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11年生の数学：代数2

複素数、多項式関数、有理関数、無理関数、指数関数、対数関数、三角関数をあつかい、確率と統計で判断しよう。

レッスンをじゅんばんにやろう。関数の変換からはじめて、さいごはひとりで問題をとこう。おわるころには、変換、合成、逆関数ができて、複素数解の二次方程式をとける。多項式関数のグラフをかき、多項式を割り、すべての零点を求められる。有理式と無理式をかんたんにし、その関数のグラフをかき、方程式をとける。対数をつかって指数方程式をとき、成長のモデルをつくれる。等差級数と等比級数の和を求められる。単位円をつかって、正弦と余弦のグラフをかき、モデルにできる。条件つき確率を求め、正規分布をつかい、調査と実験の結論を判断できる。

このレッスンのつかいかた

  • 「これをやる」のレッスンからはじめよう。なまえの下のぶんが、ひとりでできたら、つぎにすすもう。
  • はじめにゲームをしよう。それからクイズをしよう。10問中8問正解で合格。ワークシートは紙。答えは下にある。
  • どのレッスンも、ひとつ前の上にのっている。むずかしいときは、ひとつ前にもどろう。
  • 新しい関数の家族では、まず親関数のグラフを学ぼう。それから変換を学ぼう。手でスケッチして、グラフのアプリで確かめよう。もとの方程式で、すべての解を確かめよう。手順によっては、余分な解がふえる。

どのレッスンにもゲーム、クイズ、ワークシートがあります。

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関数と変換

  1. 1親関数と変換親関数から、y = a·f(b(x − h)) + k のグラフをかく。
    • 一次、二次、絶対値、三次の親関数のグラフを見わける。
    • 平行移動、伸縮、折り返しを説明する。
    • 偶関数と奇関数を見わける。
  2. 2関数の演算と合成関数を足し、引き、掛け、割り、合成する。
    • (f + g)(x) と (fg)(x) を求める。
    • f(g(x)) と g(f(x)) を求める。
    • 組み合わせた関数の定義域を求める。
  3. 3逆関数関数の逆関数を求めて、グラフをかく。
    • x と y を入れかえて、y について解く。
    • 逆関数は y = x に対する折り返しだと知る。
    • 合成で逆関数を確かめ、定義域を制限する。

二次方程式と複素数

  1. 4複素数複素数を足し、引き、掛け、割る。
    • i² = −1 を使う。
    • 答えを a + bi の形で書く。
    • 共役複素数で割る。
  2. 5複素数解の二次方程式複素数解のものも含め、どんな二次方程式も解く。
    • 判別式が負のとき、二次方程式の解の公式を使う。
    • 複素数解は共役の組で出ると知る。
    • x 切片がないことと複素数解をつなげる。
  3. 6二次の不等式と連立二次の不等式と非線形の連立を解く。
    • 符号表で x² − x − 6 > 0 を解く。
    • 二次の不等式のグラフをかく。
    • 直線と円の連立を解く。

多項式関数

  1. 7多項式関数のグラフ次数、端のようす、零点から、多項式関数のグラフをスケッチする。
    • 最高次の項から端のようすを求める。
    • 重複度が零点でのグラフをどう変えるか知る。
    • 曲がり点と極値を求める。
  2. 8多項式を割る筆算と組立除法で多項式を割る。
    • 多項式の筆算を使う。
    • x − c には組立除法を使う。
    • 余りつきで結果を書く。
  3. 9剰余の定理と因数定理剰余の定理と因数定理を使って因数を求める。
    • x − a で割った余りは p(a) だと知る。
    • p(a) = 0 のとき x − a は因数だと知る。
    • わかっている零点ひとつから三次式を因数分解する。
  4. 10すべての零点を求める多項式の実数の零点と複素数の零点をすべて求める。
    • 有理根の定理で候補をリストする。
    • 代数学の基本定理を知る。
    • 零点から多項式を書く。
  5. 11多項式の恒等式多項式の恒等式を証明し、使う。
    • 立方の和と差を因数分解する。
    • 展開して恒等式を証明する。
    • 恒等式でピタゴラス数の組をつくる。
  6. 12二項定理パスカルの三角形と二項定理で (a + b)ⁿ を展開する。
    • パスカルの三角形をつくる。
    • 係数に組合せを使う。
    • 展開の一つの項を求める。

有理関数

  1. 13有理式を簡単にする有理式を簡単にし、制限を書く。
    • 分子と分母を因数分解する。
    • 共通因数を約分する。
    • 使えない値をリストする。
  2. 14有理式の掛け算と割り算有理式を掛け、割る。
    • 掛ける前に因数分解する。
    • 逆数を掛けて割る。
    • 繁分数を簡単にする。
  3. 15有理式の足し算と引き算分母がちがう有理式を足し、引く。
    • 最小公分母を求める。
    • 各分数を書き直し、まとめる。
    • 結果を簡単にする。
  4. 16有理関数のグラフ漸近線と穴つきで有理関数のグラフをかく。
    • 垂直漸近線と穴を求める。
    • 次数から水平漸近線を求める。
    • y = a/(x − h) + k のグラフをかく。
  5. 17有理方程式を解く有理方程式を解き、余分な解を確かめる。
    • 最小公分母を掛ける。
    • 分母を 0 にする解は捨てる。
    • 仕事率と平均費用の問題を解く。

無理関数

  1. 18無理式無理式の n乗根を簡単にし、まとめる。
    • ∛54 と √(50x³) を簡単にする。
    • 根号を足し、引き、掛ける。
    • 分母を有理化する。
  2. 19平方根関数と立方根関数のグラフ平方根関数と立方根関数と、その変換のグラフをかく。
    • y = √x と y = ∛x のグラフをかく。
    • 定義域と値域を求める。
    • x² と x³ の逆関数としてつなげる。
  3. 20無理方程式を解く無理方程式を解き、余分な解を確かめる。
    • まず根号を片側に置く。
    • 両辺を同じ累乗にする。
    • 各解をもとの方程式で確かめる。

指数関数と対数関数

  1. 21指数関数と e指数関数のグラフをかき、数 e を使う。
    • y = abˣ のグラフをかき、漸近線を求める。
    • A = Pe^(rt) で連続成長を使う。
    • 複利の期間をくらべる。
  2. 22対数指数の形と対数の形を書きかえ、対数関数のグラフをかく。
    • log_b x = y は bʸ = x だと知る。
    • 常用対数と自然対数を求める。
    • y = log_b x を bˣ の逆関数としてグラフをかく。
  3. 23対数の性質対数を展開し、まとめる。
    • 積、商、累乗の法則を使う。
    • 式を展開し、まとめる。
    • 底の変換公式を使う。
  4. 24指数方程式と対数方程式を解く指数方程式と対数方程式を解く。
    • 両辺の対数をとり、3ˣ = 20 を解く。
    • 指数の形に書きかえて対数方程式を解く。
    • 定義域の外の解は捨てる。
  5. 25指数モデルと対数モデル指数モデルと対数モデルをつくり、使う。
    • 倍になる時間と半減期を求める。
    • pH とデシベルの尺度を使う。
    • データに指数モデルを合わせる。

数列と級数

  1. 26シグマ記号シグマ記号で和を書き、計算する。
    • 添字、範囲、規則を読む。
    • 短い和を展開して足す。
    • 和をシグマ記号で書く。
  2. 27等差級数等差級数の和を求める。
    • Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 を使う。
    • 項の数を求める。
    • 座席と貯金の問題を解く。
  3. 28等比級数有限と無限の等比級数の和を求める。
    • Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) を使う。
    • |r| < 1 のとき無限級数は収束すると知る。
    • ローンと住宅ローンの支払いを求める。

三角関数

  1. 29単位円単位円で、どの角の正弦と余弦も求める。
    • 度数とラジアンで、標準の位置に角をかく。
    • 特別な角の正確な値を求める。
    • 基準角と、象限ごとの符号を使う。
  2. 30正弦と余弦のグラフ振幅、周期、移動つきで正弦と余弦のグラフをかく。
    • 振幅と周期を求める。
    • 位相のずれと上下の移動のグラフをかく。
    • y = tan x のグラフをかく。
  3. 31周期的な変化をモデルにするくり返す周期的な変化を、三角関数でモデルにする。
    • 潮の満ち引きと観覧車をモデルにする。
    • データから中央の線と振幅を求める。
    • モデルで予測する。
  4. 32ピタゴラスの恒等式ピタゴラスの恒等式 sin²θ + cos²θ = 1 を証明し、使う。
    • 単位円で恒等式を証明する。
    • sin θ と象限から cos θ を求める。
    • 三角の式を簡単にする。

確率と統計

  1. 33順列と組合せ順列と組合せで、並べ方と選び方を数える。
    • 数え上げの原理を使う。
    • 順序が大事なときを知る。
    • nPr と nCr で確率を求める。
  2. 34条件つき確率と独立条件つき確率を求め、独立かどうか調べる。
    • P(A | B) = P(A かつ B) / P(B) を使う。
    • 加法の法則を使う。
    • P(A かつ B) = P(A)P(B) のとき A と B は独立だと知る。
  3. 35正規分布正規分布で百分率を見積もる。
    • 68-95-99.7 の法則を使う。
    • z 得点を求め、意味を読む。
    • 正規モデルが合うときを知る。
  4. 36調査、実験、研究調査、実験、観察研究を見わける。
    • 無作為化が偏りをへらすしくみを知る。
    • 因果を示せるのは実験だけだと知る。
    • 調査の質問の偏りを見つける。
  5. 37誤差の範囲と推測シミュレーションと誤差の範囲で結論を判断する。
    • 標本から母集団の割合を見積もる。
    • 誤差の範囲の意味を読む。
    • シミュレーションで、差が有意か決める。

復習、まぜた練習、チャレンジ

  1. 38関数の家族の復習多項式、有理、無理、指数の関数の家族をまぜた問題を解く。
    • グラフを関数の家族に合わせる。
    • あらゆる種類の方程式を解く。
    • 余分な解を確かめる。
  2. 39級数、三角関数、統計の復習級数、三角関数、確率をまぜた問題を解く。
    • 等差級数と等比級数の和を求める。
    • 三角関数でグラフをかき、モデルにする。
    • 確率を求め、統計を読む。
  3. 40代数2のチャレンジ主な単元をおおう、まぜた問題をやりとげる。
    • ヒントなしで、どの単元の問題も解く。
    • 状況に合う関数を選ぶ。
    • もっと練習がいるところを見つける。