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12年生の数学：プレカルキュラス

関数のふるまいを分析し、三角関数を身につけ、ベクトル、極座標、円錐曲線、行列を扱い、極限を初めて見る。

レッスンを順番に進める。関数のふるまいの分析から、ひとりで問題を解くまで。終わるころには、関数のふるまいを分析し、関数を組み合わせられる。多項式の不等式と有理不等式を解き、指数関数、対数関数、ロジスティック関数でモデルが作れる。六つの三角関数と逆三角関数のグラフが描け、三角の恒等式を証明し、三角方程式を解ける。どの三角形も解け、力と運動にベクトルを使える。極座標でグラフを描き、複素数を極形式で書き、ド・モアブルの定理を使える。媒介変数表示と円錐曲線のグラフを描き、行列で連立を解ける。帰納法で命題を証明し、極限を求められる。極限は、微積分の最初の考えかただ。

このレッスンのつかいかた

  • 「これをやる」のレッスンからはじめよう。タイトルの下の文が、ひとりでできたら、次へ進もう。
  • はじめにゲームをしよう。それからクイズをしよう。10問中8問正解で合格。ワークシートは紙。答えは下にある。
  • 各レッスンは、前のレッスンの上に積み重なる。むずかしいときは、一つ前にもどろう。
  • このコースは、微積分の準備だ。単位円は、そらで言えるようにしよう。恒等式は、習ったときにリストへ書こう。グラフは、まず手でスケッチし、それからグラフのアプリで確かめよう。

どのレッスンにもゲーム、クイズ、ワークシートがあります。

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関数をもう一度

  1. 1関数のふるまいを分析する関数のふるまいを分析する。増加するところ、減少するところ、極値に達するところを述べる。
    • 増加と減少の区間を求める。
    • 相対的な極値と絶対的な極値を求める。
    • 区間での平均変化率を求める。
  2. 2関数を組み合わせ、分解する古い関数から新しい関数を組み合わせ、関数を合成に分解する。
    • 関数を合成し、定義域を求める。
    • h(x) = √(x² + 1) を f(g(x)) と書く。
    • 場面を合成関数でモデルにする。
  3. 3逆関数と定義域の制限関数が逆関数を持つように、定義域を制限する。
    • 水平線テストを使う。
    • x² の定義域を制限して、逆関数を求める。
    • 表やグラフから逆関数の値を読む。

多項式関数と有理関数

  1. 4多項式のふるまいと不等式零点と符号表で、多項式の不等式を解く。
    • すべての零点と重複度を求める。
    • 符号表を使い、p(x) ≥ 0 を解く。
    • 体積と利益を多項式でモデルにする。
  2. 5有理関数と斜めの漸近線斜めの漸近線を含めて、有理関数のグラフをかく。
    • 垂直、水平、斜めの漸近線を求める。
    • 穴と切片を求める。
    • 端でのふるまいを述べる。
  3. 6有理不等式有理不等式を解く。
    • 零点と、定義されない点を求める。
    • 符号表を使う。
    • 解を区間で書く。

指数・対数・ロジスティックのモデル

  1. 7指数関数と対数関数指数関数と対数関数で、グラフをかき、方程式を解き、モデルを作る。
    • 指数関数と対数関数の変換のグラフをかく。
    • 対数を使って方程式を解く。
    • 複利の増加と連続的な増加をモデルにする。
  2. 8ロジスティック成長頭打ちになる成長を、ロジスティック関数でモデルにする。
    • 環境収容力を読む。
    • 成長が最も速い点を求める。
    • ロジスティック成長と指数成長を比べる。
  3. 9片対数グラフとデータの直線化対数を使い、片対数グラフで指数のデータを直線化する。
    • log y を x に対してプロットする。
    • 指数のデータは、片対数グラフで直線に見えると知る。
    • その直線から指数モデルを求める。

三角関数

  1. 10ラジアンと単位円ラジアンのどの角でも、六つの三角比を求める。
    • 度とラジアンを変換する。
    • 特別な角の正確な値を求める。
    • 弧の長さと角速度を求める。
  2. 11六つの三角関数のグラフ六つの三角関数のグラフをかく。正弦、余弦、正接と、その逆数だ。
    • 漸近線をつけて、正接と余接のグラフをかく。
    • 余弦と正弦から、正割と余割のグラフをかく。
    • 周期、振幅、移動を求める。
  3. 12逆三角関数逆正弦、逆余弦、逆正接を計算し、グラフをかく。
    • 各関数の制限された定義域を知る。
    • arcsin(1/2) のような正確な値を求める。
    • cos(arctan x) のような合成を計算する。
  4. 13正弦モデルデータから正弦モデルを作り、予測に使う。
    • 昼の長さと音波をモデルにする。
    • 波の振動数を求める。
    • モデルを使い、時刻を求める。

三角恒等式と方程式

  1. 14基本恒等式逆数、商、ピタゴラス、偶奇の恒等式を使う。
    • 三つのピタゴラスの恒等式をすべて使う。
    • 偶奇と余関数の恒等式を使う。
    • 三角の式を簡単にする。
  2. 15恒等式を証明する三角の恒等式を、一歩ずつ証明する。
    • 片方だけを変形する。
    • 正弦と余弦で書き直す。
    • 因数分解し、分数をまとめる。
  3. 16和と差の公式正弦、余弦、正接の和と差の公式を使う。
    • sin 75° の正確な値を求める。
    • 公式を証明する。
    • 公式で式を簡単にする。
  4. 17倍角と半角の公式倍角と半角の公式を使う。
    • sin 2θ = 2 sin θ cos θ を使う。
    • cos 2θ の三つの形をすべて使う。
    • 半角の正確な値を求める。
  5. 18三角方程式を解く区間の上と、一般の形で、三角方程式を解く。
    • [0, 2π) の解をすべて求める。
    • 一般解を書く。
    • 因数分解と恒等式で解く。

三角形とベクトル

  1. 19正弦定理とあいまいな場合SSA の場合を含めて、正弦定理で三角形を解く。
    • 正弦定理を使う。
    • SSA が三角形を 0 個、1 個、2 個のどれにするか決める。
    • 航海の問題を解く。
  2. 20余弦定理とヘロンの公式余弦定理で三角形を解き、ヘロンの公式で面積を求める。
    • SAS と SSS に余弦定理を使う。
    • ヘロンの公式を使う。
    • 三角形に合う定理を選ぶ。
  3. 21ベクトル大きさと向き、および成分の形でベクトルを表す。
    • ベクトルを成分の形で書く。
    • 大きさと方向角を求める。
    • 単位ベクトルを求める。
  4. 22ベクトルの演算と内積ベクトルを足し、スカラー倍し、内積で掛ける。
    • 成分と図でベクトルを足す。
    • 内積と、ベクトルの間の角を求める。
    • 一つのベクトルの、もう一つのベクトルへの正射影を求める。
  5. 23ベクトルの応用力、速度、仕事の問題をベクトルで解く。
    • 合力を求める。
    • 風の中の飛行機の対地速度を求める。
    • 内積で仕事を求める。

極座標と複素数

  1. 24極座標点をプロットし、極形式と直交形式を変換する。
    • (r, θ) をプロットする。
    • 点を極座標と直交座標の間で変換する。
    • 方程式を二つの形式の間で変換する。
  2. 25極座標のグラフ円、バラ曲線、リマソン、カージオイドのグラフをかく。
    • r = a cos θ と r = a sin θ のグラフをかく。
    • バラ曲線 r = a cos(nθ) のグラフをかく。
    • 対称性を使い、より速くグラフをかく。
  3. 26極形式の複素数複素数を極形式で書き、掛ける。
    • 複素数をプロットし、絶対値を求める。
    • z = r(cos θ + i sin θ) と書く。
    • 極形式で掛け、割る。
  4. 27ド・モアブルの定理ド・モアブルの定理で、複素数の累乗と累乗根を求める。
    • 累乗にド・モアブルの定理を使う。
    • 複素数の n 乗根を求める。
    • 1 の累乗根をプロットする。

媒介変数と円錐曲線

  1. 28媒介変数表示媒介変数表示のグラフをかき、運動をモデルにする。
    • x(t) と y(t) から曲線のグラフをかく。
    • 媒介変数を消去する。
    • 放物運動をモデルにする。
  2. 29放物線焦点と準線から放物線のグラフをかく。
    • 焦点と準線の定義を使う。
    • 焦点と頂点から方程式を書く。
    • パラボラアンテナが放物線である理由を知る。
  3. 30楕円楕円のグラフをかき、焦点を求める。
    • (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 を使う。
    • c² = a² − b² で焦点を求める。
    • 惑星の軌道をモデルにする。
  4. 31双曲線漸近線と焦点をつけて、双曲線のグラフをかく。
    • (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1 を使う。
    • 漸近線と焦点を求める。
    • 一般の方程式から円錐曲線を分類する。

行列と連立

  1. 32行列の演算行列を足し、スカラー倍し、掛ける。
    • 掛けるために必要なサイズを知る。
    • 二つの行列を掛ける。
    • 行列の掛け算は交換できないと知る。
  2. 33行列式と逆行列行列の行列式と逆行列を求める。
    • 2×2 と 3×3 の行列式を求める。
    • 2×2 の逆行列を求める。
    • 行列式が 0 の行列には逆行列がないと知る。
  3. 34行列で連立を解く行列で方程式の連立を解く。
    • 連立を AX = B と書く。
    • 逆行列で解く。
    • 拡大係数行列で行を簡約する。
  4. 35変換としての行列行列で図形を回転、鏡映、拡大縮小する。
    • 回転の行列を書く。
    • 掛け算で変換を合成する。
    • 行列式が面積の拡大率になると知る。

帰納法と極限

  1. 36数学的帰納法帰納法で、すべての自然数について命題を証明する。
    • 基礎を証明する。
    • 帰納の段階を証明する。
    • 和の公式を証明する。
  2. 37極限の入門グラフ、表、代数から極限を求める。
    • グラフから片側極限を読む。
    • 代入と因数分解で極限を求める。
    • 極限がないときを知る。
  3. 38無限大での極限と連続無限大での極限を求め、関数が連続なところを決める。
    • 無限大での極限を水平な漸近線とつなぐ。
    • 無限数列の極限を求める。
    • 除去可能、ジャンプ、無限大の不連続を名づける。
  4. 39変化の割合と接線極限で瞬間の変化の割合を求める。
    • 割線の傾きを求める。
    • 極限を使い、接線の傾きを求める。
    • 瞬間の速度とつなぐ。

復習、まぜた練習、チャレンジ

  1. 40関数と三角関数の復習関数、恒等式、三角方程式のまぜた問題を解く。
    • どの関数の仲間も分析する。
    • 恒等式を証明し、三角方程式を解く。
    • 三角形を解く。
  2. 41ベクトル、極座標、円錐曲線、極限の復習ベクトル、極形式、円錐曲線、行列、極限のまぜた問題を解く。
    • ベクトルと極座標を使う。
    • 円錐曲線のグラフをかき、行列の連立を解く。
    • 極限を求める。
  3. 42プレカルキュラスのチャレンジ主な単元を覆うまぜた問いに答える。
    • ヒントなしで、すべての単元の問題を解く。
    • 各段階を説明する。
    • もっと練習が必要なところを見つける。
12年生の数学：プレカルキュラス