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10年生の数学：幾何

証明を書き、変換を使い、三角形の合同と相似を証明し、三角比で直角三角形を解き、円と立体を学ぶ。

レッスンを順にやろう。点と直線から、ひとりで問題を解くまで。終わるころには、論理と作図を使い、直線と角の定理を証明し、合同変換で合同を説明できる。三角形の合同を証明し、三角形と四角形の性質を使い、拡大・縮小で三角形の相似を証明できる。ピタゴラスの定理と三角比で直角三角形を解き、正弦定理と余弦定理を使える。弧の長さ、扇形の面積、円周角を求め、円の方程式を書ける。座標での証明を書き、角柱、円柱、角すい、円すい、球の体積を求められる。

このレッスンのつかいかた

  • 「これをやる」のレッスンからはじめよう。タイトルの下の文が、ひとりでできたら、つぎにすすもう。
  • はじめにゲームをしよう。それからクイズをしよう。10問中8問正解で合格。ワークシートは紙。答えは下にある。
  • どのレッスンも、前のレッスンの上に積み上がる。むずかしいレッスンは、ひとつ前にもどろう。
  • どの問題も図をかいて、名前をつけよう。コンパス、定規、分度器をそばに置こう。証明では、どの文にも理由を書こう。

どのレッスンにもゲーム、クイズ、ワークシートがあります。

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基礎、作図、論理

  1. 1点、直線、平面点、直線、半直線、線分、平面のなまえを言って、説明できる。
    • 直線、半直線、線分の正しい記号を使う。
    • 幾何の無定義用語を知る。
    • 直線と平面がどう交わるか説明する。
  2. 2距離、中点、角の大きさ距離、中点、角の大きさを求められる。
    • 座標平面で距離の公式を使う。
    • 中点の公式を使う。
    • 線分の加法と角の加法の公理を使う。
  3. 3作図コンパスと定規で、写し、二等分線、垂線を作図できる。
    • 線分と角を写す。
    • 線分と角を二等分する。
    • 垂線と平行線を作図する。
  4. 4論理と条件文条件文、逆、反例を書ける。
    • 逆、裏、対偶を書く。
    • 偽の文の反例を見つける。
    • 帰納と演繹を見分ける。

直線、角、証明

  1. 5平行線と横断線平行線と横断線がつくる角の組を使える。
    • 同位角、錯角、同側内角のなまえを言う。
    • 未知の角を求める。
    • 角の組から、直線が平行だと証明する。
  2. 6証明を書く二列の証明と文章の証明を書ける。
    • 定義、公理、定理を理由に使う。
    • 証明で代数の性質を使う。
    • 二列と文章の形で証明を書く。
  3. 7直線と角の定理を証明する対頂角と垂直二等分線の定理を証明できる。
    • 対頂角が等しいことを証明する。
    • 垂直二等分線上の点は、両端から等しい距離にあることを証明する。
    • 錯角の定理を証明する。

変換と合同

  1. 8合同変換平行移動、対称移動、回転移動を、合同変換の関数として説明できる。
    • (x, y) → (−y, x) のような規則を書く。
    • 変換の列を説明する。
    • 合同変換は長さと角を保つと知る。
  2. 9合同変換による合同合同変換の列で、図形が合同だと示せる。
    • 合同を合同変換で定義する。
    • 一つの図形を別の図形にうつす列を見つける。
    • 対応する部分のなまえを言う。
  3. 10対称図形の線対称と回転対称を見つけられる。
    • 多角形の対称の線を見つける。
    • 回転対称の角を見つける。
    • 図形を自分自身にうつす変換を説明する。

三角形

  1. 11三角形の合同SSS、SAS、ASA、AAS、HLで、三角形の合同を証明できる。
    • 正しい合同条件を選ぶ。
    • SSAが使えない理由を知る。
    • 証明でCPCTCを使う。
  2. 12三角形の角の定理三角形の内角の和と外角の定理を証明して使える。
    • 三角形の角の和が180°だと証明する。
    • 外角の定理を使う。
    • 代数で未知の角を求める。
  3. 13二等辺三角形と正三角形二等辺三角形と正三角形で、底角の定理とその逆を使える。
    • 二等辺三角形の底角は等しいと知る。
    • 逆を使って、等しい辺を見つける。
    • 正三角形はすべての角が等しいと知る。
  4. 14二等分線、中線、高さ二等分線、中線、高さから、外心、内心、重心、垂心を見つけられる。
    • それぞれの三角形の中心を作図する。
    • 重心は中線を2対1に分けると知る。
    • 中点連結定理を使う。
  5. 15三角形の不等式三角形の不等式で、3つの長さが三角形になるか決め、辺と角を大きい順に並べられる。
    • 三角不等式を使う。
    • いちばん長い辺は、いちばん大きい角の対辺だと知る。
    • 第三の辺の長さの範囲を求める。

多角形と四角形

  1. 16多角形の角の和多角形の内角の和と外角の和を求められる。
    • 内角の和に (n − 2) × 180° を使う。
    • 外角の和は360°だと知る。
    • 正多角形の一つの角を求める。
  2. 17平行四辺形の性質平行四辺形の性質を証明して使える。
    • 対辺と対角が等しいことを証明する。
    • 対角線が互いに二等分することを証明する。
    • 四角形が平行四辺形だと示す。
  3. 18長方形、ひし形、正方形長方形、ひし形、正方形の性質を使える。
    • 長方形の対角線は等しいと知る。
    • ひし形の対角線は垂直だと知る。
    • 性質から四角形を分類する。
  4. 19台形とたこ形台形とたこ形の性質を使える。
    • 台形の中点連結定理を使う。
    • 等脚台形の性質を知る。
    • たこ形の対角線は垂直だと知る。

相似

  1. 20拡大・縮小図形を拡大・縮小し、倍率の効果を説明できる。
    • 中心から倍率 k で拡大・縮小する。
    • 拡大・縮小は直線を平行な直線にうつすと知る。
    • 相似を、拡大・縮小と合同変換で定義する。
  2. 21相似な三角形AA、SAS、SSSで、三角形が相似だと証明できる。
    • AAの相似条件を使う。
    • 足りない辺のために比例式を書いて解く。
    • 影を使った間接測定の問題を解く。
  3. 22三角形の比例三角形の比例で、平行線の比例の定理と角の二等分線の定理を使える。
    • 平行線の比例の定理を使う。
    • 角の二等分線の定理を使う。
    • 相似な三角形でピタゴラスの定理を証明する。

直角三角形と三角比

  1. 23ピタゴラスの定理とその逆ピタゴラスの定理とその逆を使い、辺で三角形を分類できる。
    • 直角三角形の足りない辺を求める。
    • 逆を使って、直角三角形かどうか調べる。
    • 三角形を鋭角、直角、鈍角の三角形に分類する。
  2. 24特別な直角三角形特別な直角三角形 45-45-90 と 30-60-90 の辺を求められる。
    • 比 1 : 1 : √2 を使う。
    • 比 1 : √3 : 2 を使う。
    • 根号のまま、正確な答えを残す。
  3. 25サイン、コサイン、タンジェント直角三角形で、サイン、コサイン、タンジェントの比を求められる。
    • SOH CAH TOA を使う。
    • 比は相似な三角形から来ると知る。
    • sin A = cos (90° − A) を知る。
  4. 26直角三角形を解く三角比で直角三角形を解き、足りない辺と角を求められる。
    • 逆三角比で角を求める。
    • 仰角と俯角の問題を解く。
    • 答えを適切に四捨五入する。
  5. 27正弦定理と余弦定理正弦定理か余弦定理で、どんな三角形も解ける。
    • 正弦定理を使う。
    • 余弦定理を使う。
    • 1/2 ab sin C で面積を求める。

円

  1. 28円の部分と弧円の部分のなまえを言い、弧の大きさを求められる。
    • 半径、弦、直径、割線、接線のなまえを言う。
    • 劣弧と優弧の大きさを求める。
    • すべての円は相似だと知る。
  2. 29弧の長さとラジアン弧の長さを求め、度とラジアンを変換できる。
    • 弧の長さを円周の分数として求める。
    • ラジアンを定義する。
    • 度とラジアンを変換する。
  3. 30扇形の面積扇形の面積を求められる。
    • 扇形の面積を円の面積の分数として求める。
    • 弓形の面積を求める。
    • ピザとスプリンクラーの問題を解く。
  4. 31円周角円周角と弧の関係を使える。
    • 円周角はその弧の半分だと知る。
    • 半円に内接する角は直角だと知る。
    • 円に内接する四角形の対角の和は180°だと知る。
  5. 32接線、弦、割線接線、弦、割線の性質を使える。
    • 接線は半径に垂直だと知る。
    • 弦と割線の線分の積を使う。
    • 弦、割線、接線がつくる角を求める。
  6. 33円の方程式円の方程式を書いて、グラフにできる。
    • (x − h)² + (y − k)² = r² を使う。
    • 平方完成で中心と半径を求める。
    • 点が円の上にあるか決める。

座標幾何

  1. 34座標での証明座標で図形の事実を証明できる。
    • 図形を座標平面にうまく置く。
    • 傾きと距離で四角形を分類する。
    • 中点連結が辺に平行だと証明する。
  2. 35線分を分ける決めた比で線分を分ける点を見つけられる。
    • AからBへ 2/5 の点を見つける。
    • 線分を比 1 : 3 に分ける。
    • 線分を分けることと拡大・縮小をつなげる。
  3. 36座標での周の長さと面積座標平面上の多角形の周の長さと面積を求められる。
    • 周の長さに距離の公式を使う。
    • 分けたり、長方形で囲んだりして面積を求める。
    • 頂点から三角形の面積を求める。

体積とモデル

  1. 37角柱と円柱の体積角柱と円柱の体積を求めて説明できる。
    • V = Bh を使う。
    • カバリエリの原理を説明する。
    • 斜めの立体の体積を求める。
  2. 38角すい、円すい、球角すい、円すい、球の体積と表面積を求められる。
    • V = 1/3 Bh を使う。
    • V = 4/3 πr³ と SA = 4πr² を使う。
    • 組み合わせた立体の問題を解く。
  3. 39断面と回転体断面と、形を回してできる回転体を説明できる。
    • 角柱、円柱、円すいの断面のなまえを言う。
    • 長方形や三角形を回してできる立体を説明する。
    • 平面の形と立体をつなげる。
  4. 40密度と設計のモデル幾何で、密度と設計の問題をモデルにできる。
    • 1平方マイルあたりの人口密度を求める。
    • 密度から物体の質量を求める。
    • 条件に合う箱を設計する。

復習、まぜた練習、チャレンジ

  1. 41証明と合同の復習証明、変換、三角形、四角形のまぜた問題を解ける。
    • 理由つきの証明を書く。
    • 三角形の合同と相似を証明する。
    • 四角形の性質を使う。
  2. 42三角比、円、体積の復習三角比、円、体積のまぜた問題を解ける。
    • 直角三角形と斜めの三角形を解く。
    • 弧、扇形、円の方程式を求める。
    • 立体の体積を求める。
  3. 43幾何のチャレンジ主な単元をカバーする、まぜた幾何のチャレンジをやりとげられる。
    • ヒントなしで、すべての単元の問題を解く。
    • それぞれの答えを定理で説明する。
    • もっと練習がいるところを見つける。