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Matematica della nona: Algebra 1

Risolvi equazioni e disequazioni, disegna funzioni lineari ed esponenziali, scomponi i polinomi e risolvi le quadratiche.

Segui le lezioni in ordine, dalle espressioni fino a risolvere i problemi da solo. Alla fine sai risolvere equazioni lineari, riordinare le formule e risolvere disequazioni composte e disequazioni con valore assoluto. Sai usare la notazione di funzione, scrivere equazioni lineari in più forme e fare modelli con le successioni aritmetiche. Sai risolvere sistemi di equazioni e di disequazioni e disegnare funzioni a tratti. Sai usare esponenti razionali, fare modelli di crescita e decadimento esponenziale e confrontare modelli lineari ed esponenziali. Sai addizionare, moltiplicare e scomporre polinomi, disegnare funzioni quadratiche e risolvere equazioni quadratiche per scomposizione, completando il quadrato e con la formula quadratica. Sai riassumere i dati con la deviazione standard, tabelle a doppia entrata e residui.

Come usare queste lezioni

  • Parti dalla lezione segnata Fai questo. Vai avanti quando sai fare da te la riga sotto il titolo.
  • Prima gioca ai Giochi. Poi fai i Quiz. 8 di 10 giuste per passare. Le Schede sono su carta. Le risposte sono in fondo.
  • Ogni lezione si appoggia a quella prima. Se una lezione è difficile, torna indietro di una.
  • Scrivi ogni passaggio. Controlla ogni soluzione rimettendola nell’equazione di partenza. Una calcolatrice grafica o un’app di grafici gratuita ti aiuta a vedere le funzioni, ma disegna prima il grafico a mano.

Ogni lezione ha giochi, quiz e schede.

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Espressioni ed equazioni

  1. 1Espressioni e proprietàSemplifica le espressioni con le proprietà dei numeri reali.
    • Usa le proprietà commutativa, associativa e distributiva.
    • Nomina i termini, i fattori e i coefficienti di un’espressione.
    • Interpreta le parti di un’espressione nel contesto, come P(1 + r)^n.
  2. 2Risolvi equazioni lineariRisolvi equazioni lineari a più passaggi e giustifica ogni passaggio.
    • Risolvi equazioni con frazioni e variabili da entrambi i lati.
    • Spiega ogni passaggio con una proprietà.
    • Riconosci equazioni senza soluzioni, o vere per tutti i numeri reali.
  3. 3Equazioni letterali e formuleRiordina equazioni letterali e formule per ricavare un’altra variabile.
    • Risolvi A = 1/2 bh rispetto a h.
    • Risolvi d = rt rispetto a t.
    • Risolvi 2x + 3y = 6 rispetto a y.
  4. 4Unità e modelliUsa le unità per impostare e controllare un modello.
    • Converti le unità con l’analisi dimensionale.
    • Scegli un livello di precisione sensato.
    • Scrivi un’equazione per una situazione reale.

Disequazioni

  1. 5Risolvi disequazioni lineariRisolvi e disegna disequazioni lineari a più passaggi.
    • Inverti il segno quando moltiplichi o dividi per un negativo.
    • Disegna la soluzione sulla retta dei numeri.
    • Scrivi la soluzione in notazione di intervallo.
  2. 6Disequazioni composteRisolvi e disegna disequazioni composte “e” e “o”.
    • Risolvi −3 < 2x + 1 ≤ 7.
    • Risolvi x < −2 o x > 5.
    • Disegna l’intersezione o l’unione.
  3. 7Equazioni e disequazioni con valore assolutoRisolvi equazioni e disequazioni con il valore assoluto.
    • Risolvi |x − 3| = 5 come due equazioni.
    • Risolvi |x + 1| < 4 come una disequazione “e”.
    • Capisci quando non c’è soluzione.

Funzioni lineari

  1. 8Notazione di funzione, dominio e codominioUsa la notazione di funzione f(x) e trova il dominio e il codominio di una funzione.
    • Calcola f(3) e risolvi f(x) = 7.
    • Trova il dominio e il codominio da un grafico.
    • Scegli un dominio sensato per una situazione reale.
  2. 9Tasso di variazioneTrova e spiega il tasso di variazione medio su un intervallo.
    • Trova il tasso di variazione da una tabella, un grafico o un’equazione.
    • Ricorda che una funzione lineare ha un tasso di variazione costante.
    • Spiega le unità del tasso, come dollari all’ora.
  3. 10Forme delle equazioni lineariScrivi equazioni lineari in forma pendenza-intercetta, forma punto-pendenza e forma standard.
    • Scrivi y − y₁ = m(x − x₁) da un punto e una pendenza.
    • Passa da una forma all’altra.
    • Trova le intercette dalla forma standard.
  4. 11Rette parallele e perpendicolariScrivi equazioni di rette parallele e perpendicolari.
    • Ricorda che le rette parallele hanno pendenze uguali.
    • Ricorda che le pendenze perpendicolari, moltiplicate, danno −1.
    • Scrivi una retta per un punto, parallela o perpendicolare a un’altra.
  5. 12Successioni aritmeticheScrivi successioni aritmetiche come funzioni lineari.
    • Trova la differenza comune.
    • Scrivi la formula esplicita aₙ = a₁ + (n − 1)d.
    • Scrivi una formula ricorsiva.

Sistemi di equazioni e disequazioni

  1. 13Risolvi sistemi di equazioniRisolvi un sistema di equazioni lineari con il grafico, la sostituzione o l’eliminazione.
    • Scegli il metodo più efficiente.
    • Spiega perché l’eliminazione funziona.
    • Riconosci sistemi senza soluzioni, o con infinite soluzioni.
  2. 14Sistemi di disequazioni lineariDisegna un sistema di disequazioni lineari e trova la sua regione delle soluzioni.
    • Disegna y ≤ 2x + 1 con una linea continua e il tratteggio.
    • Trova dove le regioni tratteggiate si sovrappongono.
    • Prova un punto per controllare.
  3. 15Modelli con i sistemiScrivi e risolvi sistemi come modelli di problemi reali.
    • Risolvi problemi di miscele e di confronto dei costi.
    • Usa i vincoli per trovare le soluzioni possibili.
    • Spiega la soluzione nel contesto.

Valore assoluto e funzioni a tratti

  1. 16Funzioni con valore assolutoDisegna funzioni con valore assoluto e le loro trasformazioni.
    • Disegna y = |x| come una forma a V.
    • Disegna y = a|x − h| + k.
    • Trova il vertice e il verso in cui si apre.
  2. 17Funzioni a tratti e funzioni a gradiniDisegna e calcola funzioni a tratti e funzioni a gradini.
    • Calcola una funzione a tratti per un valore dato.
    • Disegna ogni tratto sul suo dominio.
    • Fai un modello delle tariffe del parcheggio con una funzione a gradini.

Esponenti e funzioni esponenziali

  1. 18Proprietà degli esponenti ed esponenti razionaliSemplifica espressioni con le proprietà degli esponenti interi e degli esponenti razionali.
    • Usa insieme tutte le regole degli esponenti.
    • Scrivi x^(1/2) come √x e 8^(2/3) come 4.
    • Riscrivi i radicali con esponenti razionali.
  2. 19Crescita e decadimento esponenzialeScrivi e disegna funzioni di crescita e decadimento esponenziale.
    • Scrivi y = a(1 + r)^t per la crescita.
    • Scrivi y = a(1 − r)^t per il decadimento.
    • Risolvi problemi di interesse composto e di popolazione.
  3. 20Successioni geometricheScrivi successioni geometriche come funzioni esponenziali.
    • Trova la ragione comune.
    • Scrivi aₙ = a₁ × r^(n − 1).
    • Scrivi una formula ricorsiva.
  4. 21Modelli lineari ed esponenzialiDecidi se una situazione segue un modello lineare o un modello esponenziale e confronta la crescita.
    • Controlla se ci sono differenze uguali o ragioni uguali.
    • Ricorda che la crescita esponenziale alla fine supera la crescita lineare.
    • Costruisci un modello da una tabella.

Polinomi e scomposizione

  1. 22Addiziona e sottrai polinomiAddiziona e sottrai polinomi.
    • Nomina il grado e il coefficiente direttore.
    • Scrivi un polinomio in forma standard.
    • Unisci i termini simili per addizionare e sottrarre.
  2. 23Moltiplica polinomiMoltiplica polinomi.
    • Moltiplica un monomio per un polinomio.
    • Moltiplica due binomi con un modello ad area.
    • Moltiplica un binomio per un trinomio.
  3. 24Prodotti notevoliUsa gli schemi dei prodotti notevoli per i quadrati di binomi e le differenze di quadrati.
    • Usa (a + b)² = a² + 2ab + b².
    • Usa (a + b)(a − b) = a² − b².
    • Moltiplica in fretta con questi schemi.
  4. 25Scomponi con il fattore comune massimo e per raggruppamentoRaccogli il fattore comune massimo e scomponi per raggruppamento.
    • Scomponi 6x³ + 9x² come 3x²(2x + 3).
    • Scomponi quattro termini per raggruppamento.
    • Controlla moltiplicando.
  5. 26Scomponi i trinomiScomponi trinomi della forma ax² + bx + c.
    • Scomponi x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
    • Scomponi quando a ≠ 1.
    • Riconosci un trinomio che non si scompone.
  6. 27Scomponi i casi particolariScomponi i casi particolari: trinomi quadrato perfetto e differenze di quadrati.
    • Scomponi x² − 49.
    • Scomponi 4x² + 12x + 9.
    • Scomponi del tutto in più passaggi.

Funzioni quadratiche ed equazioni quadratiche

  1. 28Disegna funzioni quadraticheDisegna una funzione quadratica e trova le sue caratteristiche principali.
    • Trova il vertice, l’asse di simmetria e le intercette.
    • Usa x = −b/(2a) per trovare il vertice.
    • Capisci quando la parabola si apre verso l’alto o verso il basso.
  2. 29Forma del vertice e trasformazioniDisegna y = a(x − h)² + k in forma del vertice e descrivi le trasformazioni.
    • Leggi il vertice (h, k).
    • Descrivi dilatazioni, compressioni, riflessioni e traslazioni.
    • Scrivi una quadratica dal suo grafico.
  3. 30Risolvi le quadratiche per scomposizioneRisolvi un’equazione quadratica per scomposizione.
    • Usa la legge di annullamento del prodotto.
    • Porta prima l’equazione uguale a 0.
    • Collega le soluzioni alle intercette con l’asse x.
  4. 31Risolvi le quadratiche con le radici quadrateRisolvi equazioni quadratiche estraendo le radici quadrate.
    • Risolvi x² = 25 e ottieni x = ±5.
    • Risolvi (x − 3)² = 16.
    • Semplifica le radici quadrate nelle risposte.
  5. 32Completamento del quadratoCompleta il quadrato per risolvere una quadratica e trovare il suo vertice.
    • Aggiungi (b/2)² a entrambi i lati.
    • Risolvi x² + 6x − 7 = 0.
    • Riscrivi la forma standard in forma del vertice.
  6. 33La formula quadraticaRisolvi qualsiasi equazione quadratica con la formula quadratica.
    • Usa x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
    • Usa il discriminante per contare le soluzioni reali.
    • Scegli il metodo migliore per l’equazione data.
  7. 34Modelli quadraticiUsa modelli quadratici per traiettorie e aree.
    • Trova l’altezza massima di una palla lanciata.
    • Trova quando tocca terra.
    • Trova le dimensioni che danno l’area massima.
  8. 35Sistemi lineare-quadraticoRisolvi un sistema lineare-quadratico con una retta e una parabola.
    • Risolvi per sostituzione.
    • Ricorda che ci possono essere 0, 1 o 2 soluzioni.
    • Controlla disegnando il grafico.

Statistica

  1. 36Distribuzioni di dati e deviazione standardConfronta distribuzioni di dati con forma, centro e dispersione, e con la deviazione standard.
    • Trova la media e la deviazione standard.
    • Scegli mediana e scarto interquartile (IQR) per dati asimmetrici.
    • Spiega l’effetto dei valori anomali.
  2. 37Tabelle a doppia entrata e frequenza relativaTrova le frequenze relative congiunte, marginali e condizionate in tabelle a doppia entrata.
    • Costruisci una tabella di frequenza a doppia entrata.
    • Trova le frequenze relative per riga e per colonna.
    • Descrivi possibili associazioni.
  3. 38Correlazione e residuiAdatta una retta ai dati, trova la correlazione e leggi i residui.
    • Trova la retta di migliore adattamento con la tecnologia.
    • Interpreta il coefficiente di correlazione r.
    • Usa un grafico dei residui per giudicare l’adattamento, e sappi che correlazione non è causalità.

Ripasso, esercizi misti e sfide

  1. 39Ripasso lineare ed esponenzialeRisolvi problemi misti di ripasso lineare ed esponenziale: equazioni, disequazioni, sistemi e modelli esponenziali.
    • Risolvi equazioni e disequazioni.
    • Scrivi e disegna funzioni lineari e sistemi.
    • Costruisci modelli esponenziali.
  2. 40Ripasso di polinomi e quadraticheRisolvi problemi misti di ripasso su polinomi, quadratiche e dati.
    • Moltiplica e scomponi polinomi.
    • Risolvi le quadratiche con il metodo migliore.
    • Riassumi i dati e falli diventare un modello.
  3. 41Sfida di Algebra 1Completa domande miste della sfida di Algebra 1 che coprono le unità principali.
    • Risolvi problemi di ogni unità senza suggerimenti.
    • Scegli il modello giusto per una situazione.
    • Trova le parti che hanno bisogno di più esercizio.