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Curso

Matemáticas de 11.º: Álgebra 2

Trabaja con números complejos y con funciones polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Usa la probabilidad y la estadística para decidir.

Haz las lecciones en orden, desde las funciones padre y las transformaciones hasta resolver problemas tú solo. Al final, puedes hacer transformaciones, la composición y la inversa de funciones, y resolver cuadráticas con soluciones complejas. Puedes graficar funciones polinómicas, dividir polinomios y hallar todos sus ceros. Puedes simplificar expresiones racionales y expresiones radicales, graficar sus funciones y resolver sus ecuaciones. Puedes usar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales y construir modelos exponenciales y logarítmicos de crecimiento. Puedes hallar sumas de series aritméticas y series geométricas. Puedes usar el círculo unidad para graficar y modelar con el seno y el coseno. Puedes hallar probabilidades condicionales, usar la distribución normal y juzgar conclusiones de encuestas y experimentos.

Cómo usar estas lecciones

  • Empieza en la lección que dice Haz esto. Sigue adelante cuando puedas hacer tú solo la línea bajo el título.
  • Juega primero los Juegos. Luego haz las Pruebas. 8 de 10 correctas para aprobar. Las Fichas están en papel. Las respuestas están abajo.
  • Cada lección se apoya en la anterior. Si una lección es difícil, vuelve una atrás.
  • Para cada familia de funciones nueva, aprende primero la gráfica padre y luego sus transformaciones. Dibuja a mano y luego comprueba con una app de gráficas. Comprueba cada solución en la ecuación original, porque algunos pasos añaden soluciones extrañas.

Cada lección tiene juegos, pruebas y fichas.

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Funciones y transformaciones

  1. 1Funciones padre y transformacionesGrafica la transformación y = a·f(b(x − h)) + k a partir de una función padre.
    • Reconoce las gráficas padre lineales, cuadráticas, de valor absoluto y cúbicas.
    • Describe desplazamientos, estiramientos y reflexiones.
    • Distingue las funciones pares y las impares.
  2. 2Operaciones y composición de funcionesSuma, resta, multiplica, divide y haz la composición de funciones.
    • Halla (f + g)(x) y (fg)(x).
    • Halla f(g(x)) y g(f(x)).
    • Halla el dominio de una función combinada.
  3. 3Funciones inversasHalla y grafica la inversa de una función.
    • Intercambia x e y y despeja y.
    • Sabe que la inversa es una reflexión sobre y = x.
    • Comprueba las inversas con la composición y restringe los dominios.

Cuadráticas y números complejos

  1. 4Números complejosSuma, resta, multiplica y divide números complejos.
    • Usa i² = −1.
    • Escribe las respuestas en la forma a + bi.
    • Divide con el conjugado complejo.
  2. 5Cuadráticas con soluciones complejasResuelve cualquier ecuación cuadrática, incluidas las que tienen soluciones complejas.
    • Usa la fórmula cuadrática cuando el discriminante es negativo.
    • Sabe que las soluciones complejas van en pares conjugados.
    • Relaciona la falta de cortes con el eje x con las soluciones complejas.
  3. 6Desigualdades cuadráticas y sistemasResuelve desigualdades cuadráticas y sistemas no lineales.
    • Resuelve x² − x − 6 > 0 con una tabla de signos.
    • Grafica una desigualdad cuadrática.
    • Resuelve un sistema con una recta y una circunferencia.

Funciones polinómicas

  1. 7Grafica funciones polinómicasGrafica una función polinómica a partir de su grado, su comportamiento en los extremos y sus ceros.
    • Halla el comportamiento en los extremos a partir del término principal.
    • Sabe cómo la multiplicidad cambia la gráfica en un cero.
    • Halla puntos de giro y extremos relativos.
  2. 8Divide polinomiosDivide polinomios con división larga y división sintética.
    • Usa la división larga de polinomios.
    • Usa la división sintética para x − c.
    • Escribe el resultado con un resto.
  3. 9Los teoremas del resto y del factorUsa los teoremas del resto y del factor para hallar factores.
    • Sabe que p(a) es el resto al dividir entre x − a.
    • Sabe que x − a es un factor cuando p(a) = 0.
    • Factoriza un cúbico a partir de un cero conocido.
  4. 10Halla todos los cerosHalla todos los ceros reales y complejos de un polinomio.
    • Usa el teorema de la raíz racional para listar candidatos.
    • Conoce el teorema fundamental del álgebra.
    • Escribe un polinomio a partir de sus ceros.
  5. 11Identidades de polinomiosDemuestra y usa identidades de polinomios.
    • Factoriza sumas y diferencias de cubos.
    • Demuestra una identidad desarrollando.
    • Genera ternas pitagóricas con una identidad.
  6. 12El teorema del binomioDesarrolla (a + b)ⁿ con el triángulo de Pascal y el teorema del binomio.
    • Construye el triángulo de Pascal.
    • Usa combinaciones para los coeficientes.
    • Halla un solo término de un desarrollo.

Funciones racionales

  1. 13Simplifica expresiones racionalesSimplifica una expresión racional y di sus restricciones.
    • Factoriza el numerador y el denominador.
    • Cancela los factores comunes.
    • Lista los valores que no están permitidos.
  2. 14Multiplica y divide expresiones racionalesMultiplica y divide expresiones racionales.
    • Factoriza antes de multiplicar.
    • Divide multiplicando por el recíproco.
    • Simplifica fracciones complejas.
  3. 15Suma y resta expresiones racionalesSuma y resta expresiones racionales con denominadores distintos.
    • Halla el mínimo común denominador.
    • Reescribe cada fracción y combínalas.
    • Simplifica el resultado.
  4. 16Grafica funciones racionalesGrafica funciones racionales con sus asíntotas y huecos.
    • Halla asíntotas verticales y huecos.
    • Halla asíntotas horizontales a partir de los grados.
    • Grafica y = a/(x − h) + k.
  5. 17Resuelve ecuaciones racionalesResuelve ecuaciones racionales y comprueba soluciones extrañas.
    • Multiplica por el mínimo común denominador.
    • Descarta soluciones que hacen un denominador 0.
    • Resuelve problemas de ritmo de trabajo y de costo medio.

Funciones radicales

  1. 18Expresiones radicalesSimplifica y combina raíces n-ésimas en una expresión radical.
    • Simplifica ∛54 y √(50x³).
    • Suma, resta y multiplica radicales.
    • Racionaliza un denominador.
  2. 19Grafica funciones de raíz cuadrada y raíz cúbicaGrafica funciones de raíz cuadrada y raíz cúbica y sus transformaciones.
    • Grafica y = √x e y = ∛x.
    • Halla el dominio y el recorrido.
    • Relaciónalos como inversas de x² y x³.
  3. 20Resuelve ecuaciones radicalesResuelve ecuaciones radicales y comprueba soluciones extrañas.
    • Aísla el radical primero.
    • Eleva los dos lados a una potencia.
    • Comprueba cada solución en la ecuación original.

Funciones exponenciales y logarítmicas

  1. 21Funciones exponenciales y eGrafica funciones exponenciales y usa el número e.
    • Grafica y = abˣ y halla su asíntota.
    • Usa el crecimiento continuo con A = Pe^(rt).
    • Compara periodos de capitalización.
  2. 22LogaritmosPasa de forma exponencial a forma logarítmica y grafica funciones logarítmicas.
    • Sabe que log_b x = y significa bʸ = x.
    • Calcula logaritmos comunes y naturales.
    • Grafica y = log_b x como la inversa de bˣ.
  3. 23Propiedades de los logaritmosDesarrolla y condensa logaritmos.
    • Usa las reglas del producto, del cociente y de la potencia.
    • Desarrolla y condensa expresiones.
    • Usa la fórmula del cambio de base.
  4. 24Resuelve ecuaciones exponenciales y logarítmicasResuelve ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
    • Toma el logaritmo de los dos lados para resolver 3ˣ = 20.
    • Reescribe en forma exponencial para resolver ecuaciones logarítmicas.
    • Descarta soluciones fuera del dominio.
  5. 25Modelos exponenciales y logarítmicosConstruye y usa modelos exponenciales y logarítmicos.
    • Halla el tiempo de duplicación y la semivida.
    • Usa las escalas de pH y de decibelios.
    • Ajusta un modelo exponencial a unos datos.

Sucesiones y series

  1. 26Notación sigmaEscribe y calcula sumas en notación sigma.
    • Lee el índice, los límites y la regla.
    • Desarrolla una suma corta y súmala.
    • Escribe una suma en notación sigma.
  2. 27Series aritméticasHalla la suma de una serie aritmética.
    • Usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
    • Halla el número de términos.
    • Resuelve problemas de asientos y de ahorros.
  3. 28Series geométricasHalla la suma de series geométricas finitas e infinitas.
    • Usa Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r).
    • Sabe que una serie infinita converge cuando |r| < 1.
    • Halla pagos de préstamos e hipotecas.

Funciones trigonométricas

  1. 29El círculo unidadHalla el seno y el coseno de cualquier ángulo con el círculo unidad.
    • Dibuja ángulos en posición estándar en grados y radianes.
    • Halla valores exactos en ángulos notables.
    • Usa ángulos de referencia y signos según el cuadrante.
  2. 30Grafica el seno y el cosenoGrafica el seno y el coseno con amplitud, periodo y desplazamientos.
    • Halla la amplitud y el periodo.
    • Grafica desfases y desplazamientos verticales.
    • Grafica y = tan x.
  3. 31Modela un comportamiento periódicoEscribe una función trigonométrica para modelar un comportamiento periódico.
    • Modela mareas y norias.
    • Halla la línea media y la amplitud a partir de datos.
    • Usa el modelo para predecir.
  4. 32La identidad pitagóricaDemuestra y usa la identidad pitagórica sin²θ + cos²θ = 1.
    • Demuestra la identidad con el círculo unidad.
    • Halla cos θ a partir de sin θ y del cuadrante.
    • Simplifica expresiones trigonométricas.

Probabilidad y estadística

  1. 33Permutaciones y combinacionesCuenta permutaciones y combinaciones.
    • Usa el principio de conteo.
    • Sabe cuándo importa el orden.
    • Usa nPr y nCr para hallar probabilidades.
  2. 34Probabilidad condicional e independenciaHalla probabilidades condicionales y comprueba la independencia.
    • Usa P(A | B) = P(A y B) / P(B).
    • Usa la regla de la suma.
    • Sabe que A y B son independientes cuando P(A y B) = P(A)P(B).
  3. 35La distribución normalUsa la distribución normal para estimar porcentajes.
    • Usa la regla 68-95-99.7.
    • Halla e interpreta las puntuaciones z.
    • Sabe cuándo encaja un modelo normal.
  4. 36Encuestas, experimentos y estudiosDistingue encuestas, experimentos y estudios de observación.
    • Sabe cómo la aleatorización reduce el sesgo.
    • Sabe que solo los experimentos muestran causa y efecto.
    • Detecta el sesgo en una pregunta de encuesta.
  5. 37Margen de error e inferenciaUsa la simulación y el margen de error para juzgar conclusiones.
    • Estima una proporción de la población a partir de una muestra.
    • Interpreta el margen de error.
    • Usa una simulación para decidir si una diferencia es significativa.

Repaso, práctica mixta y retos

  1. 38Repaso de familias de funcionesResuelve problemas mixtos de las familias de funciones polinómicas, racionales, radicales y exponenciales.
    • Empareja una gráfica con su familia de funciones.
    • Resuelve ecuaciones de cada tipo.
    • Comprueba si hay soluciones extrañas.
  2. 39Repaso de series, trigonometría y estadísticaResuelve problemas mixtos con series, funciones trigonométricas, probabilidad y estadística.
    • Suma series aritméticas y geométricas.
    • Grafica y modela con funciones trigonométricas.
    • Halla probabilidades e interpreta la estadística.
  3. 40Reto de Álgebra 2Completa preguntas mixtas de las unidades principales.
    • Resuelve problemas de cada unidad sin pistas.
    • Elige la función adecuada para modelar una situación.
    • Halla las partes que necesitan más práctica.