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Curso

Matemáticas de 12.º: Precálculo

Analiza funciones, domina la trigonometría, trabaja con vectores, coordenadas polares, secciones cónicas y matrices, y da un primer vistazo a los límites.

Haz las lecciones en orden, desde el análisis de funciones hasta resolver problemas tú solo. Al final, puedes analizar y combinar funciones, resolver inecuaciones polinómicas y racionales, y modelar con funciones exponenciales, logarítmicas y logísticas. Puedes graficar las seis funciones trigonométricas y sus inversas, verificar identidades trigonométricas y resolver ecuaciones trigonométricas. Puedes resolver cualquier triángulo y usar vectores para fuerzas y movimiento. Puedes graficar en coordenadas polares, escribir números complejos en forma polar y usar el teorema de De Moivre. Puedes graficar ecuaciones paramétricas y secciones cónicas y resolver sistemas con matrices. Puedes demostrar enunciados por inducción y hallar límites, la primera idea del cálculo.

Cómo usar estas lecciones

  • Empieza en la lección que dice Haz esto. Sigue adelante cuando puedas hacer tú solo la línea bajo el título.
  • Juega primero los Juegos. Luego haz las Pruebas. 8 de 10 correctas para aprobar. Las Fichas están en papel. Las respuestas están abajo.
  • Cada lección se apoya en la anterior. Si una lección es difícil, vuelve una atrás.
  • Este curso te prepara para el cálculo. Aprende la circunferencia unidad de memoria. Guarda una lista de identidades a medida que las aprendes. Dibuja cada gráfica a mano y luego compruébala con una app de gráficas.

Cada lección tiene juegos, pruebas y fichas.

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Las funciones, otra vez

  1. 1Analiza el comportamiento de funcionesAnaliza el comportamiento de una función: dónde crece, decrece y alcanza sus extremos.
    • Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
    • Halla los extremos relativos y absolutos.
    • Halla la tasa de cambio media en un intervalo.
  2. 2Combina y descompón funcionesCombina funciones viejas en nuevas y descompón una función en una composición.
    • Compón funciones y halla el dominio.
    • Escribe h(x) = √(x² + 1) como f(g(x)).
    • Modela una situación con una función compuesta.
  3. 3Inversas y restricciones del dominioRestringe el dominio para que una función tenga inversa.
    • Usa el criterio de la recta horizontal.
    • Restringe el dominio de x² para hallar su inversa.
    • Lee valores de la inversa en una tabla o una gráfica.

Funciones polinómicas y racionales

  1. 4Comportamiento e inecuaciones de polinomiosResuelve inecuaciones de polinomios con ceros y tablas de signos.
    • Halla todos los ceros y sus multiplicidades.
    • Usa una tabla de signos para resolver p(x) ≥ 0.
    • Modela volumen y ganancia con polinomios.
  2. 5Funciones racionales y asíntotas oblicuasGrafica funciones racionales, incluidas las asíntotas oblicuas.
    • Halla asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.
    • Halla huecos e intersecciones.
    • Describe el comportamiento al infinito.
  3. 6Inecuaciones racionalesResuelve inecuaciones racionales.
    • Halla los ceros y los puntos donde no está definida.
    • Usa una tabla de signos.
    • Escribe la solución en notación de intervalos.

Modelos exponenciales, logarítmicos y logísticos

  1. 7Funciones exponenciales y logarítmicasGrafica, resuelve y modela con funciones exponenciales y logarítmicas.
    • Grafica transformaciones de funciones exponenciales y logarítmicas.
    • Resuelve ecuaciones con logaritmos.
    • Modela el crecimiento compuesto y el continuo.
  2. 8Crecimiento logísticoModela un crecimiento que se estabiliza con una función logística.
    • Lee la capacidad de carga.
    • Halla el punto de crecimiento más rápido.
    • Compara el crecimiento logístico y el exponencial.
  3. 9Gráficas semilogarítmicas y datos en línea rectaUsa logaritmos y gráficas semilogarítmicas para poner datos exponenciales en línea recta.
    • Representa log y frente a x.
    • Reconoce que los datos exponenciales se ven lineales en una gráfica semilogarítmica.
    • Halla un modelo exponencial a partir de la recta.

Funciones trigonométricas

  1. 10Radianes y la circunferencia unidadHalla los seis valores trigonométricos de cualquier ángulo en radianes en la circunferencia unidad.
    • Convierte entre grados y radianes.
    • Halla valores exactos en ángulos especiales.
    • Halla la longitud de arco y la velocidad angular.
  2. 11Grafica las seis funciones trigonométricasGrafica las seis funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente y sus recíprocas.
    • Grafica la tangente y la cotangente con asíntotas.
    • Grafica la secante y la cosecante a partir del coseno y el seno.
    • Halla el periodo, la amplitud y los desplazamientos.
  3. 12Funciones trigonométricas inversasEvalúa y grafica las funciones trigonométricas inversas: seno, coseno y tangente.
    • Conoce el dominio restringido de cada función.
    • Halla valores exactos como arcsin(1/2).
    • Evalúa composiciones como cos(arctan x).
  4. 13Modelos sinusoidalesConstruye modelos sinusoidales a partir de datos y úsalos para predecir.
    • Modela las horas de luz y las ondas de sonido.
    • Halla la frecuencia de una onda.
    • Usa el modelo para hallar tiempos.

Identidades y ecuaciones trigonométricas

  1. 14Identidades fundamentalesUsa las identidades fundamentales: recíprocas, de cociente, pitagóricas y par-impar.
    • Usa las tres identidades pitagóricas.
    • Usa las identidades par-impar y de cofunción.
    • Simplifica expresiones trigonométricas.
  2. 15Verifica identidadesVerifica una identidad trigonométrica paso a paso.
    • Trabaja solo en un lado.
    • Reescribe en senos y cosenos.
    • Factoriza y combina fracciones.
  3. 16Fórmulas de suma y diferenciaUsa las fórmulas de suma y diferencia del seno, el coseno y la tangente.
    • Halla el valor exacto de sin 75°.
    • Demuestra las fórmulas.
    • Simplifica expresiones con ellas.
  4. 17Fórmulas del ángulo doble y del ángulo mitadUsa las fórmulas del ángulo doble y del ángulo mitad.
    • Usa sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
    • Usa las tres formas de cos 2θ.
    • Halla valores exactos del ángulo mitad.
  5. 18Resuelve ecuaciones trigonométricasResuelve ecuaciones trigonométricas en un intervalo y en general.
    • Halla todas las soluciones en [0, 2π).
    • Escribe la solución general.
    • Resuelve factorizando y con identidades.

Triángulos y vectores

  1. 19La ley de los senos y el caso ambiguoResuelve triángulos con la ley de los senos, incluido el caso ambiguo SSA.
    • Usa la ley de los senos.
    • Decide si SSA da 0, 1 o 2 triángulos.
    • Resuelve problemas de navegación.
  2. 20La ley de los cosenos y la fórmula de HerónResuelve triángulos con la ley de los cosenos y halla el área con la fórmula de Herón.
    • Usa la ley de los cosenos para SAS y SSS.
    • Usa la fórmula de Herón.
    • Elige la ley correcta para un triángulo.
  3. 21VectoresDescribe vectores por módulo y dirección y en forma de componentes.
    • Escribe un vector en forma de componentes.
    • Halla el módulo y el ángulo de dirección.
    • Halla un vector unitario.
  4. 22Operaciones con vectores y el producto escalarSuma, escala y multiplica vectores con el producto escalar.
    • Suma vectores con componentes y con diagramas.
    • Halla el producto escalar y el ángulo entre vectores.
    • Halla la proyección de un vector sobre otro.
  5. 23Aplicaciones de los vectoresUsa vectores para resolver problemas de fuerza, velocidad y trabajo.
    • Halla la fuerza resultante.
    • Halla la velocidad de un avión respecto al suelo con viento.
    • Halla el trabajo con el producto escalar.

Coordenadas polares y números complejos

  1. 24Coordenadas polaresRepresenta puntos en coordenadas polares y convierte entre forma polar y rectangular.
    • Representa (r, θ).
    • Convierte puntos entre polar y rectangular.
    • Convierte ecuaciones entre las dos formas.
  2. 25Gráficas polaresHaz gráficas polares de circunferencias, rosas, limaçons y cardioides.
    • Grafica r = a cos θ y r = a sin θ.
    • Grafica rosas r = a cos(nθ).
    • Usa la simetría para graficar más rápido.
  3. 26Números complejos en forma polarEscribe números complejos en forma polar y multiplícalos.
    • Representa números complejos y halla su módulo.
    • Escribe z = r(cos θ + i sin θ).
    • Multiplica y divide en forma polar.
  4. 27Teorema de De MoivreUsa el teorema de De Moivre para hallar potencias y raíces de números complejos.
    • Usa el teorema de De Moivre para potencias.
    • Halla las raíces n-ésimas de un número complejo.
    • Representa las raíces de la unidad.

Ecuaciones paramétricas y secciones cónicas

  1. 28Ecuaciones paramétricasGrafica ecuaciones paramétricas y modela el movimiento con ellas.
    • Grafica una curva a partir de x(t) e y(t).
    • Elimina el parámetro.
    • Modela el movimiento de un proyectil.
  2. 29ParábolasGrafica parábolas a partir de su foco y su directriz.
    • Usa la definición de foco y directriz.
    • Escribe la ecuación a partir del foco y el vértice.
    • Explica por qué las antenas parabólicas son parábolas.
  3. 30ElipsesGrafica elipses y halla sus focos.
    • Usa (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1.
    • Halla los focos con c² = a² − b².
    • Modela órbitas de planetas.
  4. 31HipérbolasGrafica hipérbolas con sus asíntotas y sus focos.
    • Usa (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
    • Halla las asíntotas y los focos.
    • Clasifica una cónica a partir de su ecuación general.

Matrices y sistemas

  1. 32Operaciones con matricesSuma, escala y multiplica matrices.
    • Conoce las dimensiones necesarias para multiplicar.
    • Multiplica dos matrices.
    • Reconoce que la multiplicación de matrices no es conmutativa.
  2. 33Determinantes y matrices inversasHalla el determinante y la matriz inversa.
    • Halla un determinante 2×2 y uno 3×3.
    • Halla una inversa 2×2.
    • Reconoce que una matriz con determinante 0 no tiene inversa.
  3. 34Resuelve sistemas con matricesResuelve sistemas de ecuaciones con matrices.
    • Escribe un sistema como AX = B.
    • Resuelve con una matriz inversa.
    • Usa la reducción por filas en una matriz ampliada.
  4. 35Las matrices como transformacionesUsa matrices como transformaciones para girar, reflejar y escalar figuras.
    • Escribe la matriz de un giro.
    • Compón transformaciones multiplicando.
    • Reconoce que el determinante da el factor de escala del área.

Inducción y límites

  1. 36Inducción matemáticaDemuestra un enunciado para todo número natural con inducción matemática.
    • Demuestra el caso base.
    • Demuestra el paso inductivo.
    • Demuestra una fórmula de una suma.
  2. 37Introducción a los límitesHalla límites a partir de gráficas, tablas y álgebra.
    • Lee límites laterales en una gráfica.
    • Halla límites por sustitución y factorización.
    • Reconoce cuándo un límite no existe.
  3. 38Límites en el infinito y continuidadHalla límites en el infinito y decide dónde una función es continua.
    • Relaciona los límites en el infinito con las asíntotas horizontales.
    • Halla el límite de una sucesión infinita.
    • Nombra discontinuidades evitables, de salto e infinitas.
  4. 39Tasas de cambio y rectas tangentesHalla la tasa de cambio instantánea con un límite y la pendiente de la recta tangente.
    • Halla la pendiente de una recta secante.
    • Usa un límite para hallar la pendiente de una recta tangente.
    • Relaciónala con la velocidad instantánea.

Repaso, práctica mixta y retos

  1. 40Repaso de funciones y trigonometríaResuelve problemas mixtos de funciones y trigonometría, con identidades y ecuaciones trigonométricas.
    • Analiza cualquier familia de funciones.
    • Verifica identidades y resuelve ecuaciones trigonométricas.
    • Resuelve triángulos.
  2. 41Repaso de vectores, polares, cónicas y límitesResuelve problemas mixtos con vectores, formas polares, cónicas, matrices y límites.
    • Usa vectores y coordenadas polares.
    • Grafica cónicas y resuelve sistemas con matrices.
    • Halla límites.
  3. 42Reto de precálculoCompleta el reto de precálculo con preguntas mixtas de las unidades principales.
    • Resuelve problemas de cada unidad sin pistas.
    • Explica cada paso.
    • Halla los temas que necesitan más práctica.