Tutte le lezioni

Corso

Matematica della 12ª: Precalcolo

Analizza il comportamento delle funzioni, padroneggia la trigonometria, lavora con vettori, coordinate polari, coniche e matrici, e dai un primo sguardo ai limiti.

Fai le lezioni in ordine, dall’analisi del comportamento delle funzioni fino a risolvere i problemi da solo. Alla fine sai analizzare il comportamento delle funzioni e combinare le funzioni, risolvere disequazioni polinomiali e disequazioni razionali, e modellare con funzioni esponenziali, logaritmiche e logistiche. Sai disegnare il grafico di tutte e sei le funzioni trigonometriche e delle funzioni trigonometriche inverse, dimostrare le identità e risolvere equazioni trigonometriche. Sai risolvere qualsiasi triangolo e usare i vettori per forze e moto. Sai disegnare grafici in coordinate polari, scrivere i numeri complessi in forma polare e usare il teorema di De Moivre. Sai disegnare il grafico di equazioni parametriche e di coniche e risolvere sistemi con le matrici. Sai dimostrare enunciati per induzione e trovare i limiti, la prima idea del calcolo.

Come usare queste lezioni

  • Parti dalla lezione segnata Fai questo. Vai avanti quando sai fare da te la riga sotto il titolo.
  • Prima gioca ai Giochi. Poi fai i Quiz. 8 di 10 giuste per passare. Le Schede sono su carta. Le risposte sono in fondo.
  • Ogni lezione si appoggia a quella prima. Se una lezione è difficile, torna indietro di una.
  • Questo corso ti prepara al calcolo. Impara a memoria la circonferenza unitaria. Tieni un elenco delle identità man mano che le impari. Schizza ogni grafico a mano, poi controllalo con un’app per i grafici.

Ogni lezione ha giochi, quiz e schede.

0 di 42

Funzioni rivisitate

  1. 1Analizza il comportamento delle funzioniAnalizza il comportamento di una funzione: dove cresce, decresce e raggiunge gli estremi.
    • Trova gli intervalli di crescita e di decrescita.
    • Trova gli estremi relativi e assoluti.
    • Trova il tasso medio di variazione su un intervallo.
  2. 2Combina e scomponi le funzioniCombina funzioni vecchie in funzioni nuove e scomponi una funzione in una composizione.
    • Componi funzioni e trova il dominio.
    • Scrivi h(x) = √(x² + 1) come f(g(x)).
    • Modella una situazione con una funzione composta.
  3. 3Funzioni inverse e restrizioni del dominioRestringi il dominio così una funzione ha un’inversa.
    • Usa il test della retta orizzontale.
    • Restringi il dominio di x² per trovare la sua inversa.
    • Leggi i valori dell’inversa da una tabella o da un grafico.

Funzioni polinomiali e razionali

  1. 4Comportamento dei polinomi e disequazioniRisolvi disequazioni polinomiali con zeri e tabelle dei segni.
    • Trova tutti gli zeri e le loro molteplicità.
    • Usa una tabella dei segni per risolvere p(x) ≥ 0.
    • Modella volume e profitto con polinomi.
  2. 5Funzioni razionali e asintoti obliquiDisegna il grafico di funzioni razionali, compresi gli asintoti obliqui.
    • Trova asintoti verticali, orizzontali e obliqui.
    • Trova buchi e intercette.
    • Descrivi il comportamento agli estremi.
  3. 6Disequazioni razionaliRisolvi disequazioni razionali.
    • Trova gli zeri e i punti in cui la funzione non è definita.
    • Usa una tabella dei segni.
    • Scrivi la soluzione in notazione degli intervalli.

Modelli esponenziali, logaritmici e logistici

  1. 7Funzioni esponenziali e logaritmicheDisegna il grafico, risolvi e modella con funzioni esponenziali e logaritmiche.
    • Disegna le trasformazioni di funzioni esponenziali e logaritmiche.
    • Risolvi equazioni con i logaritmi.
    • Modella la crescita composta e continua.
  2. 8Crescita logisticaModella una crescita che si stabilizza con una funzione logistica.
    • Leggi la capacità portante.
    • Trova il punto di crescita più rapida.
    • Confronta crescita logistica e crescita esponenziale.
  3. 9Grafici semilogaritmici e dati da raddrizzareUsa i logaritmi per raddrizzare dati esponenziali su un grafico semilogaritmico.
    • Traccia log y rispetto a x.
    • Sappi che i dati esponenziali sembrano lineari su un grafico semilogaritmico.
    • Trova un modello esponenziale dalla retta.

Funzioni trigonometriche

  1. 10Radianti e circonferenza unitariaTrova tutti e sei i valori trigonometrici di qualsiasi angolo in radianti.
    • Converti tra gradi e radianti.
    • Trova i valori esatti agli angoli notevoli.
    • Trova la lunghezza dell’arco e la velocità angolare.
  2. 11Grafico di tutte e sei le funzioni trigonometricheDisegna il grafico di tutte e sei le funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente e le loro reciproche.
    • Disegna tangente e cotangente con gli asintoti.
    • Disegna secante e cosecante da coseno e seno.
    • Trova periodo, ampiezza e traslazioni.
  3. 12Funzioni trigonometriche inverseCalcola e disegna il grafico di seno, coseno e tangente inversi.
    • Conosci il dominio ristretto di ogni funzione.
    • Trova valori esatti come arcsin(1/2).
    • Calcola composizioni come cos(arctan x).
  4. 13Modelli sinusoidaliCostruisci modelli sinusoidali dai dati e usali per prevedere.
    • Modella le ore di luce e le onde sonore.
    • Trova la frequenza di un’onda.
    • Usa il modello per trovare i tempi.

Identità ed equazioni trigonometriche

  1. 14Identità fondamentaliUsa identità reciproche, quoziente, pitagoriche e pari-dispari.
    • Usa tutte e tre le identità pitagoriche.
    • Usa le identità pari-dispari e delle cofunzioni.
    • Semplifica espressioni trigonometriche.
  2. 15Dimostra le identitàDimostra un’identità trigonometrica passo per passo.
    • Lavora su un solo lato.
    • Riscrivi in seni e coseni.
    • Fattorizza e combina le frazioni.
  3. 16Formule di somma e differenzaUsa le formule di somma e differenza per seno, coseno e tangente.
    • Trova il valore esatto di sin 75°.
    • Dimostra le formule.
    • Semplifica espressioni con esse.
  4. 17Formule di duplicazione e di bisezioneUsa le formule di duplicazione e di bisezione.
    • Usa sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
    • Usa tutte e tre le forme di cos 2θ.
    • Trova i valori esatti di bisezione.
  5. 18Risolvi equazioni trigonometricheRisolvi equazioni trigonometriche su un intervallo e in generale.
    • Trova tutte le soluzioni in [0, 2π).
    • Scrivi la soluzione generale.
    • Risolvi fattorizzando e con le identità.

Triangoli e vettori

  1. 19Teorema dei seni e caso ambiguoRisolvi i triangoli con il teorema dei seni, compreso il caso SSA.
    • Usa il teorema dei seni.
    • Decidi se SSA dà 0, 1 o 2 triangoli.
    • Risolvi problemi di navigazione.
  2. 20Teorema del coseno e formula di EroneRisolvi i triangoli con il teorema del coseno e trova l’area con la formula di Erone.
    • Usa il teorema del coseno per SAS e SSS.
    • Usa la formula di Erone.
    • Scegli il teorema giusto per un triangolo.
  3. 21VettoriDescrivi i vettori con modulo e direzione e in forma di componenti.
    • Scrivi un vettore in forma di componenti.
    • Trova modulo e angolo di direzione.
    • Trova un vettore unitario.
  4. 22Operazioni sui vettori e prodotto scalareSomma, scala e moltiplica i vettori con il prodotto scalare.
    • Somma vettori con componenti e diagrammi.
    • Trova il prodotto scalare e l’angolo tra i vettori.
    • Trova la proiezione di un vettore su un altro.
  5. 23Applicazioni dei vettoriUsa i vettori per risolvere problemi di forza, velocità e lavoro.
    • Trova la forza risultante.
    • Trova la velocità al suolo di un aereo nel vento.
    • Trova il lavoro con il prodotto scalare.

Coordinate polari e numeri complessi

  1. 24Coordinate polariSegna i punti e converti tra forma polare e rettangolare.
    • Segna (r, θ).
    • Converti punti tra polare e rettangolare.
    • Converti equazioni tra le due forme.
  2. 25Grafici polariDisegna il grafico di circonferenze, rose, lumache e cardioidi.
    • Disegna r = a cos θ e r = a sin θ.
    • Disegna le rose r = a cos(nθ).
    • Usa la simmetria per disegnare più in fretta.
  3. 26Numeri complessi in forma polareScrivi i numeri complessi in forma polare e moltiplicali.
    • Segna i numeri complessi e trova il loro modulo.
    • Scrivi z = r(cos θ + i sin θ).
    • Moltiplica e dividi in forma polare.
  4. 27Teorema di De MoivreTrova potenze e radici di numeri complessi con il teorema di De Moivre.
    • Usa il teorema di De Moivre per le potenze.
    • Trova le radici n-esime di un numero complesso.
    • Segna le radici dell’unità.

Equazioni parametriche e coniche

  1. 28Equazioni parametricheDisegna il grafico di equazioni parametriche e modella il moto con esse.
    • Disegna una curva da x(t) e y(t).
    • Elimina il parametro.
    • Modella il moto di un proiettile.
  2. 29ParaboleDisegna il grafico delle parabole dal fuoco e dalla direttrice.
    • Usa la definizione fuoco-direttrice.
    • Scrivi l’equazione dal fuoco e dal vertice.
    • Sappi perché le antenne satellitari sono parabole.
  3. 30EllissiDisegna il grafico delle ellissi e trova i fuochi.
    • Usa (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1.
    • Trova i fuochi con c² = a² − b².
    • Modella le orbite dei pianeti.
  4. 31IperboliDisegna il grafico delle iperboli con asintoti e fuochi.
    • Usa (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
    • Trova gli asintoti e i fuochi.
    • Classifica una conica dalla sua equazione generale.

Matrici e sistemi

  1. 32Operazioni con le matriciSomma, scala e moltiplica le matrici.
    • Conosci le dimensioni necessarie per moltiplicare.
    • Moltiplica due matrici.
    • Sappi che la moltiplicazione di matrici non è commutativa.
  2. 33Determinanti e matrici inverseTrova il determinante e l’inversa di una matrice.
    • Trova un determinante 2×2 e 3×3.
    • Trova un’inversa 2×2.
    • Sappi che una matrice con determinante 0 non ha inversa.
  3. 34Risolvi sistemi con le matriciRisolvi sistemi di equazioni con le matrici.
    • Scrivi un sistema come AX = B.
    • Risolvi con una matrice inversa.
    • Usa la riduzione per righe su una matrice aumentata.
  4. 35Matrici come trasformazioniUsa le matrici per ruotare, riflettere e scalare figure.
    • Scrivi la matrice di una rotazione.
    • Componi trasformazioni moltiplicando.
    • Sappi che il determinante dà il fattore di scala dell’area.

Induzione e limiti

  1. 36Induzione matematicaDimostra un enunciato per ogni numero naturale con l’induzione.
    • Dimostra il caso base.
    • Dimostra il passo induttivo.
    • Dimostra una formula per una somma.
  2. 37Introduzione ai limitiTrova i limiti da grafici, tabelle e algebra.
    • Leggi i limiti unilaterali da un grafico.
    • Trova i limiti per sostituzione e fattorizzazione.
    • Sappi quando un limite non esiste.
  3. 38Limiti all’infinito e continuitàTrova i limiti all’infinito e decidi dove una funzione è continua.
    • Collega i limiti all’infinito agli asintoti orizzontali.
    • Trova il limite di una successione infinita.
    • Nomina discontinuità eliminabili, a salto e infinite.
  4. 39Tassi di variazione e rette tangentiTrova il tasso di variazione istantaneo con un limite.
    • Trova la pendenza di una retta secante.
    • Usa un limite per trovare la pendenza di una retta tangente.
    • Collegalo alla velocità istantanea.

Ripasso, esercizi misti e sfide

  1. 40Ripasso di funzioni e trigonometriaRisolvi problemi misti con funzioni, identità ed equazioni trigonometriche.
    • Analizza qualsiasi famiglia di funzioni.
    • Dimostra identità e risolvi equazioni trigonometriche.
    • Risolvi triangoli.
  2. 41Ripasso di vettori, polari, coniche e limitiRisolvi problemi misti con vettori, forme polari, coniche, matrici e limiti.
    • Usa vettori e coordinate polari.
    • Disegna coniche e risolvi sistemi con matrici.
    • Trova i limiti.
  3. 42Sfida di precalcoloCompleta domande miste che coprono le unità principali.
    • Risolvi problemi di ogni unità senza suggerimenti.
    • Spiega ogni passo.
    • Trova le parti che chiedono più esercizio.