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코스

10학년 수학: 기하

증명을 쓰고, 변환을 쓰고, 삼각형의 합동과 닮음을 증명하고, 삼각법으로 직각삼각형을 풀고, 원과 입체도형을 공부해요.

레슨을 차례대로 해요. 점과 직선에서 시작해 혼자 문제를 푸는 데까지 가요. 끝나면 논리와 작도를 쓰고, 직선과 각의 정리를 증명하고, 강체 변환으로 합동을 설명할 수 있어요. 삼각형의 합동을 증명하고, 삼각형과 사각형의 성질을 쓰고, 확대와 축소로 닮은 삼각형을 증명할 수 있어요. 피타고라스 정리와 삼각법으로 직각삼각형을 풀고, 사인 법칙과 코사인 법칙을 쓸 수 있어요. 호의 길이, 부채꼴의 넓이, 원주각을 구하고, 원의 방정식을 쓸 수 있어요. 좌표 증명을 쓰고, 각기둥, 원기둥, 각뿔, 원뿔, 구의 부피를 구할 수 있어요.

이 레슨을 쓰는 방법

  • 이것을 해요라고 표시된 레슨에서 시작해요. 제목 아래 줄을 혼자 할 수 있으면 다음으로 가요.
  • 먼저 게임을 해요. 그다음 퀴즈를 해요. 10개 중 8개 정답이면 통과. 학습지는 종이예요. 정답은 아래에 있어요.
  • 각 레슨은 앞 레슨 위에 쌓여요. 레슨이 어려우면 하나 전으로 돌아가요.
  • 문제마다 그림을 그리고 이름을 붙여요. 컴퍼스, 직선자, 각도기를 옆에 두어요. 증명에서는 문장마다 이유를 적어요.

각 수업에는 게임, 퀴즈, 학습지가 있습니다.

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기초, 작도, 논리

  1. 1점, 직선, 평면점, 직선, 반직선, 선분, 평면의 이름을 말하고 설명할 수 있어요.
    • 직선, 반직선, 선분의 바른 기호를 써요.
    • 기하의 무정의 용어를 알아요.
    • 직선과 평면이 어떻게 만나는지 설명해요.
  2. 2거리, 중점, 각의 크기거리, 중점, 각의 크기를 구할 수 있어요.
    • 좌표평면에서 거리 공식을 써요.
    • 중점 공식을 써요.
    • 선분의 덧셈과 각의 덧셈 공리를 써요.
  3. 3작도컴퍼스와 직선자로 베낀 것, 이등분선, 수선을 작도할 수 있어요.
    • 선분과 각을 베껴요.
    • 선분과 각을 이등분해요.
    • 수선과 평행선을 작도해요.
  4. 4논리와 조건문조건문, 역, 반례를 쓸 수 있어요.
    • 역, 이, 대우를 써요.
    • 거짓인 문장의 반례를 찾아요.
    • 귀납과 연역을 구분해요.

직선, 각, 증명

  1. 5평행선과 횡단선평행선과 횡단선이 만드는 각의 쌍을 쓸 수 있어요.
    • 동위각, 엇각, 동측내각의 이름을 말해요.
    • 모르는 각을 구해요.
    • 각의 쌍으로 직선이 평행함을 증명해요.
  2. 6증명 쓰기두 칸 증명과 문장 증명을 쓸 수 있어요.
    • 정의, 공리, 정리를 이유로 써요.
    • 증명에서 대수의 성질을 써요.
    • 두 칸과 문장 형태로 증명을 써요.
  3. 7직선과 각의 정리 증명맞꼭지각과 수직이등분선의 정리를 증명할 수 있어요.
    • 맞꼭지각이 합동임을 증명해요.
    • 수직이등분선 위의 점은 양 끝에서 같은 거리임을 증명해요.
    • 엇각의 정리를 증명해요.

변환과 합동

  1. 8강체 변환평행이동, 대칭이동, 회전이동을 강체 변환의 함수로 설명할 수 있어요.
    • (x, y) → (−y, x) 같은 규칙을 써요.
    • 변환의 차례를 설명해요.
    • 강체 변환은 길이와 각을 유지함을 알아요.
  2. 9강체 변환으로 나타내는 합동강체 변환의 차례로 도형이 합동임을 보일 수 있어요.
    • 합동을 강체 변환으로 정의해요.
    • 한 도형을 다른 도형으로 옮기는 차례를 찾아요.
    • 대응하는 부분의 이름을 말해요.
  3. 10대칭도형에서 선대칭과 회전대칭을 찾을 수 있어요.
    • 다각형의 대칭축을 찾아요.
    • 회전대칭의 각을 찾아요.
    • 도형을 자기 자신으로 옮기는 변환을 설명해요.

삼각형

  1. 11삼각형의 합동SSS, SAS, ASA, AAS, HL로 삼각형의 합동을 증명할 수 있어요.
    • 알맞은 합동 조건을 골라요.
    • SSA가 왜 안 되는지 알아요.
    • 증명에서 CPCTC를 써요.
  2. 12삼각형의 각 정리삼각형의 내각의 합과 외각 정리를 증명하고 쓸 수 있어요.
    • 삼각형의 각의 합이 180°임을 증명해요.
    • 외각 정리를 써요.
    • 대수로 모르는 각을 구해요.
  3. 13이등변삼각형과 정삼각형이등변삼각형과 정삼각형에서 밑각 정리와 그 역을 쓸 수 있어요.
    • 이등변삼각형의 밑각은 같음을 알아요.
    • 역을 써서 같은 변을 찾아요.
    • 정삼각형은 모든 각이 같음을 알아요.
  4. 14이등분선, 중선, 높이이등분선, 중선, 높이로 외심, 내심, 무게중심, 수심을 찾을 수 있어요.
    • 각 삼각형의 중심을 작도해요.
    • 무게중심은 중선을 2 대 1로 나눔을 알아요.
    • 중점 연결 정리를 써요.
  5. 15삼각형의 부등식삼각형의 부등식으로 세 길이가 삼각형이 되는지 정하고, 변과 각의 순서를 정할 수 있어요.
    • 삼각부등식 정리를 써요.
    • 가장 긴 변은 가장 큰 각의 맞은편임을 알아요.
    • 셋째 변의 가능한 길이 범위를 구해요.

다각형과 사각형

  1. 16다각형의 각의 합다각형의 내각의 합과 외각의 합을 구할 수 있어요.
    • 내각의 합에 (n − 2) × 180°를 써요.
    • 외각의 합은 360°임을 알아요.
    • 정다각형의 한 각을 구해요.
  2. 17평행사변형의 성질평행사변형의 성질을 증명하고 쓸 수 있어요.
    • 맞은편 변과 맞은편 각이 합동임을 증명해요.
    • 대각선이 서로를 이등분함을 증명해요.
    • 사각형이 평행사변형임을 보여요.
  3. 18직사각형, 마름모, 정사각형직사각형, 마름모, 정사각형의 성질을 쓸 수 있어요.
    • 직사각형의 대각선은 합동임을 알아요.
    • 마름모의 대각선은 수직임을 알아요.
    • 성질로 사각형을 분류해요.
  4. 19사다리꼴과 연꼴사다리꼴과 연꼴의 성질을 쓸 수 있어요.
    • 사다리꼴의 중점 연결 정리를 써요.
    • 등변사다리꼴의 성질을 알아요.
    • 연꼴의 대각선은 수직임을 알아요.

닮음

  1. 20확대와 축소도형을 확대와 축소하고, 배율의 효과를 설명할 수 있어요.
    • 중심에서 배율 k로 확대와 축소를 해요.
    • 확대와 축소는 직선을 평행한 직선으로 보냄을 알아요.
    • 닮음을 확대와 축소와 강체 변환으로 정의해요.
  2. 21닮은 삼각형AA, SAS, SSS로 닮은 삼각형을 증명할 수 있어요.
    • AA 닮음 조건을 써요.
    • 없는 변을 위해 비례식을 쓰고 풀어요.
    • 그림자로 간접 측량 문제를 풀어요.
  3. 22삼각형의 비례삼각형의 비례에서 평행선 비례 정리와 각의 이등분선 정리를 쓸 수 있어요.
    • 평행선 비례 정리를 써요.
    • 각의 이등분선 정리를 써요.
    • 닮은 삼각형으로 피타고라스 정리를 증명해요.

직각삼각형과 삼각법

  1. 23피타고라스 정리와 그 역피타고라스 정리와 그 역을 쓰고, 변으로 삼각형을 분류할 수 있어요.
    • 직각삼각형의 없는 변을 구해요.
    • 역으로 직각삼각형인지 확인해요.
    • 삼각형을 예각, 직각, 둔각으로 분류해요.
  2. 24특수 직각삼각형특수 직각삼각형 45-45-90과 30-60-90의 변을 구할 수 있어요.
    • 비 1 : 1 : √2를 써요.
    • 비 1 : √3 : 2를 써요.
    • 근호가 있는 정확한 답을 남겨요.
  3. 25사인, 코사인, 탄젠트직각삼각형에서 사인, 코사인, 탄젠트의 비를 구할 수 있어요.
    • SOH CAH TOA를 써요.
    • 이 비는 닮은 삼각형에서 나옴을 알아요.
    • sin A = cos (90° − A)임을 알아요.
  4. 26직각삼각형 풀기삼각법으로 직각삼각형을 풀어, 없는 변과 각을 구할 수 있어요.
    • 역삼각법으로 각을 구해요.
    • 앙각과 부각 문제를 풀어요.
    • 답을 알맞게 반올림해요.
  5. 27사인 법칙과 코사인 법칙사인 법칙이나 코사인 법칙으로 어떤 삼각형이든 풀 수 있어요.
    • 사인 법칙을 써요.
    • 코사인 법칙을 써요.
    • 1/2 ab sin C로 넓이를 구해요.

원

  1. 28원의 부분과 호원의 부분 이름을 말하고, 호의 크기를 구할 수 있어요.
    • 반지름, 현, 지름, 할선, 접선의 이름을 말해요.
    • 열호와 우호의 크기를 구해요.
    • 모든 원은 닮음임을 알아요.
  2. 29호의 길이와 라디안호의 길이를 구하고, 도와 라디안을 바꿀 수 있어요.
    • 호의 길이를 원둘레의 분수로 구해요.
    • 라디안을 정의해요.
    • 도와 라디안을 바꿔요.
  3. 30부채꼴의 넓이부채꼴의 넓이를 구할 수 있어요.
    • 부채꼴의 넓이를 원의 넓이의 분수로 구해요.
    • 활꼴의 넓이를 구해요.
    • 피자와 스프링클러 문제를 풀어요.
  4. 31원주각원주각과 호의 관계를 쓸 수 있어요.
    • 원주각은 그 호의 절반임을 알아요.
    • 반원에 내접하는 각은 직각임을 알아요.
    • 원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 180°임을 알아요.
  5. 32접선, 현, 할선접선, 현, 할선의 성질을 쓸 수 있어요.
    • 접선은 반지름과 수직임을 알아요.
    • 현과 할선의 선분 곱을 써요.
    • 현, 할선, 접선이 만드는 각을 구해요.
  6. 33원의 방정식원의 방정식을 쓰고 그래프로 그릴 수 있어요.
    • (x − h)² + (y − k)² = r²를 써요.
    • 완전제곱식으로 중심과 반지름을 구해요.
    • 점이 원 위에 있는지 정해요.

좌표 기하

  1. 34좌표 증명좌표로 도형의 사실을 증명할 수 있어요.
    • 도형을 좌표평면에 알맞게 놓아요.
    • 기울기와 거리로 사각형을 분류해요.
    • 중점 연결이 한 변과 평행함을 증명해요.
  2. 35선분 나누기정한 비로 선분을 나누는 점을 찾을 수 있어요.
    • A에서 B로 가는 길의 2/5인 점을 찾아요.
    • 선분을 비 1 : 3으로 나눠요.
    • 선분 나누기와 확대와 축소를 연결해요.
  3. 36좌표로 둘레와 넓이좌표평면 위 다각형의 둘레와 넓이를 구할 수 있어요.
    • 둘레에 거리 공식을 써요.
    • 나누거나 직사각형으로 둘러서 넓이를 구해요.
    • 꼭짓점으로 삼각형의 넓이를 구해요.

부피와 모형

  1. 37각기둥과 원기둥의 부피각기둥과 원기둥의 부피를 구하고 설명할 수 있어요.
    • V = Bh를 써요.
    • 카발리에리의 원리를 설명해요.
    • 비스듬한 입체의 부피를 구해요.
  2. 38각뿔, 원뿔, 구각뿔, 원뿔, 구의 부피와 겉넓이를 구할 수 있어요.
    • V = 1/3 Bh를 써요.
    • V = 4/3 πr³과 SA = 4πr²를 써요.
    • 합쳐진 입체 문제를 풀어요.
  3. 39단면과 회전체단면과, 모양을 돌려 만든 회전체를 설명할 수 있어요.
    • 각기둥, 원기둥, 원뿔의 단면 이름을 말해요.
    • 직사각형이나 삼각형을 돌려 만든 입체를 설명해요.
    • 평면도형과 입체도형을 연결해요.
  4. 40밀도와 설계 모형기하로 밀도와 설계 문제를 모형으로 만들 수 있어요.
    • 1제곱마일당 인구 밀도를 구해요.
    • 밀도로 물체의 질량을 구해요.
    • 조건에 맞는 상자를 설계해요.

복습, 섞어 풀기, 도전

  1. 41증명과 합동 복습증명, 변환, 삼각형, 사각형이 섞인 문제를 풀 수 있어요.
    • 이유가 있는 증명을 써요.
    • 삼각형의 합동과 닮음을 증명해요.
    • 사각형의 성질을 써요.
  2. 42삼각법, 원, 부피 복습삼각법, 원, 부피가 섞인 문제를 풀 수 있어요.
    • 직각삼각형과 빗삼각형을 풀어요.
    • 호, 부채꼴, 원의 방정식을 구해요.
    • 입체의 부피를 구해요.
  3. 43기하 도전주요 단원을 다루는 섞인 기하 도전을 마칠 수 있어요.
    • 힌트 없이 모든 단원의 문제를 풀어요.
    • 각 답을 정리로 설명해요.
    • 더 연습이 필요한 곳을 찾아요.
10학년 수학: 기하