Todas las lecciones

Curso

Matemáticas de 10.º: Geometría

Escribe demostraciones, usa transformaciones, demuestra que los triángulos son congruentes y semejantes, resuelve triángulos rectángulos con trigonometría y estudia círculos y sólidos.

Haz las lecciones en orden, desde los puntos y las rectas hasta resolver problemas tú solo. Al final, sabrás usar la lógica y las construcciones, demostrar teoremas de rectas y ángulos y describir la congruencia con movimientos rígidos. Sabrás demostrar que los triángulos son congruentes, usar las propiedades de los triángulos y los cuadriláteros y demostrar que los triángulos son semejantes con dilataciones. Sabrás resolver triángulos rectángulos con el teorema de Pitágoras y la trigonometría y usar las leyes de los senos y de los cosenos. Sabrás hallar longitudes de arco, áreas de sectores y ángulos inscritos y escribir la ecuación de un círculo. Sabrás escribir demostraciones con coordenadas y hallar volúmenes de prismas, cilindros, pirámides, conos y esferas.

Cómo usar estas lecciones

  • Empieza en la lección que dice Haz esto. Sigue adelante cuando puedas hacer tú solo la línea bajo el título.
  • Juega primero los Juegos. Luego haz las Pruebas. 8 de 10 correctas para aprobar. Las Fichas están en papel. Las respuestas están abajo.
  • Cada lección se apoya en la anterior. Si una lección es difícil, vuelve una atrás.
  • Dibuja y rotula un diagrama en cada problema. Ten cerca un compás, una regla y un transportador. En una demostración, da una razón para cada afirmación.

Cada lección tiene juegos, pruebas y fichas.

0 de 43

Fundamentos, construcciones y lógica

  1. 1Puntos, rectas y planosNombra y describe puntos, rectas, semirrectas, segmentos y planos.
    • Usa la notación correcta de rectas, semirrectas y segmentos.
    • Conoce los términos indefinidos de la geometría.
    • Describe cómo se cortan las rectas y los planos.
  2. 2Distancia, punto medio y medida de ángulosHalla distancias, puntos medios y medidas de ángulos.
    • Usa la fórmula de la distancia en el plano de coordenadas.
    • Usa la fórmula del punto medio.
    • Usa los postulados de la adición de segmentos y de ángulos.
  3. 3ConstruccionesHaz construcciones: copia segmentos y ángulos, y traza bisectrices y perpendiculares con un compás y una regla.
    • Copia un segmento y un ángulo.
    • Traza la bisectriz de un segmento y de un ángulo.
    • Construye una recta perpendicular y una paralela.
  4. 4Lógica y enunciados condicionalesUsa la lógica para escribir enunciados condicionales, recíprocos y contraejemplos.
    • Escribe el recíproco, el inverso y el contrarrecíproco.
    • Halla un contraejemplo de un enunciado falso.
    • Distingue el razonamiento inductivo del deductivo.

Rectas, ángulos y demostraciones

  1. 5Rectas paralelas y transversalesUsa los pares de ángulos que forman las rectas paralelas y una transversal.
    • Nombra ángulos correspondientes, alternos internos y del mismo lado.
    • Halla ángulos desconocidos.
    • Demuestra que las rectas son paralelas a partir de pares de ángulos.
  2. 6Escribe demostracionesEscribe demostraciones en dos columnas y en párrafo.
    • Usa definiciones, postulados y teoremas como razones.
    • Usa propiedades del álgebra en las demostraciones.
    • Escribe una demostración en dos columnas y en forma de párrafo.
  3. 7Demuestra teoremas de rectas y ángulosDemuestra teoremas de rectas y ángulos sobre ángulos opuestos por el vértice y mediatrices.
    • Demuestra que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
    • Demuestra que los puntos de una mediatriz equidistan de los extremos.
    • Demuestra el teorema de los ángulos alternos internos.

Transformaciones y congruencia

  1. 8Movimientos rígidosDescribe los movimientos rígidos, traslaciones, reflexiones y rotaciones, como funciones.
    • Escribe reglas como (x, y) → (−y, x).
    • Describe una secuencia de transformaciones.
    • Sabe que los movimientos rígidos conservan longitudes y ángulos.
  2. 9Congruencia con movimientos rígidosMuestra que las figuras son congruentes con una secuencia de movimientos rígidos.
    • Define la congruencia con movimientos rígidos.
    • Halla una secuencia que lleve una figura a otra.
    • Nombra las partes correspondientes.
  3. 10SimetríaHalla la simetría axial y la simetría de rotación en las figuras.
    • Halla los ejes de simetría de un polígono.
    • Halla el ángulo de la simetría de rotación.
    • Describe transformaciones que llevan una figura sobre sí misma.

Triángulos

  1. 11Congruencia de triángulosDemuestra la congruencia de triángulos con SSS, SAS, ASA, AAS y HL.
    • Elige el criterio de congruencia correcto.
    • Sabe por qué SSA no sirve.
    • Usa CPCTC en las demostraciones.
  2. 12Teoremas de los ángulos del triánguloDemuestra y usa los teoremas de la suma de los ángulos del triángulo y del ángulo exterior.
    • Demuestra que los ángulos de un triángulo suman 180°.
    • Usa el teorema del ángulo exterior.
    • Halla ángulos desconocidos con álgebra.
  3. 13Triángulos isósceles y equiláterosUsa el teorema de los ángulos de la base en triángulos isósceles y equiláteros, y su recíproco.
    • Sabe que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
    • Usa el recíproco para hallar lados iguales.
    • Sabe que un triángulo equilátero es equiángulo.
  4. 14Bisectrices, medianas y alturasHalla el circuncentro, el incentro, el baricentro y el ortocentro con bisectrices, medianas y alturas.
    • Construye cada centro del triángulo.
    • Sabe que el baricentro divide una mediana en 2 a 1.
    • Usa el teorema del segmento medio.
  5. 15Desigualdades del triánguloUsa las desigualdades del triángulo para decidir si tres longitudes forman un triángulo y ordenar sus lados y ángulos.
    • Usa el teorema de la desigualdad del triángulo.
    • Sabe que el lado más largo está frente al ángulo mayor.
    • Halla el rango de longitudes posibles del tercer lado.

Polígonos y cuadriláteros

  1. 16Suma de ángulos de un polígonoHalla la suma de los ángulos interiores y exteriores de un polígono.
    • Usa (n − 2) × 180° para la suma interior.
    • Sabe que los ángulos exteriores suman 360°.
    • Halla cada ángulo de un polígono regular.
  2. 17Propiedades de los paralelogramosDemuestra y usa las propiedades de los paralelogramos.
    • Demuestra que los lados y los ángulos opuestos son congruentes.
    • Demuestra que las diagonales se bisecan.
    • Muestra que un cuadrilátero es un paralelogramo.
  3. 18Rectángulos, rombos y cuadradosUsa las propiedades de los rectángulos, los rombos y los cuadrados.
    • Sabe que las diagonales de un rectángulo son congruentes.
    • Sabe que las diagonales de un rombo son perpendiculares.
    • Clasifica un cuadrilátero por sus propiedades.
  4. 19Trapecios y cometasUsa las propiedades de los trapecios y las cometas.
    • Usa el teorema del segmento medio del trapecio.
    • Conoce las propiedades de un trapecio isósceles.
    • Sabe que las diagonales de una cometa son perpendiculares.

Semejanza

  1. 20DilatacionesDilata figuras y describe el efecto del factor de escala.
    • Dilata desde un centro con factor de escala k.
    • Sabe que una dilatación lleva una recta a una recta paralela.
    • Define la semejanza con dilataciones y movimientos rígidos.
  2. 21Triángulos semejantesDemuestra que los triángulos son semejantes con AA, SAS y SSS.
    • Usa el criterio de semejanza AA.
    • Escribe y resuelve proporciones para los lados que faltan.
    • Resuelve problemas de medida indirecta con sombras.
  3. 22Proporciones en triángulosUsa las proporciones en triángulos con el teorema del divisor de lados y el de la bisectriz.
    • Usa el teorema del divisor de lados.
    • Usa el teorema de la bisectriz del ángulo del triángulo.
    • Demuestra el teorema de Pitágoras con triángulos semejantes.

Triángulos rectángulos y trigonometría

  1. 23El teorema de Pitágoras y su recíprocoUsa el teorema de Pitágoras y su recíproco, y clasifica triángulos por sus lados.
    • Halla los lados que faltan en triángulos rectángulos.
    • Usa el recíproco para comprobar si un triángulo es rectángulo.
    • Clasifica triángulos en agudos, rectángulos u obtusos.
  2. 24Triángulos rectángulos especialesHalla los lados de los triángulos rectángulos especiales 45-45-90 y 30-60-90.
    • Usa la razón 1 : 1 : √2.
    • Usa la razón 1 : √3 : 2.
    • Deja las respuestas exactas con radicales.
  3. 25Seno, coseno y tangenteHalla el seno, el coseno y la tangente en un triángulo rectángulo.
    • Usa SOH CAH TOA.
    • Sabe que las razones salen de triángulos semejantes.
    • Sabe que sin A = cos (90° − A).
  4. 26Resuelve triángulos rectángulosResuelve triángulos rectángulos: halla lados y ángulos que faltan con trigonometría.
    • Usa la trigonometría inversa para hallar ángulos.
    • Resuelve problemas de ángulo de elevación y de depresión.
    • Redondea las respuestas con sentido.
  5. 27Las leyes de los senos y de los cosenosResuelve cualquier triángulo con la ley de los senos o la ley de los cosenos.
    • Usa la ley de los senos.
    • Usa la ley de los cosenos.
    • Halla el área con 1/2 ab sin C.

Círculos

  1. 28Partes del círculo y arcosNombra las partes de un círculo y halla las medidas de los arcos.
    • Nombra radios, cuerdas, diámetros, secantes y tangentes.
    • Halla las medidas del arco menor y del arco mayor.
    • Sabe que todos los círculos son semejantes.
  2. 29Longitud de arco y radianesHalla la longitud de arco y convierte entre grados y radianes.
    • Halla la longitud de arco como una fracción de la circunferencia.
    • Define un radián.
    • Convierte entre grados y radianes.
  3. 30Área del sectorHalla el área de un sector.
    • Halla el área del sector como una fracción del área del círculo.
    • Halla el área de un segmento de círculo.
    • Resuelve problemas de pizza y de aspersor.
  4. 31Ángulos inscritosUsa la relación entre los ángulos inscritos y los arcos.
    • Sabe que un ángulo inscrito es la mitad de su arco.
    • Sabe que un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.
    • Sabe que los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito suman 180°.
  5. 32Tangentes, cuerdas y secantesUsa las propiedades de las tangentes, las cuerdas y las secantes.
    • Sabe que una tangente es perpendicular al radio.
    • Usa productos de segmentos para cuerdas y secantes.
    • Halla ángulos formados por cuerdas, secantes y tangentes.
  6. 33Ecuaciones de círculosEscribe y grafica la ecuación de un círculo.
    • Usa (x − h)² + (y − k)² = r².
    • Halla el centro y el radio completando el cuadrado.
    • Decide si un punto está sobre un círculo.

Geometría de coordenadas

  1. 34Demostraciones con coordenadasDemuestra hechos de geometría con coordenadas.
    • Coloca las figuras en el plano de coordenadas con buen criterio.
    • Usa la pendiente y la distancia para clasificar un cuadrilátero.
    • Demuestra que un segmento medio es paralelo a un lado.
  2. 35Divide un segmentoHalla el punto que divide un segmento en una razón dada.
    • Halla el punto que está a 2/5 del camino de A a B.
    • Divide un segmento en la razón 1 : 3.
    • Relaciona la división de un segmento con las dilataciones.
  3. 36Perímetro y área con coordenadasHalla el perímetro y el área de polígonos en el plano de coordenadas.
    • Usa la fórmula de la distancia para el perímetro.
    • Halla el área al descomponer o al encerrar en un rectángulo.
    • Halla el área de un triángulo a partir de sus vértices.

Volumen y modelos

  1. 37Volumen de prismas y cilindrosHalla y explica los volúmenes de prismas y cilindros.
    • Usa V = Bh.
    • Explica el principio de Cavalieri.
    • Halla el volumen de sólidos oblicuos.
  2. 38Pirámides, conos y esferasHalla el volumen y el área de la superficie de pirámides, conos y esferas.
    • Usa V = 1/3 Bh.
    • Usa V = 4/3 πr³ y SA = 4πr².
    • Resuelve problemas de sólidos compuestos.
  3. 39Secciones y sólidos de revoluciónDescribe secciones y el sólido que se forma al girar una figura.
    • Nombra las secciones de prismas, cilindros y conos.
    • Describe el sólido que se forma al girar un rectángulo o un triángulo.
    • Relaciona figuras 2D con sólidos 3D.
  4. 40Modelos de densidad y de diseñoUsa la geometría para modelar problemas de densidad y de diseño.
    • Halla la densidad de población por milla cuadrada.
    • Halla la masa de un objeto a partir de su densidad.
    • Diseña una caja que cumpla una condición.

Repaso, práctica mixta y retos

  1. 41Repaso de demostraciones y congruenciaResuelve problemas mixtos de demostraciones, congruencia, transformaciones, triángulos y cuadriláteros.
    • Escribe demostraciones con razones.
    • Demuestra que los triángulos son congruentes y semejantes.
    • Usa las propiedades de los cuadriláteros.
  2. 42Repaso de trigonometría, círculos y volumenResuelve problemas mixtos de trigonometría, círculos y volumen de sólidos.
    • Resuelve triángulos rectángulos y oblicuángulos.
    • Halla arcos, sectores y ecuaciones de círculos.
    • Halla volúmenes de sólidos.
  3. 43Reto de geometríaCompleta el reto de geometría con preguntas mixtas de las unidades principales.
    • Resuelve problemas de cada unidad sin pistas.
    • Explica cada respuesta con un teorema.
    • Halla los temas que necesitan más práctica.