벡터를 다른 벡터에 정사영해요.
  5. 23벡터의 응용힘, 속도, 일 문제를 벡터로 풀어요.
    • 합력을 구해요.
    • 바람 속 비행기의 대지 속도를 구해요.
    • 내적으로 일을 구해요.

극좌표와 복소수

  1. 24극좌표점을 찍고 극형식과 직교형식을 바꿔요.
    • (r, θ)를 찍어요.
    • 점을 극좌표와 직교좌표 사이에서 바꿔요.
    • 방정식을 두 형식 사이에서 바꿔요.
  2. 25극좌표 그래프원, 장미곡선, 리마송, 심장형의 그래프를 그려요.
    • r = a cos θ와 r = a sin θ의 그래프를 그려요.
    • 장미곡선 r = a cos(nθ)의 그래프를 그려요.
    • 대칭을 써서 더 빨리 그려요.
  3. 26극형식의 복소수복소수를 극형식으로 쓰고 곱해요.
    • 복소수를 찍고 절댓값을 구해요.
    • z = r(cos θ + i sin θ)로 써요.
    • 극형식에서 곱하고 나눠요.
  4. 27드 무아브르 정리드 무아브르 정리로 복소수의 거듭제곱과 거듭제곱근을 구해요.
    • 거듭제곱에 드 무아브르 정리를 써요.
    • 복소수의 n제곱근을 구해요.
    • 1의 거듭제곱근을 찍어요.

매개변수 방정식과 원뿔곡선

  1. 28매개변수 방정식매개변수 방정식의 그래프를 그리고 운동을 모델해요.
    • x(t)와 y(t)로 곡선의 그래프를 그려요.
    • 매개변수를 없애요.
    • 포물선 운동을 모델해요.
  2. 29포물선초점과 준선으로 포물선의 그래프를 그려요.
    • 초점-준선 정의를 써요.
    • 초점과 꼭짓점으로 방정식을 써요.
    • 위성 접시 안테나가 포물선인 이유를 알아요.
  3. 30타원타원의 그래프를 그리고 초점을 구해요.
    • (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1을 써요.
    • c² = a² − b²로 초점을 구해요.
    • 행성 궤도를 모델해요.
  4. 31쌍곡선점근선과 초점과 함께 쌍곡선의 그래프를 그려요.
    • (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1을 써요.
    • 점근선과 초점을 구해요.
    • 일반 방정식으로 원뿔곡선을 분류해요.

행렬과 연립

  1. 32행렬 연산행렬을 더하고, 스칼라배하고, 곱해요.
    • 곱하는 데 필요한 크기를 알아요.
    • 두 행렬을 곱해요.
    • 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 알아요.
  2. 33행렬식과 역행렬행렬의 행렬식과 역행렬을 구해요.
    • 2×2와 3×3 행렬식을 구해요.
    • 2×2 역행렬을 구해요.
    • 행렬식이 0인 행렬은 역행렬이 없다는 것을 알아요.
  3. 34행렬로 연립 풀기행렬로 방정식의 연립을 풀어요.
    • 연립을 AX = B로 써요.
    • 역행렬로 풀어요.
    • 첨가행렬에서 행을 줄여요.
  4. 35변환으로서의 행렬행렬로 도형을 회전, 반사, 확대·축소해요.
    • 회전의 행렬을 써요.
    • 곱으로 변환을 합성해요.
    • 행렬식이 넓이 확대 비율이 된다는 것을 알아요.

귀납법과 극한

  1. 36수학적 귀납법귀납법으로 모든 자연수에 대해 명제를 증명해요.
    • 기본 경우를 증명해요.
    • 귀납 단계를 증명해요.
    • 합의 공식을 증명해요.
  2. 37극한 입문그래프, 표, 대수에서 극한을 구해요.
    • 그래프에서 한쪽 극한을 읽어요.
    • 대입과 인수분해로 극한을 구해요.
    • 극한이 없을 때를 알아요.
  3. 38무한대에서의 극한과 연속무한대에서의 극한을 구하고 함수가 연속인 곳을 정해요.
    • 무한대에서의 극한을 수평 점근선과 연결해요.
    • 무한수열의 극한을 구해요.
    • 제거 가능, 점프, 무한 불연속을 말해요.
  4. 39변화율과 접선극한으로 순간변화율을 구해요.
    • 할선의 기울기를 구해요.
    • 극한으로 접선의 기울기를 구해요.
    • 순간 속도와 연결해요.

복습, 섞어서 연습하기, 도전

  1. 40함수와 삼각함수 복습함수, 항등식, 삼각방정식이 섞인 문제를 풀어요.
    • 어떤 함수 가족이든 분석해요.
    • 항등식을 증명하고 삼각방정식을 풀어요.
    • 삼각형을 풀어요.
  2. 41벡터, 극좌표, 원뿔곡선, 극한 복습벡터, 극형식, 원뿔곡선, 행렬, 극한이 섞인 문제를 풀어요.
    • 벡터와 극좌표를 써요.
    • 원뿔곡선의 그래프를 그리고 행렬 연립을 풀어요.
    • 극한을 구해요.
  3. 42프리칼큘러스 도전주요 단원을 아우르는 섞인 문제를 풀어요.
    • 힌트 없이 모든 단원의 문제를 풀어요.
    • 각 단계를 설명해요.
    • 연습이 더 필요한 곳을 찾아요.