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9年生の数学：代数1

方程式と不等式を解いて、一次関数と指数関数のグラフをかいて、多項式を因数分解して、二次方程式を解こう。

レッスンを順にやろう。式からはじめて、最後はひとりで問題を解けるようになる。おわるころには、一次方程式を解き、公式を変形し、複合不等式と絶対値の不等式を解ける。関数の記法を使い、一次方程式をいくつかの形で書き、等差数列でモデルを作れる。連立方程式と連立不等式を解き、区分関数のグラフをかける。有理数の指数を使い、指数的な増加と減少のモデルを作り、一次と指数のモデルを比べられる。多項式を足し、かけ、因数分解し、二次関数のグラフをかき、因数分解、平方完成、解の公式で二次方程式を解ける。標準偏差、二元の表、残差でデータをまとめられる。

このレッスンのつかいかた

  • 「これをやる」のレッスンからはじめよう。タイトルの下の文が、ひとりでできたら、次に進もう。
  • はじめにゲームをしよう。それからクイズをしよう。10問中8問正解で合格。ワークシートは紙。答えは下にある。
  • どのレッスンも、前のレッスンの上に積む。むずかしいときは、ひとつ前にもどろう。
  • すべての手順を書こう。答えを元の方程式に入れて確かめよう。グラフ電卓や無料のグラフアプリは関数を見る助けになる。でも、先に手でグラフをかこう。

どのレッスンにもゲーム、クイズ、ワークシートがあります。

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式と方程式

  1. 1式と性質実数の性質を使って、式を簡単にしよう。
    • 交換、結合、分配の性質を使おう。
    • 式の項、因数、係数を言おう。
    • P(1 + r)^n のように、場面の中で式の部分を読み取ろう。
  2. 2一次方程式を解く何段階かの一次方程式を解き、各手順の理由を言おう。
    • 分数があり、両辺に文字がある方程式を解こう。
    • 各手順を性質で説明しよう。
    • 解がない方程式と、すべての実数が解の方程式を見分けよう。
  3. 3文字の方程式と公式文字の方程式と公式を変形して、別の文字について解こう。
    • A = 1/2 bh を h について解こう。
    • d = rt を t について解こう。
    • 2x + 3y = 6 を y について解こう。
  4. 4単位とモデル単位を使ってモデルを立て、確かめよう。
    • 次元の分析で単位を換算しよう。
    • ちょうどよいけたの正確さを選ぼう。
    • 実際の場面の方程式を書こう。

不等式

  1. 5一次不等式を解く何段階かの一次不等式を解き、グラフにしよう。
    • 負の数をかけたり割ったりするときは、不等号を逆にしよう。
    • 解を数直線にかこう。
    • 解を区間の記法で書こう。
  2. 6複合不等式「かつ」と「または」の複合不等式を解き、グラフにしよう。
    • −3 < 2x + 1 ≤ 7 を解こう。
    • x < −2 または x > 5 を解こう。
    • 共通部分か、合わせた部分をかこう。
  3. 7絶対値の方程式と不等式絶対値を含む方程式と不等式を解こう。
    • |x − 3| = 5 を二つの方程式として解こう。
    • |x + 1| < 4 を「かつ」の不等式として解こう。
    • 解がないときを知ろう。

一次関数

  1. 8関数の記法、定義域、値域f(x) の関数の記法を使い、関数の定義域と値域を求めよう。
    • f(3) を計算し、f(x) = 7 を解こう。
    • グラフから定義域と値域を求めよう。
    • 実際の場面に合う定義域を選ぼう。
  2. 9変化の割合区間での平均の変化の割合を求め、説明しよう。
    • 表、グラフ、方程式から変化の割合を求めよう。
    • 一次関数の変化の割合は一定だと知ろう。
    • 1時間あたりのドルのように、割合の単位を説明しよう。
  3. 10一次方程式の形一次方程式を、傾き切片形、点傾き形、標準形で書こう。
    • 点と傾きから y − y₁ = m(x − x₁) を書こう。
    • 形を互いに変換しよう。
    • 標準形から切片を求めよう。
  4. 11平行な直線と垂直な直線平行な直線と垂直な直線の方程式を書こう。
    • 平行な直線の傾きは等しいと知ろう。
    • 垂直な直線の傾きをかけると −1 になると知ろう。
    • ある点を通り、別の直線に平行または垂直な直線を書こう。
  5. 12等差数列等差数列を一次関数として書こう。
    • 公差を求めよう。
    • 一般項 aₙ = a₁ + (n − 1)d を書こう。
    • 漸化式を書こう。

連立方程式と連立不等式

  1. 13連立方程式を解く連立一次方程式を、グラフ、代入、加減法で解こう。
    • いちばん効率のよい方法を選ぼう。
    • 加減法がうまくいく理由を説明しよう。
    • 解がない連立と、解が無数にある連立を見分けよう。
  2. 14連立一次不等式連立一次不等式のグラフをかき、解の領域を求めよう。
    • y ≤ 2x + 1 を実線とぬりでかこう。
    • ぬった領域が重なるところを見つけよう。
    • 点を入れて確かめよう。
  3. 15連立でモデルを作る実生活の問題を、連立のモデルにして解こう。
    • 混合と費用の比較の問題を解こう。
    • 制約を使って、ありうる解を求めよう。
    • 場面に合わせて解を説明しよう。

絶対値と区分関数

  1. 16絶対値関数絶対値関数とその変換のグラフをかこう。
    • y = |x| を V の形としてかこう。
    • y = a|x − h| + k をかこう。
    • 頂点と、開く向きを求めよう。
  2. 17区分関数と階段関数区分関数と階段関数のグラフをかき、値を求めよう。
    • 与えられた入力で、区分関数の値を求めよう。
    • 各部分を、その定義域にかこう。
    • 駐車料金を階段関数でモデルにしよう。

指数と指数関数

  1. 18指数の性質と有理数の指数整数の指数と有理数の指数の性質で、式を簡単にしよう。
    • 指数の規則をまとめて使おう。
    • x^(1/2) を √x と書き、8^(2/3) を 4 と書こう。
    • 根号を有理数の指数で書きかえよう。
  2. 19指数的な増加と減少指数的な増加と減少の関数を書き、グラフにしよう。
    • 増加は y = a(1 + r)^t と書こう。
    • 減少は y = a(1 − r)^t と書こう。
    • 複利と人口の問題を解こう。
  3. 20等比数列等比数列を指数関数として書こう。
    • 公比を求めよう。
    • aₙ = a₁ × r^(n − 1) を書こう。
    • 漸化式を書こう。
  4. 21一次と指数のモデル状況が一次のモデルか指数のモデルかを決め、増え方を比べよう。
    • 差が等しいか、比が等しいかを調べよう。
    • 指数的な増加は、やがて一次の増加を追いこすと知ろう。
    • 表からモデルを作ろう。

多項式と因数分解

  1. 22多項式の足し算と引き算多項式を足し、引こう。
    • 次数と最高次の係数を言おう。
    • 多項式を標準形で書こう。
    • 同類項をまとめて足し、引こう。
  2. 23多項式のかけ算多項式をかけよう。
    • 単項式と多項式をかけよう。
    • 面積のモデルで二つの二項式をかけよう。
    • 二項式と三項式をかけよう。
  3. 24乗法公式乗法公式のパターンで、二項の平方と平方の差を使おう。
    • (a + b)² = a² + 2ab + b² を使おう。
    • (a + b)(a − b) = a² − b² を使おう。
    • パターンですばやくかけよう。
  4. 25最大公約数とグループ分けで因数分解最大公約数をくくり出し、グループ分けで因数分解しよう。
    • 6x³ + 9x² を 3x²(2x + 3) に因数分解しよう。
    • 四つの項をグループ分けで因数分解しよう。
    • かけて確かめよう。
  5. 26三項式の因数分解ax² + bx + c の形の三項式を因数分解しよう。
    • x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) と因数分解しよう。
    • a ≠ 1 のときも因数分解しよう。
    • 因数分解できない三項式を見分けよう。
  6. 27特別な形の因数分解特別な形として、完全平方式と平方の差を因数分解しよう。
    • x² − 49 を因数分解しよう。
    • 4x² + 12x + 9 を因数分解しよう。
    • いくつかの手順で、完全に因数分解しよう。

二次関数と二次方程式

  1. 28二次関数のグラフ二次関数のグラフをかき、主な特徴を求めよう。
    • 頂点、対称軸、切片を求めよう。
    • x = −b/(2a) で頂点を求めよう。
    • 放物線が上に開くか下に開くかを知ろう。
  2. 29頂点形と変換y = a(x − h)² + k の頂点形のグラフをかき、変換を説明しよう。
    • 頂点 (h, k) を読み取ろう。
    • 伸び、縮み、折り返し、平行移動を説明しよう。
    • グラフから二次関数を書こう。
  3. 30因数分解で二次方程式を解く因数分解で二次方程式を解こう。
    • 積が 0 なら、どれかの因数が 0 だと使おう。
    • まず方程式を 0 に等しくしよう。
    • 解を x 切片と結びつけよう。
  4. 31平方根で二次方程式を解く平方根をとって二次方程式を解こう。
    • x² = 25 を解いて x = ±5 を得よう。
    • (x − 3)² = 16 を解こう。
    • 答えの平方根を簡単にしよう。
  5. 32平方完成平方完成で二次方程式を解き、頂点を求めよう。
    • 両辺に (b/2)² を足そう。
    • x² + 6x − 7 = 0 を解こう。
    • 標準形を頂点形に書きかえよう。
  6. 33二次方程式の解の公式解の公式で、どんな二次方程式も解こう。
    • x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) を使おう。
    • 判別式で実数の解の個数を数えよう。
    • 与えられた方程式にいちばん合う方法を選ぼう。
  7. 34二次のモデル二次のモデルで、投げた物の動きと面積を表そう。
    • 投げたボールの最大の高さを求めよう。
    • 地面に着くときを求めよう。
    • 面積が最大になる寸法を求めよう。
  8. 35一次と二次の連立直線と放物線の、一次と二次の連立を解こう。
    • 代入で解こう。
    • 解は 0 個、1 個、2 個がありうると知ろう。
    • グラフで確かめよう。

統計

  1. 36データの分布と標準偏差形、中心、散らばりでデータの分布を比べ、標準偏差を使おう。
    • 平均と標準偏差を求めよう。
    • 偏ったデータには中央値と四分位範囲 (IQR) を選ぼう。
    • 外れ値の影響を説明しよう。
  2. 37二元の表と相対度数二元の表で、同時、周辺、条件つきの相対度数を求めよう。
    • 二元の度数表を作ろう。
    • 行ごと、列ごとの相対度数を求めよう。
    • ありそうな関係を説明しよう。
  3. 38相関と残差データに直線を当てはめ、相関を求め、残差を読もう。
    • テクノロジーで最適な直線を求めよう。
    • 相関係数 r を読み取ろう。
    • 残差のグラフで当てはまりを判断し、相関は因果ではないと知ろう。

復習、まぜた練習、チャレンジ

  1. 39一次と指数の復習一次と指数の復習として、方程式、不等式、連立、指数のモデルのまざった問題を解こう。
    • 方程式と不等式を解こう。
    • 一次関数と連立の式を書き、グラフにしよう。
    • 指数のモデルを作ろう。
  2. 40多項式と二次の復習多項式、二次、データのまざった復習の問題を解こう。
    • 多項式をかけ、因数分解しよう。
    • いちばん合う方法で二次方程式を解こう。
    • データをまとめ、モデルにしよう。
  3. 41代数1のチャレンジ主な単元をまとめた、代数1のチャレンジのまざった問題を解こう。
    • ヒントなしで、すべての単元の問題を解こう。
    • 場面に合うモデルを選ぼう。
    • もっと練習が必要なところを見つけよう。
9年生の数学：代数1