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Matematica della decima: Geometria

Scrivi dimostrazioni, usa le trasformazioni, dimostra triangoli congruenti e simili, risolvi i triangoli rettangoli con la trigonometria, e studia cerchi e solidi.

Fai le lezioni in ordine, dai punti e dalle rette fino a risolvere i problemi da solo. Alla fine sai usare logica e costruzioni, dimostrare teoremi su rette e angoli, e descrivere la congruenza con i movimenti rigidi. Sai dimostrare triangoli congruenti, usare le proprietà di triangoli e quadrilateri, e dimostrare triangoli simili con le dilatazioni. Sai risolvere i triangoli rettangoli con il teorema di Pitagora e la trigonometria, e usare il teorema dei seni e il teorema del coseno. Sai trovare lunghezze di archi, aree di settori e angoli alla circonferenza, e scrivere l’equazione di un cerchio. Sai scrivere dimostrazioni con le coordinate e trovare i volumi di prismi, cilindri, piramidi, coni e sfere.

Come usare queste lezioni

  • Parti dalla lezione segnata Fai questo. Vai avanti quando sai fare da te la riga sotto il titolo.
  • Prima gioca ai Giochi. Poi fai i Quiz. 8 di 10 giuste per passare. Le Schede sono su carta. Le risposte sono in fondo.
  • Ogni lezione si appoggia a quella prima. Se una lezione è difficile, torna indietro di una.
  • Disegna e segna un diagramma per ogni problema. Tieni vicini un compasso, una riga non graduata e un goniometro. In una dimostrazione, dai una ragione per ogni affermazione.

Ogni lezione ha giochi, quiz e schede.

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Basi, costruzioni e logica

  1. 1Punti, rette e pianiNomina e descrivi punti, rette, semirette, segmenti e piani.
    • Usa la notazione giusta per rette, semirette e segmenti.
    • Conosci i termini non definiti della geometria.
    • Descrivi come si intersecano rette e piani.
  2. 2Distanza, punto medio e misura dell’angoloTrova distanze, punti medi e misure degli angoli.
    • Usa la formula della distanza sul piano cartesiano.
    • Usa la formula del punto medio.
    • Usa i postulati di addizione dei segmenti e degli angoli.
  3. 3CostruzioniCostruisci copie, bisettrici e perpendicolari con compasso e riga non graduata.
    • Copia un segmento e un angolo.
    • Dividi a metà un segmento e un angolo.
    • Costruisci una retta perpendicolare e una retta parallela.
  4. 4Logica e proposizioni condizionaliScrivi proposizioni condizionali, converse e controesempi.
    • Scrivi la conversa, l’inversa e la contronominale.
    • Trova un controesempio di un’affermazione falsa.
    • Distingui il ragionamento induttivo da quello deduttivo.

Rette, angoli e dimostrazioni

  1. 5Rette parallele e trasversaliUsa le coppie di angoli formate da rette parallele e da una trasversale.
    • Nomina angoli corrispondenti, alterni interni e coniugati interni.
    • Trova angoli incogniti.
    • Dimostra che le rette sono parallele dalle coppie di angoli.
  2. 6Scrivere dimostrazioniScrivi dimostrazioni a due colonne e dimostrazioni in paragrafo.
    • Usa definizioni, postulati e teoremi come ragioni.
    • Usa le proprietà dell’algebra nelle dimostrazioni.
    • Scrivi una dimostrazione a due colonne e in paragrafo.
  3. 7Dimostrare teoremi su rette e angoliDimostra teoremi sugli angoli opposti al vertice e sugli assi dei segmenti.
    • Dimostra che gli angoli opposti al vertice sono congruenti.
    • Dimostra che i punti sull’asse di un segmento sono equidistanti dagli estremi.
    • Dimostra il teorema degli angoli alterni interni.

Trasformazioni e congruenza

  1. 8Movimenti rigidiDescrivi traslazioni, riflessioni e rotazioni come funzioni, cioè come movimenti rigidi.
    • Scrivi regole come (x, y) → (−y, x).
    • Descrivi una sequenza di trasformazioni.
    • Sai che i movimenti rigidi conservano lunghezze e angoli.
  2. 9Congruenza con i movimenti rigidiMostra che le figure sono congruenti con una sequenza di movimenti rigidi.
    • Definisci la congruenza con i movimenti rigidi.
    • Trova una sequenza che porta una figura sull’altra.
    • Nomina le parti corrispondenti.
  3. 10SimmetriaTrova la simmetria assiale e la simmetria rotazionale nelle figure.
    • Trova gli assi di simmetria di un poligono.
    • Trova l’angolo della simmetria rotazionale.
    • Descrivi trasformazioni che portano una figura su se stessa.

Triangoli

  1. 11Congruenza dei triangoliDimostra triangoli congruenti con SSS, SAS, ASA, AAS e HL.
    • Scegli il criterio di congruenza giusto.
    • Sai perché SSA non funziona.
    • Usa CPCTC nelle dimostrazioni.
  2. 12Teoremi sugli angoli del triangoloDimostra e usa il teorema della somma degli angoli e il teorema dell’angolo esterno.
    • Dimostra che gli angoli di un triangolo sommano a 180°.
    • Usa il teorema dell’angolo esterno.
    • Trova angoli incogniti con l’algebra.
  3. 13Triangoli isosceli ed equilateriUsa il teorema degli angoli alla base e il suo inverso nei triangoli isosceli ed equilateri.
    • Sai che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali.
    • Usa l’inverso per trovare lati uguali.
    • Sai che un triangolo equilatero è equiangolo.
  4. 14Bisettrici, mediane e altezzeUsa bisettrici, mediane e altezze per trovare circocentro, incentro, baricentro e ortocentro.
    • Costruisci ogni centro del triangolo.
    • Sai che il baricentro divide una mediana 2 a 1.
    • Usa il teorema del segmento medio.
  5. 15Disuguaglianze triangolariUsa le disuguaglianze triangolari per decidere se tre lunghezze formano un triangolo e per ordinare lati e angoli.
    • Usa il teorema della disuguaglianza triangolare.
    • Sai che il lato più lungo è opposto all’angolo più grande.
    • Trova l’intervallo delle lunghezze possibili per il terzo lato.

Poligoni e quadrilateri

  1. 16Somma degli angoli di un poligonoTrova la somma degli angoli interni e la somma degli angoli esterni di un poligono.
    • Usa (n − 2) × 180° per la somma interna.
    • Sai che gli angoli esterni sommano a 360°.
    • Trova ogni angolo di un poligono regolare.
  2. 17Proprietà dei parallelogrammiDimostra e usa le proprietà dei parallelogrammi.
    • Dimostra che lati opposti e angoli opposti sono congruenti.
    • Dimostra che le diagonali si bisecano.
    • Mostra che un quadrilatero è un parallelogramma.
  3. 18Rettangoli, rombi e quadratiUsa le proprietà di rettangoli, rombi e quadrati.
    • Sai che le diagonali di un rettangolo sono congruenti.
    • Sai che le diagonali di un rombo sono perpendicolari.
    • Classifica un quadrilatero dalle sue proprietà.
  4. 19Trapezi e deltoidiUsa le proprietà di trapezi e deltoidi.
    • Usa il teorema del segmento medio del trapezio.
    • Conosci le proprietà di un trapezio isoscele.
    • Sai che le diagonali di un deltoide sono perpendicolari.

Similitudine

  1. 20DilatazioniDilata le figure e descrivi l’effetto del fattore di scala.
    • Dilata da un centro con fattore di scala k.
    • Sai che una dilatazione manda una retta in una retta parallela.
    • Definisci la similitudine con dilatazioni e movimenti rigidi.
  2. 21Triangoli similiDimostra triangoli simili con AA, SAS e SSS.
    • Usa il criterio di similitudine AA.
    • Scrivi e risolvi proporzioni per i lati mancanti.
    • Risolvi problemi di misura indiretta con le ombre.
  3. 22Proporzioni nei triangoliUsa le proporzioni nei triangoli: il teorema della parallela e il teorema della bisettrice.
    • Usa il teorema della parallela.
    • Usa il teorema della bisettrice.
    • Dimostra il teorema di Pitagora con triangoli simili.

Triangoli rettangoli e trigonometria

  1. 23Il teorema di Pitagora e il suo inversoUsa il teorema di Pitagora e il suo inverso, e classifica i triangoli dai lati.
    • Trova i lati mancanti nei triangoli rettangoli.
    • Usa l’inverso per verificare un triangolo rettangolo.
    • Classifica i triangoli come acutangoli, rettangoli o ottusangoli.
  2. 24Triangoli rettangoli particolariTrova i lati dei triangoli rettangoli particolari 45-45-90 e 30-60-90.
    • Usa il rapporto 1 : 1 : √2.
    • Usa il rapporto 1 : √3 : 2.
    • Lascia le risposte esatte con i radicali.
  3. 25Seno, coseno e tangenteTrova i rapporti seno, coseno e tangente in un triangolo rettangolo.
    • Usa SOH CAH TOA.
    • Sai che i rapporti vengono da triangoli simili.
    • Sai che sin A = cos (90° − A).
  4. 26Risolvere i triangoli rettangoliRisolvi i triangoli rettangoli: trova lati e angoli mancanti con la trigonometria.
    • Usa la trigonometria inversa per trovare gli angoli.
    • Risolvi problemi di angolo di elevazione e di depressione.
    • Arrotonda le risposte in modo sensato.
  5. 27Il teorema dei seni e il teorema del cosenoRisolvi qualsiasi triangolo con il teorema dei seni o il teorema del coseno.
    • Usa il teorema dei seni.
    • Usa il teorema del coseno.
    • Trova l’area con 1/2 ab sin C.

Cerchi

  1. 28Parti del cerchio e archiNomina le parti di un cerchio e trova le misure degli archi.
    • Nomina raggi, corde, diametri, secanti e tangenti.
    • Trova le misure degli archi minori e maggiori.
    • Sai che tutti i cerchi sono simili.
  2. 29Lunghezza dell’arco e radiantiTrova la lunghezza dell’arco e converti tra gradi e radianti.
    • Trova la lunghezza dell’arco come frazione della circonferenza.
    • Definisci un radiante.
    • Converti tra gradi e radianti.
  3. 30Area del settoreTrova l’area di un settore.
    • Trova l’area del settore come frazione dell’area del cerchio.
    • Trova l’area di un segmento circolare.
    • Risolvi problemi di pizza e irrigatori.
  4. 31Angoli alla circonferenzaUsa la relazione tra angoli alla circonferenza e archi.
    • Sai che un angolo alla circonferenza è metà del suo arco.
    • Sai che un angolo inscritto in una semicirconferenza è retto.
    • Sai che gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto sommano a 180°.
  5. 32Tangenti, corde e secantiUsa le proprietà di tangenti, corde e secanti.
    • Sai che una tangente è perpendicolare al raggio.
    • Usa i prodotti dei segmenti per corde e secanti.
    • Trova gli angoli formati da corde, secanti e tangenti.
  6. 33Equazioni dei cerchiScrivi e rappresenta l’equazione di un cerchio.
    • Usa (x − h)² + (y − k)² = r².
    • Trova centro e raggio completando il quadrato.
    • Decidi se un punto sta su un cerchio.

Geometria delle coordinate

  1. 34Dimostrazioni con le coordinateDimostra fatti geometrici con le coordinate.
    • Sistema le figure sul piano cartesiano in modo utile.
    • Usa pendenza e distanza per classificare un quadrilatero.
    • Dimostra che un segmento medio è parallelo a un lato.
  2. 35Dividere un segmentoTrova il punto che divide un segmento in un rapporto dato.
    • Trova il punto a 2/5 del cammino da A a B.
    • Dividi un segmento nel rapporto 1 : 3.
    • Collega la divisione del segmento alle dilatazioni.
  3. 36Perimetro e area con le coordinateTrova il perimetro e l’area di poligoni sul piano cartesiano.
    • Usa la formula della distanza per il perimetro.
    • Trova l’area scomponendo o chiudendo in un rettangolo.
    • Trova l’area di un triangolo dai suoi vertici.

Volume e modelli

  1. 37Volume di prismi e cilindriTrova e spiega i volumi di prismi e cilindri.
    • Usa V = Bh.
    • Spiega il principio di Cavalieri.
    • Trova il volume di solidi obliqui.
  2. 38Piramidi, coni e sfereTrova il volume e l’area della superficie di piramidi, coni e sfere.
    • Usa V = 1/3 Bh.
    • Usa V = 4/3 πr³ e SA = 4πr².
    • Risolvi problemi di solidi composti.
  3. 39Sezioni e solidi di rotazioneDescrivi le sezioni e il solido di rotazione ottenuto ruotando una forma.
    • Nomina le sezioni di prismi, cilindri e coni.
    • Descrivi il solido ottenuto ruotando un rettangolo o un triangolo.
    • Collega le forme piane ai solidi.
  4. 40Modelli di densità e di progettoUsa la geometria per modellare problemi di densità e di progetto.
    • Trova la densità di popolazione per miglio quadrato.
    • Trova la massa di un oggetto dalla sua densità.
    • Progetta una scatola che rispetti un vincolo.

Ripasso, esercizi misti e sfide

  1. 41Ripasso di dimostrazioni e congruenzaRisolvi problemi misti con dimostrazioni, trasformazioni, triangoli e quadrilateri.
    • Scrivi dimostrazioni con le ragioni.
    • Dimostra triangoli congruenti e simili.
    • Usa le proprietà dei quadrilateri.
  2. 42Ripasso di trigonometria, cerchi e volumeRisolvi problemi misti con trigonometria, cerchi e volume dei solidi.
    • Risolvi triangoli rettangoli e triangoli obliquangoli.
    • Trova archi, settori ed equazioni dei cerchi.
    • Trova i volumi dei solidi.
  3. 43Sfida di geometriaCompleta la sfida di geometria: domande miste sulle unità principali.
    • Risolvi problemi di ogni unità senza aiuti.
    • Spiega ogni risposta con un teorema.
    • Trova le parti che chiedono più esercizio.